¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÔÔÖÖÓÓ× ÐÐ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ¸ ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ º ÄÄ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËË ÚÚÚ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω = 0º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ÑÑØ ÓÑÑÑ ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ ψ Ø ÚÚÐÐÙÖ
ÔÖÓÔÖÖ ω
ψ G = e
xv/2 A 0x ,
ω = 0 .
´½½º¾¾µ
ÁР׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÔÔÖÑÑ ³³ÙØÖÖ׺ ˳³³³Ø¹¹Ð г³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØи
³ÙÒ ØØØ ÜÜÜØØ ÄÄ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËÖÖÖÖÒÒÒÖ ÒÓÙ×
ÕÙÙ ÐÐ× ØØØ× Ø ÜÜÜØØ× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÒØØÕÙÙ ×ÓÒØ ÐÐ×××× Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÙÙ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ Ð³³ØØØ Ò³³ ÔÔ×
ÒÒÙÙ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØØ ÜÜÜØØ ´×³³Ð Ò ÜÜ×Øص Ò ÙÒ¸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÈÓÙÖ
×× ×ÓÙÚÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ Ð ×ÙÙØ ×× ÖÖÔÔÔÐÐÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÐÐÐÖÖ
´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÚÚÚÖÖÒØص¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒµ
×× ÓÑÔÓÖØØ ÓÑÑÑ E n ∼ n
2 π
2 /L
2
Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÙÙ ×Ø ××ÓÓÓÓÓ
ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ψ(x) ∼ sin(xnπ/L)¸ Ó n ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÒØØØÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð
ÕÙÙÒØØØØØØØÓÒ Ø L ×Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÐÐ
ÓÖÖÖµº ÈÓÙÖ n = 0¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ Ò³³ ÔÔ× ÒÒÙÙ¸ ÔÓÙÖ n = 1 ÐÐÐ Ò
ÙÒ¸ Øغ ÈÈÝ××ÕÙÙÑÑÒظ Ð ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙÙ ÐÐ Ø ³³ÚÓÓÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÒÒÙÙ׸
ØÓÖÖÖÖ ³³ÚÒØØØØ ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ÓÓØØÙÜ ÒÒÖÖÖØØÕÙÙÑÑÒغ
ÓÑÑÑ Ð ØØ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÐÙ× Ùظ ÐÐ × ÓÓ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ×Ø Ò¹
ÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖØØÕÙÙ v < v
∗
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ×Ø ÐÐ × ÓÖÖÖ×ÔÓÒ¹
ÒØ ÙÒ ÐÐ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò× ×¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
A 0 ÔÖÖ××ÒØØ × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ × ÑÑÑ×
ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº v > v
∗
µ¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ A 0 ×Ø ×ÙÖ¹
ÑÓÖØØغ ÁÐ Ò ÖÖ×ÙÐØØ ÓÒÒ ÕÙÙ¸ Ò× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ × ´v < v
∗
µ¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ
ψ G ÔÓ××××× × ÒÒÙÙ× ÐÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ÓÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ
Ù ×Ý×ØØÑѺ ÈÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ψ G ÙÒÒ
ÒÒÖÖÖÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐÐ ´´ººº ω = 0µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÑÑÖ ÕÙ٠г³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ
ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÐÙ× Ðи ÓÒÒ ÒÒÒÒØØÚ ´´ººº ω < 0µº ÇÖ¸ ÓÑÔØØ
ØØÒÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ¸ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ω ÒÒÒÒØØÚÚ
ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÆÓÙ× Ò
ÓÒÒÐÙÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÓÑÑÑÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ´´ººº v < v
∗
µ Ø ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÚÚÚÚÐÐ Ù ÓÙÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѺ
Ò ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ÒÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ ØÓÙØ ×× ÙÒÒ ÚÚØØ×××
ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ v
∗
×Ø Ò×ØØØÐи ÜÜÐÙØ ÐÐ ÖÖÒÒ Ò ØÖÖÖØ Ò ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ººº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ð ÖÖÒÒ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº ´´ÖÖÒÒ q 2 µ ׳³ÚÚÒÓÙÙØ ÚÚØØ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÖÓÒØ ×Ø ÓÑÑÒÒ
ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÒÒ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ´´ÖÖÒÒÒÒ q 1 µº ºÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ØØØ
ÖÒÒÒÖÖ ÖÖÒÒ ÓÒ ³³ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÚØØ××× ÔÓ××××ÐÐ ´×× ÖÖÔÔÓÖØØÖ
Ò Ø¸ ×× A 0 (x − vt) ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸ Ð Ò ×Ø ÑÑÑÑ A 0 (x − vt + x 0 ) ÓÓ x 0 ×Ø
ÙÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ Ù ËË x 0 ×Ø ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ A 0 (x − vt + x 0 ) =
A 0 (x − vt) + x 0 A 0x º º Ó Ò Ð Ñ Ó A 0x ×Ø Ò ÙÒ ÒÒÒÒØØ××ÑÑÐ Ù
ÖÓÒغ
ijÓ×××ÐÐÐØØÓÒ ÒÒÒÒÒÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÙÒ ÔÔ××××× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖ ÞÞÖÓº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÔÔÖÖÓÓ× ÐÐ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ¸ ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ
г³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ º ÄÄ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËË ÚÚÚ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω = 0º Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ÑÑØ ÓÑÑÑ ÑÓÓÓ ÔÖÓÔÖÖ ψ Ø ÚÚÐÐÙÖ
ÔÖÓÔÖÖ ω
ψ G = e
xv/2 A 0x ,
ω = 0 .
´½½º¾¾µ
ÁР׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÔÔÖÑÑ ³³ÙØÖÖ׺ ˳³³³Ø¹¹Ð г³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØи
³ÙÒ ØØØ ÜÜÜØØ ÄÄ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËÖÖÖÖÒÒÒÖ ÒÓÙ×
ÕÙÙ ÐÐ× ØØØ× Ø ÜÜÜØØ× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÒØØÕÙÙ ×ÓÒØ ÐÐ×××× Ò
ÓÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÙÙ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ Ð³³ØØØ Ò³³ ÔÔ×
ÒÒÙÙ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØØ ÜÜÜØØ ´×³³Ð Ò ÜÜ×Øص Ò ÙÒ¸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÈÓÙÖ
×× ×ÓÙÚÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ Ð ×ÙÙØ ×× ÖÖÔÔÔÐÐÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÐÐÐÖÖ
´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÚÚÚÖÖÒØص¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒµ
×× ÓÑÔÓÖØØ ÓÑÑÑ E n ∼ n
2 π
2 /L
2
Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ ÕÙÙ ÐÙÙ ×Ø ××ÓÓÓÓÓ
ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ψ(x) ∼ sin(xnπ/L)¸ Ó n ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÒØØØÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð
ÕÙÙÒØØØØØØØÓÒ Ø L ×Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÐÐ
ÓÖÖÖµº ÈÓÙÖ n = 0¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ Ò³³ ÔÔ× ÒÒÙÙ¸ ÔÓÙÖ n = 1 ÐÐÐ Ò
ÙÒ¸ Øغ ÈÈÝ××ÕÙÙÑÑÒظ Ð ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙÙ ÐÐ Ø ³³ÚÓÓÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÒÒÙÙ׸
ØÓÖÖÖÖ ³³ÚÒØØØØ ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÕÙÙ ×Ø ÔÐÙ× ÓÓØØÙÜ ÒÒÖÖÖØØÕÙÙÑÑÒغ
ÓÑÑÑ Ð ØØ ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÐÙ× Ùظ ÐÐ × ÓÓ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ×Ø Ò¹
ÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖØØÕÙÙ v < v
∗
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ×Ø ÐÐ × ÓÖÖÖ×ÔÓÒ¹
ÒØ ÙÒ ÐÐ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò× ×¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
A 0 ÔÖÖ××ÒØØ × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ¸ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ × ÑÑÑ×
ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ ´´ººº v > v
∗
µ¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ A 0 ×Ø ×ÙÖ¹
ÑÓÖØØغ ÁÐ Ò ÖÖ×ÙÐØØ ÓÒÒ ÕÙÙ¸ Ò× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ × ´v < v
∗
µ¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ³ÓÒÒÒ
ψ G ÔÓ××××× × ÒÒÙÙ× ÐÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ÓÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ
Ù ×Ý×ØØÑѺ ÈÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ψ G ÙÒÒ
ÒÒÖÖÖÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐÐ ´´ººº ω = 0µ¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÑÑÖ ÕÙ٠г³ØØØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ
ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÔÐÙ× Ðи ÓÒÒ ÒÒÒÒØØÚ ´´ººº ω < 0µº ÇÖ¸ ÓÑÔØØ
ØØÒÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ¸ ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ω ÒÒÒÒØØÚÚ
ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÆÓÙ× Ò
ÓÒÒÐÙÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ØÓÙØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÓÑÑÑÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ´´ººº v < v
∗
µ Ø ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÚÚÚÚÐÐ Ù ÓÙÖ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѺ
Ò ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ÒÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ ØÓÙØ ×× ÙÒÒ ÚÚØØ×××
ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ v
∗
×Ø Ò×ØØØÐи ÜÜÐÙØ ÐÐ ÖÖÒÒ Ò ØÖÖÖØ Ò ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ººº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ð ÖÖÒÒ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº ´´ÖÖÒÒ q 2 µ ׳³ÚÚÒÓÙÙØ ÚÚØØ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÖÓÒØ ×Ø ÓÑÑÒÒ
ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÒÒ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ´´ÖÖÒÒÒÒ q 1 µº ºÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ØØØ
ÖÒÒÒÖÖ ÖÖÒÒ ÓÒ ³³ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÚØØ××× ÔÓ××××ÐÐ ´×× ÖÖÔÔÓÖØØÖ
Ò Ø¸ ×× A 0 (x − vt) ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸ Ð Ò ×Ø ÑÑÑÑ A 0 (x − vt + x 0 ) ÓÓ x 0 ×Ø
ÙÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ Ù ËË x 0 ×Ø ÔÔØØظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ A 0 (x − vt + x 0 ) =
A 0 (x − vt) + x 0 A 0x º º Ó Ò Ð Ñ Ó A 0x ×Ø Ò ÙÒ ÒÒÒÒØØ××ÑÑÐ Ù
ÖÓÒغ
ijÓ×××ÐÐÐØØÓÒ ÒÒÒÒÒÖÖ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÙÒ ÔÔ××××× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÔÔÖ ÞÞÖÓº