¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÓÒÒ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ××ÖÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÑÑÑÑ ÓÑÑÑÒÒÖ
ÐÐ× ÖÖÒØØ× ÓÒÒÒÒ×××ÒÒÒ× ÕÙÙ××× Ò Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ò ÕÙÙ×ØØÓÒº Ù××׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØØÖÓÒ× ÒÓÒÒÒÖ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØظ Ò ÐÐ ÑÓØØÚÒØ
ÔÔÖ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ Ø ÔÓÖØØÖÓÒ× ÔÐÙØØØ ÒÓØÖÖ ×ÙÖ ÐÐ×
ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ××ÙÙ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÓÒ× ÔÐÙ× ÐÐ × ÙÒÒÒÒ¹
ÑÑÒ××ÓÒÒÒи ÙÒÒÕÙÙÑÑÒغ
½¾º½ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓÓÓÓÓÒØ×
ÓÑÔÐÐÜÜ×
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ
Ù×ØØØØÒØ ÐÐÐ× ××ÙÐÐ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÓÑÑÑ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ µ¸ ÐÐ ××ÙÐÐ ÖÖÒÒÒ ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ׺ Ò
ظ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾ Ù ÔÔØÖÖ ½¼ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÖÖÖÐ × ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ x →
−x¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×Ø ÔÖÖ××ÖÚ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ
ÖÖÚÚÚÒØ Ò Ø¸ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÒÒÒÖ
A Ò ×ÓÒ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ A
∗
´A → A
∗
µ¸ ÕÙÙ ÙÜ ÓÓÓÓÓÓÒØ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÙÖ ÒÒØÙÖÖ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾µº
½¾º½º½ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ×
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ¸ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÙÒÒ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ØÝÔÔ e
iqx+ωt
¸ Ó q ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø
ω ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ½ ω
×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ Ø ×³³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ω = ω r + iω i ¸ Ó ω r Ø ω i ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð ×
ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ωº ij³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ ω ÔÓ××ØØÚ ´ ω r > 0µº Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÖÖÐ ω r
ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ׳³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
ω r = + ω
r
(q − q c )
2
2
,
´½¾º½µ
ÓÓ ÑÑ×ÙÖÖ Ð³³³³ÖØ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ q c ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ Ø ω
r ×Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ººº q = q c Ø
= 0µ ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÓÚÚÚÒØ ³ÙÒ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì ÝÐÓÖ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÓÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ q = q c ÐÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ Ú ÓÓÖ
×××ØØÓÒ º½½º¾µº ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
½ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ Ò× ÖØØØÒ× ÓÙÚÖÖÖÖ׸ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×××ÒÒ ÐÐ×
××ÙÐ× × ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÒÙÐ ØØØ ÒÒØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÔÒÒÒÒØ
ÔÔ× ÓÑÑÙÒÒÑÑÒØ ÓÔØØØ ´ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾¾µº Ò× Ø
ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÖÖ ØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ÐÓÖ×ÕÙÙ ω ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÔÓ×××××
ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ×µº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÓÒÒ Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ××ÖÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÑÑÑÑ ÓÑÑÑÒÒÖ
ÐÐ× ÖÖÒØØ× ÓÒÒÒÒ×××ÒÒÒ× ÕÙÙ××× Ò Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ò ÕÙÙ×ØØÓÒº Ù××׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØØÖÓÒ× ÒÓÒÒÒÖ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØظ Ò ÐÐ ÑÓØØÚÒØ
ÔÔÖ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ¸ Ø ÔÓÖØØÖÓÒ× ÔÐÙØØØ ÒÓØÖÖ ×ÙÖ ÐÐ×
ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ××ÙÙ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÓÒ× ÔÐÙ× ÐÐ × ÙÒÒÒÒ¹
ÑÑÒ××ÓÒÒÒи ÙÒÒÕÙÙÑÑÒغ
½¾º½ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓÓÓÓÓÒØ×
ÓÑÔÐÐÜÜ×
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ × ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ×ÝÑÑØÖÖÖ
Ù×ØØØØÒØ ÐÐÐ× ××ÙÐÐ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ ÓÑÑÑ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ µ¸ ÐÐ ××ÙÐÐ ÖÖÒÒÒ ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×ÓÒØ ÓÑÔÐÐÜÜ׺ Ò
ظ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾ Ù ÔÔØÖÖ ½¼ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÖÖÖÐ × ÓÓÓÓÓÓÒØ× ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ x →
−x¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×Ø ÔÖÖ××ÖÚ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖº ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ
ÖÖÚÚÚÒØ Ò Ø¸ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÒÒÒÖ
A Ò ×ÓÒ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ A
∗
´A → A
∗
µ¸ ÕÙÙ ÙÜ ÓÓÓÓÓÓÒØ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÙÖ ÒÒØÙÖÖ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½¼º¾º¾µº
½¾º½º½ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ×
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ¸ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÙÒÒ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒ ÔÐÐÒÒ ØÝÔÔ e
iqx+ωt
¸ Ó q ×Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø
ω ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ½ ω
×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ Ø ×³³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ω = ω r + iω i ¸ Ó ω r Ø ω i ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð ×
ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ωº ij³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ
ÖÖÖÐÐÐ ω ÔÓ××ØØÚ ´ ω r > 0µº Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÖÖÐ ω r
ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ׳³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
ω r = + ω
r
(q − q c )
2
2
,
´½¾º½µ
ÓÓ ÑÑ×ÙÖÖ Ð³³³³ÖØ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ q c ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖ¹
ØØÓÒ Ø ω
r ×Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ººº q = q c Ø
= 0µ ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÓÚÚÚÒØ ³ÙÒ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì ÝÐÓÖ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÓÒÒ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ q = q c ÐÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ Ú ÓÓÖ
×××ØØÓÒ º½½º¾µº ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
½ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ Ò× ÖØØØÒ× ÓÙÚÖÖÖÖ׸ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ×××ÒÒ ÐÐ×
××ÙÐ× × ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÙÒ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ÒÙÐ ØØØ ÒÒØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÔÒÒÒÒØ
ÔÔ× ÓÑÑÙÒÒÑÑÒØ ÓÔØØØ ´ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾¾µº Ò× Ø
ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÖÖ ØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ÐÓÖ×ÕÙÙ ω ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÔÓ×××××
ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ×µº