½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµº ÄÄ ××ÙÐ ÔÓ××××ÐÐ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ v = v
∗
º ×
ØÙÙÙ× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× Ò×× ÕÙ³ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÔÓÙ×××× ÓÒÒÙÙ××ÒØ Ø Ð
ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ´ÚÓÓÖ µº
½½º¿º¾ ËØØØØÐÐØØ ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ ×Ø ÜÜÜØØÑÑÒØ Ø Ð Ð Ú ÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº
v = v∗µ¸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ q ÚÚÚÒØ ÖÖÖÐÐРظ Ò× ×¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÑÑÖ
ÕÙÙ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØ Ð³³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØРг³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ø ÔÓ×××××
ÓÑÑÑ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω = 0º ظ ÖÖØØÖÖ ××ÐÐÐØØÓÒ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ ´ÓÙ ÒÒÙØÖÖµ Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ÖÓÒØ Ø
ÐÐ ÚÚØØ××× v = v
∗
¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÒÚ××ÓÒ Ù××× ÚÚØØ ÕÙ³³ÐÐÐ ÖÓÓØ
ÐÓÓÓÐÐÑÑÒغ Ò ×× ÔÐÙ× ÚÚØØ ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××׸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÖÓÓظ
ÐÓÖ× ÕÙ³³ÐÐÐ ÖÓÓØ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ × ÓÒØÖÖÖÖÖº ÄÄ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ
ÓÒÒ Ù ÖÖÔÔÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ØØ ÒÒØÙÖÖ ÓÒÚÚØØÚÚ¸ Ô Ö Ó Ô Ô Ó ¹
××ØØÓÒ ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÐÙÙ¸ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù ÖÖÔÔÖÖ ÓÓ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖÖÖº
ÁÐ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ Ø Ò× ÐÐ ÐÐØØØÖÖØÙÖÖ ÕÙÙ ³³×Ø ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ
ÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ××ÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÐÐ
ÚÓÓÖº Ò× ÖØØØÒ× × ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÔÐÙ× ÔÔÖÓÓÓÒÒÒÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ¸ ³³×Ø
ÐÐ × Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ù ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖ ÐÐÐÐÐØØÑÑ
½¼ º
ÒÒÒ¸ ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÖÖÖÚÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÚÚÚ
ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ Ø ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÓÒØ×
ÑÙÐØØÔÐÐ׸ Ø ÑÙÐØع¹¹ÒÒ׸ Ò ÒÒÐÐÐ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½½º½º¾µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÙÙÖÖ
× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÕÙÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺ Ò Ø¸ Ò×
ÐÐ ØØÖÑÑÒÓÐÓÓÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËËËËÒÒÒÖ¸ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ×Ø ÔÖÓÔÓÖ¹
ØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
½½º¾¾µº Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ× ÑÙÐØØÔÐÐ׸ ÐÐ ÖÖÚ A ÔÔ××× ÔÔÖ
ÞÞÖÓ ÐÐÐ ÔÓ××××× ÓÒÒ × ÒÒÙÙ׺ ÆÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÚÚÚ
ÒÒÙÙ× Ù ÑÓÓÒ× ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ´ω < 0µ Р׳³³³Ø ÓÒÒ ³ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ò
e
−ωt
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µº ËËÙÐÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÔÔÙØ
ØÖÖ ×ØØØÐк
½¼ ÔÔÙØ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ¸ Ø Ð ÔÔÙØ ×³³ÚÚÖÖÖ ÒÒÒ×¹
ÔÔÒ×××ÐÐ ÔÖÖÒÒÖÖ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ØØØ× Ò Ù Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓ××Ù× ÇÒ ÔÔÖÐÐÖÖ Ò×
× ÖÓÒØ ÔÓÙ××× ´´´Ö ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÖÓÒØ ÒÚÚÚÚ×××ÙÖ ×ÓÒØ
ÐÐ ×Ø ÔÓÙ××× ÔÙÙ× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ×× ØÖÓÙÚÒØ ÖÖÖÖÖÖ ÐÙÙµ¸ ÔÔÖ ÓÔÔÓ××ØØÓÒ
Ù ØØÖÖ ´´ÖÓÒØ ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖµ ØÖÖÖØØ Ò× Ò Ø¸ Ò× ×¸ ÙÒÒ ÒÒÐÝ××
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ×ÙÙ××ÒØØ Ò ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ³³×Ø ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ò× ÐÐ
ÖÖÖÖÓÒ ×× ØÖÓÙÚÚÒØ Ò ÑÓÒØ Ø Ù Ù Ö Ó Ò Ø ÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÐ ÖÓÒØ ×× ØÖÓÙÚ
Ò×× ØØÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÚÚÒغ
¾¾¾
ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµº ÄÄ ××ÙÐ ÔÓ××××ÐÐ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒ v = v
∗
º ×
ØÙÙÙ× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× Ò×× ÕÙ³ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÔÓÙ×××× ÓÒÒÙÙ××ÒØ Ø Ð
ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ´ÚÓÓÖ µº
½½º¿º¾ ËØØØØÐÐØØ ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ ×Ø ÜÜÜØØÑÑÒØ Ø Ð Ð Ú ÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº
v = v∗µ¸ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ q ÚÚÚÒØ ÖÖÖÐÐРظ Ò× ×¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÑÑÖ
ÕÙÙ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØ Ð³³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØРг³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ø ÔÓ×××××
ÓÑÑÑ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω = 0º ظ ÖÖØØÖÖ ××ÐÐÐØØÓÒ ÒÓÙ× ÒÒÒÕÙÙ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ ´ÓÙ ÒÒÙØÖÖµ Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ÖÓÒØ Ø
ÐÐ ÚÚØØ××× v = v
∗
¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÒÚ××ÓÒ Ù××× ÚÚØØ ÕÙ³³ÐÐÐ ÖÓÓØ
ÐÓÓÓÐÐÑÑÒغ Ò ×× ÔÐÙ× ÚÚØØ ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××׸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÖÓÓظ
ÐÓÖ× ÕÙ³³ÐÐÐ ÖÓÓØ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ × ÓÒØÖÖÖÖÖº ÄÄ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ
ÓÒÒ Ù ÖÖÔÔÖÖ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ØØ ÒÒØÙÖÖ ÓÒÚÚØØÚÚ¸ Ô Ö Ó Ô Ô Ó ¹
××ØØÓÒ ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÐÙÙ¸ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù ÖÖÔÔÖÖ ÓÓ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖÖÖº
ÁÐ ×Ø ×ÓÙÚÚÒØ Ø Ò× ÐÐ ÐÐØØØÖÖØÙÖÖ ÕÙÙ ³³×Ø ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ ÑÑÖÖÖÒÒÐÐ
ÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ××ÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÐÐ
ÚÓÓÖº Ò× ÖØØØÒ× × ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÔÐÙ× ÔÔÖÓÓÓÒÒÒÒ ÒÒÒÒ××××ÖÖ¸ ³³×Ø
ÐÐ × Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÓÓ Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ù ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖ ÐÐÐÐÐØØÑÑ
½¼ º
ÒÒÒ¸ ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÖÖÖÚÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙ¸ ÔÔÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÚÚÚ
ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ Ø ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÓÒØ×
ÑÙÐØØÔÐÐ׸ Ø ÑÙÐØع¹¹ÒÒ׸ Ò ÒÒÐÐÐ× ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ½½º½º¾µº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÙÙÖÖ
× ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ× ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ× ÕÙÙ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺ Ò Ø¸ Ò×
ÐÐ ØØÖÑÑÒÓÐÓÓÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËËËËÒÒÒÖ¸ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ×Ø ÔÖÓÔÓÖ¹
ØØÓÒÒÒÐÐÐ ÐÐ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
½½º¾¾µº Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ× ÑÙÐØØÔÐÐ׸ ÐÐ ÖÖÚ A ÔÔ××× ÔÔÖ
ÞÞÖÓ ÐÐÐ ÔÓ××××× ÓÒÒ × ÒÒÙÙ׺ ÆÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÚÚÚ
ÒÒÙÙ× Ù ÑÓÓÒ× ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ´ω < 0µ Р׳³³³Ø ÓÒÒ ³ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ò
e
−ωt
ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µº ËËÙÐÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ ÑÓÒÓØÓÒÒ ÔÔÙØ
ØÖÖ ×ØØØÐк
½¼ ÔÔÙØ ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ¸ Ø Ð ÔÔÙØ ×³³ÚÚÖÖÖ ÒÒÒ×¹
ÔÔÒ×××ÐÐ ÔÖÖÒÒÖÖ Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÐÐ× ÙÜ ØØØ× Ò Ù Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓ××Ù× ÇÒ ÔÔÖÐÐÖÖ Ò×
× ÖÓÒØ ÔÓÙ××× ´´´Ö ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÖÓÒØ ÒÚÚÚÚ×××ÙÖ ×ÓÒØ
ÐÐ ×Ø ÔÓÙ××× ÔÙÙ× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ×× ØÖÓÙÚÒØ ÖÖÖÖÖÖ ÐÙÙµ¸ ÔÔÖ ÓÔÔÓ××ØØÓÒ
Ù ØØÖÖ ´´ÖÓÒØ ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖµ ØÖÖÖØØ Ò× Ò Ø¸ Ò× ×¸ ÙÒÒ ÒÒÐÝ××
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×Ø ×ÙÙ××ÒØØ Ò ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ³³×Ø ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ò× ÐÐ
ÖÖÖÖÓÒ ×× ØÖÓÙÚÚÒØ Ò ÑÓÒØ Ø Ù Ù Ö Ó Ò Ø ÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÐ ÖÓÒØ ×× ØÖÓÙÚ
Ò×× ØØÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÚÚÒغ