¾¾¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½ºº ÄÄ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐРг³Ò×ØØÒØ ÒÒØØØÐ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A =
√ Ø ÓÓØ
ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = 0 ÔÖÖ× ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ׺ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×ÙÙÙØ ÙÒ
ÖÓØØØÑÑÒظ ÐÐÐ ÒÒÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÔÖ ×³³ÖÖÖØØÖ Ù ÓÒÒ Ù ÔÙÙØ× Ù ÔÓØØÒØØØи Ø ÕÙÙÐÐÐ
Õ Ù × Ó Ø Ð Ú ÐÐÙÖ ´ÒÓÒ ÒÙÐÐе Ù ÖÓØØØÑÑÒØ vº ËË ÐÐ ×Ø ×××Þ Ðи ÐÐÐ
ØÙÙÖÖ ÕÙÙÐÕÙÙ× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× Ò× ÐÐ ÔÙÙØ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÚÒØ ×³³ÖÖÖØØÖ ´ÓÒ ÔÔÖÐÐ
ÐÓÖ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ×ÓÙ×¹¹ÑÓÖØصº ËË Ù ÐÐ ×Ø ÓÖظ ÐÐР׳³ÖÖÖØØÖÖ
Ù ÓÒÒ Ù ÔÙÙØ× ××Ò× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ´ÓÒ ÔÔÖÐÐ ÐÓÖ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ×ÙÖ¹¹ÑÓÖØصº
ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÔÖ ×³³ÖÖÖØØÖ Ò A = 0¸ ×ÓÓØ ÔÖÖ× ÚÓÓÖ Ó×××ÐÐÐÐ ÙØÓÙÖ A = 0¸ Ó Ù
××Ò× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ¸ ××ÐÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÐÐ ÓÙ ÓÖØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµº
ظ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v¸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ØØØØÒØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ø ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A =
√
Ø A = 0 ÔÔÙÚÚÒØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÓÒÒÒÒØØØ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÑÑØ ÓÒÒ ÙÒÒ ÒÒÒÒØØ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³×Ø ÐÐ ÐÐÑÑÑ
ÐÐ ××ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××׺
ÁÒ×××ØÓÒ× ÙÒÒ ÓÓ× ÔÐÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÔØÙÙÐÐÐ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
г³ÒÚÚ××ÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ Ø ÐÙ٠г³ÒÚ××ÓÒ
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´´ØÙÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
ÔÖÖÖÖÖÖÒصº Ò Ø¸ Ò× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÚÚ×ÙÙÐÐ××
×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº¸ ÒÓÙ× ÓÒÒÒÒØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ A = A 1 ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÑÑØØ×ØØØÐÐ A = A 2 º Ò ÔÔÖØØÒØ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 1 ´´ ÙÙ
ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµ¸ Ø ÔÓÙÖ ÖÖÖÚÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = A 2 ¸ Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ ÖÓØØØÑÑÒØ Ø ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ò ÔÖÖÖÖ×× ×³³Ð ×Ø ØÖÓÔ ÔÔØØظ ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ×× ÔÐÐÐÐ Ù¹¹¹ÐÐ A = A 2 Ø ¸ ¸ Ò × Ð × × Ó Ò ØÖÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ
ÒÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ A = A 2 º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒÕÙÙº Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ×× ÐÐ×
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A 1 Ø A 2 ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØØ ´ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ Ù ÔÓØØÒØØØе¸
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÖÓØØØÑÑÒØ ÓÓØ ØÖÖ ÒÙÐ ´´ººº v = 0µ¸ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ
××ÙÙ ³ÙÒ × ÙÜ ×ÓÑÑÑØ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÖÚÚÚÒÒÒ Ù ×××ÓÒÒ ×ÓÑÑÑØ ³³×Ø
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×ØØØØÐÐØØ Ò× ÐÐ ÐÐÒÒÒÒÒ × ØÖÖÒ××ØØÓÒ×
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½ºº ÄÄ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐРг³Ò×ØØÒØ ÒÒØØØÐ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A =
√ Ø ÓÓØ
ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = 0 ÔÖÖ× ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ׺ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×ÙÙÙØ ÙÒ
ÖÓØØØÑÑÒظ ÐÐÐ ÒÒÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÔÖ ×³³ÖÖÖØØÖ Ù ÓÒÒ Ù ÔÙÙØ× Ù ÔÓØØÒØØØи Ø ÕÙÙÐÐÐ
Õ Ù × Ó Ø Ð Ú ÐÐÙÖ ´ÒÓÒ ÒÙÐÐе Ù ÖÓØØØÑÑÒØ vº ËË ÐÐ ×Ø ×××Þ Ðи ÐÐÐ
ØÙÙÖÖ ÕÙÙÐÕÙÙ× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× Ò× ÐÐ ÔÙÙØ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÚÒØ ×³³ÖÖÖØØÖ ´ÓÒ ÔÔÖÐÐ
ÐÓÖ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ×ÓÙ×¹¹ÑÓÖØصº ËË Ù ÐÐ ×Ø ÓÖظ ÐÐР׳³ÖÖÖØØÖÖ
Ù ÓÒÒ Ù ÔÙÙØ× ××Ò× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ´ÓÒ ÔÔÖÐÐ ÐÓÖ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ×ÙÖ¹¹ÑÓÖØصº
ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÔÖ ×³³ÖÖÖØØÖ Ò A = 0¸ ×ÓÓØ ÔÖÖ× ÚÓÓÖ Ó×××ÐÐÐÐ ÙØÓÙÖ A = 0¸ Ó Ù
××Ò× Ó×××ÐÐÐØØÓÒ¸ ××ÐÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÐÐ ÓÙ ÓÖØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµº
ظ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v¸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ØØØØÒØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ÐÐ ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ø ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A =
√
Ø A = 0 ÔÔÙÚÚÒØ
ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÓÒÒÒÒØØØ× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÑÑØ ÓÒÒ ÙÒÒ ÒÒÒÒØØ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³×Ø ÐÐ ÐÐÑÑÑ
ÐÐ ××ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××׺
ÁÒ×××ØÓÒ× ÙÒÒ ÓÓ× ÔÐÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÔØÙÙÐÐÐ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
г³ÒÚÚ××ÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ Ø ÐÙ٠г³ÒÚ××ÓÒ
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´´ØÙÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
ÔÖÖÖÖÖÖÒصº Ò Ø¸ Ò× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÚÚ×ÙÙÐÐ××
×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº¸ ÒÓÙ× ÓÒÒÒÒØØÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ A = A 1 ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÑÑØØ×ØØØÐÐ A = A 2 º Ò ÔÔÖØØÒØ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò A = A 1 ´´ ÙÙ
ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµ¸ Ø ÔÓÙÖ ÖÖÖÚÖ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = A 2 ¸ Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÓÓÓÓÓÓÒØ ÖÓØØØÑÑÒØ Ø ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ò ÔÖÖÖÖ×× ×³³Ð ×Ø ØÖÓÔ ÔÔØØظ ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ×× ÔÐÐÐÐ Ù¹¹¹ÐÐ A = A 2 Ø ¸ ¸ Ò × Ð × × Ó Ò ØÖÖÖÖÖ¸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ
ÒÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ A = A 2 º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ ÙÒÒÕÙÙº Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ×× ÐÐ×
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A 1 Ø A 2 ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØØ ´ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ Ù ÔÓØØÒØØØе¸
ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ ÖÓØØØÑÑÒØ ÓÓØ ØÖÖ ÒÙÐ ´´ººº v = 0µ¸ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ
××ÙÙ ³ÙÒ × ÙÜ ×ÓÑÑÑØ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÖÚÚÚÒÒÒ Ù ×××ÓÒÒ ×ÓÑÑÑØ ³³×Ø
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×ØØØØÐÐØØ Ò× ÐÐ ÐÐÒÒÒÒÒ × ØÖÖÒ××ØØÓÒ×