½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
Ò η ×ÓÒØ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
η t = η xx + vη x + η − 3A
2
0 η .
´½½º½½µ
ÈÓ×ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ η ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
η = ψ(x)e
−ωt e
−vx/2 ,
´½½º½½µ
ÓÓ ψ(x) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÐÐ× ØØÖÑÑ× e
−ωt
Ø e
−vx/2
ÓÖ¹
ÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ø ×ÔÔØØØÐк Ò Ò¹
ØÖÓÓÙÙ××ÒØ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ
½½º½½µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ψ(x)
ωψ = [−
∂
2
∂x 2 + U (z)]ψ
´½½º½½µ
Ú
U (z) =
v
2
4
− + 3A
2
0 .
´½½º½½µ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ψ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ׳³ÔÔÔÖ¹
ÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËÖÖÖÖÒÒÒÖ ÓÓ ω ÓÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ Ø U ÐÙÙ
ÔÓØØÒØØØк ÄÄ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÒØØÖÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËË ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù
ØØÑÔ× ×Ø Ð³³³³ÒØØØØØØØÓÒ × ØØØ× ÔÖÓÔÖÖ× ψ Ø × ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ω Ù ×Ý×¹
ØØÑѺ ÄÄ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÔÔÙظ Ò ØÓÙØØ
ÒÒÖÖÐÐØظ ÖÖÕÙÙÖÖÖ × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ× ÖÖÐÐØØÚ ÑÑÑ×
¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÓÒØØÒØØÖÓÒ× ³³ÖÖÙÑÑÒØ× ÒÒÖÖÙܺ ÁÐ ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ÑÑØ ÓÑÑÑ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÙØÖÖ ´ÓÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ººº η t = 0¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ω = 0µ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
η G (x) =
dA 0 (x)
dx
≡ A 0x .
´½½º½½µ
Ò Ø¸ ÖÖÔÔÖØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ºº µ
A 0xx + vA 0x + A 0 − A
3
0 = 0
´½½º¾¼µ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒÒÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x Ø ÓÓØØÒÒÖ Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
(A 0x ) xx + v(A 0x ) x + A 0x − 3A
2
0 A 0x = 0 .
´½½º¾½µ
Ò ÔÓ××ÒØ η G (x) = A 0x ¸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø
ÐÐÐ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓÓÓØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ η ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ¸ Ú ÐÐ
ÖÖÖÖÖ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ η t = 0¸ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ ω = 0 ÕÙÙ
ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÓÒÒÖÑÑÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÙØÖÖ ÓÖÑÙÐÐÐ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× −ω ÓÑÑÑ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ø ÒÓÒ ω¸ ÓÑÑÑ ÓÒ Ð³³
ØÓÙÙÓÙÖ× Øº ×Ø ØØ ÔÔÖ Ð³ÙØØÐÐ××ØØÓÒ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ³ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËËÖÖÖÖÒÒÒÖº
¾¾¾
Ò η ×ÓÒØ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
η t = η xx + vη x + η − 3A
2
0 η .
´½½º½½µ
ÈÓ×ÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ η ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ
η = ψ(x)e
−ωt e
−vx/2 ,
´½½º½½µ
ÓÓ ψ(x) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÐÐ× ØØÖÑÑ× e
−ωt
Ø e
−vx/2
ÓÖ¹
ÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ø ×ÔÔØØØÐк Ò Ò¹
ØÖÓÓÙÙ××ÒØ ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ
½½º½½µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ψ(x)
ωψ = [−
∂
2
∂x 2 + U (z)]ψ
´½½º½½µ
Ú
U (z) =
v
2
4
− + 3A
2
0 .
´½½º½½µ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ψ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ׳³ÔÔÔÖ¹
ÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËËËÖÖÖÖÒÒÒÖ ÓÓ ω ÓÙÙ ÐÐ ÖÖÐÐ ³ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ Ø U ÐÙÙ
ÔÓØØÒØØØк ÄÄ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ÒØØÖÖØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËË ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ù
ØØÑÔ× ×Ø Ð³³³³ÒØØØØØØØÓÒ × ØØØ× ÔÖÓÔÖÖ× ψ Ø × ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ω Ù ×Ý×¹
ØØÑѺ ÄÄ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÔÔÙظ Ò ØÓÙØØ
ÒÒÖÖÐÐØظ ÖÖÕÙÙÖÖÖ × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ× ÖÖÐÐØØÚ ÑÑÑ×
¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÓÒØØÒØØÖÓÒ× ³³ÖÖÙÑÑÒØ× ÒÒÖÖÙܺ ÁÐ ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÖÖ××× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ ÑÑØ ÓÑÑÑ ×ÓÐÙ¹
ØØÓÒ ÒÒÙØÖÖ ´ÓÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ººº η t = 0¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ
ÐÐÕÙÙÐÐÐ ω = 0µ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
η G (x) =
dA 0 (x)
dx
≡ A 0x .
´½½º½½µ
Ò Ø¸ ÖÖÔÔÖØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ºº µ
A 0xx + vA 0x + A 0 − A
3
0 = 0
´½½º¾¼µ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒÒÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x Ø ÓÓØØÒÒÖ Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
(A 0x ) xx + v(A 0x ) x + A 0x − 3A
2
0 A 0x = 0 .
´½½º¾½µ
Ò ÔÓ××ÒØ η G (x) = A 0x ¸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø
ÐÐÐ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÓÓÓÓØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ η ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½µ¸ Ú ÐÐ
ÖÖÖÖÖ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ η t = 0¸ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ ω = 0 ÕÙÙ
ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÓÒÒÖÑÑÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÙØÖÖ ÓÖÑÙÐÐÐ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½º
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÓ×× −ω ÓÑÑÑ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ Ø ÒÓÒ ω¸ ÓÑÑÑ ÓÒ Ð³³
ØÓÙÙÓÙÖ× Øº ×Ø ØØ ÔÔÖ Ð³ÙØØÐÐ××ØØÓÒ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ³ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËËÖÖÖÖÒÒÒÖº