½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
½½º¾ ÁÒÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ
ÙÒ ØØØ ×ØØØÐÐ Ò ÓÔØØÒØ ÓÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µº ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÖÖÔÖÖ××× Ù ÓÙÖ×
ÔÔØÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØØ ´ > 0µ
Ø Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ××× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µ¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×³³ØØÐÐ
ÔÓÙÖÒÚÚÚÚÖ ØÓÙØ ÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÒÒÐÝ××Ö ÔÐÙ× Ò ØØØÐ
г³ÒÚÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ A = 0 ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ A =
√
¸ Ø
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÚÚØØ××× vº ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×Ø
ØÖÖ× ÐÙ٠г³ÒÚÚ××ÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ٠г³ÒÚÚ××ÓÒ ×× ××× ÚÚØØ××× ÓÒ×ØØÒØØ v Ò× ×¸ Ð ÜÜ×ØØ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ×ÓÓØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A(x, t) = A(x − vt)
г³ÒÚÚ××ÓÒ Ò× ÙÒ ××Ò× Ø A(x+ vt)¸ г³ÒÚÚ××ÓÒ
Ò× Ð³³ÙØÖÖ ××Ò׺ ÓÓ××××ÓÒ× ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ A(x, t) =
A(x− vt)¸ ÐÓÖ× ÒÓÙ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖØØØÐÐÐ×
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A t = −vA x º Ò ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÖÖÐÐи
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¼º¾¾ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
A xx + vA x = −A + A
3
= −
∂
∂A
[
A
2
2
−
A
4
4
] .
´½½º½½µ
Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½½º½½µ ×Ø ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A ÚÓÐÙÙÒØ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× xº ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÑ××× ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØÙÐÐ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ù Ø Ö Ñ Ò A xx ¸ ÐРгÙÒÒØظ ÔÔÖ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÙÒ ØØÖÑÑ Ò A x Ø ÙÒ ÖÓØØØÑÑÒØ
Ð ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ vº ØØØ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×× ÔÐÐÐÐ Ò× ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙ Ï Ï
W =
A
2
2
−
A
4
4
= −V .
´½½º½¾µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ ×Ø Ð³ÓÔÔÓ×× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ¹
ÙÖÖ ½¼º¿º
ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÒÚÚ××ÓÒ ÖÖÚÚÚÒظ г³³³³ ØØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ØØÖÑÑÒÒÖ
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐРг³Ò×ØØÒØ t = ∞ Ò ÐÐ ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
A =
√ г³Ò×ØØÒØ t = −∞º ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ø ÒÓÒ ÒÙи ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒØ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ظ г³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ×Ø ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ Ò ÓÖÑÑ ÔÔÖÖÖÓÐк Ò× ÒÓѹ
ÖÖÙ××× ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ× ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ г³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø Ù×ØØØØØ
ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒÔØ ×× Ð³Ó×××ÐÐØØÙÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÓÙÙ
Ò×× ÙÒ ÖÖÐÐ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ Ò ÔÔÝ××ÕÙÙº ØØØ ³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ××× ³³ØÖÖ
ÚÚÐÐÐи × ÐÓÖ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÚÚÚÒØ ØÖÓÔ ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ×
ÖØ× Ð³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖи Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÖÖÖÓÙÖÖÖ ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ×
Ù ÔÓØØÒØØØи Ø ÐÓÖ× ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙº
¾¾¾
½½º¾ ÁÒÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ ÔÔÖ
ÙÒ ØØØ ×ØØØÐÐ Ò ÓÔØØÒØ ÓÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐРг³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µº ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÖÖÔÖÖ××× Ù ÓÙÖ×
ÔÔØÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØØ ´ > 0µ
Ø Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ××× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µ¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×³³ØØÐÐ
ÔÓÙÖÒÚÚÚÚÖ ØÓÙØ ÐÐ ×Ý×ØØÑѺ ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÒÒÐÝ××Ö ÔÐÙ× Ò ØØØÐ
г³ÒÚÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐÐ A = 0 ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ A =
√
¸ Ø
ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÚÚØØ××× vº ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×Ø
ØÖÖ× ÐÙ٠г³ÒÚÚ××ÓÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ٠г³ÒÚÚ××ÓÒ ×× ××× ÚÚØØ××× ÓÒ×ØØÒØØ v Ò× ×¸ Ð ÜÜ×ØØ
ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ×ÓÓØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A(x, t) = A(x − vt)
г³ÒÚÚ××ÓÒ Ò× ÙÒ ××Ò× Ø A(x+ vt)¸ г³ÒÚÚ××ÓÒ
Ò× Ð³³ÙØÖÖ ××Ò׺ ÓÓ××××ÓÒ× ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ A(x, t) =
A(x− vt)¸ ÐÓÖ× ÒÓÙ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÖØØØÐÐÐ×
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A t = −vA x º Ò ØÓÙÙÓÙÖ× ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÖÖÐÐи
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¼º¾¾ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
A xx + vA x = −A + A
3
= −
∂
∂A
[
A
2
2
−
A
4
4
] .
´½½º½½µ
Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½½º½½µ ×Ø ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÐÐ ³ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A ÚÓÐÙÙÒØ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× xº ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÑ××× ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØÙÐÐ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø Ù Ø Ö Ñ Ò A xx ¸ ÐРгÙÒÒØظ ÔÔÖ
ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÙÒ ØØÖÑÑ Ò A x Ø ÙÒ ÖÓØØØÑÑÒØ
Ð ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ vº ØØØ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×× ÔÐÐÐÐ Ò× ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙ Ï Ï
W =
A
2
2
−
A
4
4
= −V .
´½½º½¾µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ ×Ø Ð³ÓÔÔÓ×× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ¹
ÙÖÖ ½¼º¿º
ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÒÚÚ××ÓÒ ÖÖÚÚÚÒظ г³³³³ ØØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ØØÖÑÑÒÒÖ
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐРг³Ò×ØØÒØ t = ∞ Ò ÐÐ ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
A =
√ г³Ò×ØØÒØ t = −∞º ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ø ÒÓÒ ÒÙи ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒØ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒØ ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ظ г³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ×Ø ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ Ò ÓÖÑÑ ÔÔÖÖÖÓÐк Ò× ÒÓѹ
ÖÖÙ××× ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ× ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ г³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø Ù×ØØØØØ
ÔÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒÔØ ×× Ð³Ó×××ÐÐØØÙÖ ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÓÙÙ
Ò×× ÙÒ ÖÖÐÐ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐ Ò ÔÔÝ××ÕÙÙº ØØØ ³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ××× ³³ØÖÖ
ÚÚÐÐÐи × ÐÓÖ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ ÚÚÚÒØ ØÖÓÔ ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ×
ÖØ× Ð³³³ÖÑÓÒÒÒÒØØ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖи Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÖÖÖÓÙÖÖÖ ÙÜ ÓÖÖÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ×
Ù ÔÓØØÒØØØи Ø ÐÓÖ× ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÒÖÑÓÒÒÕÙÙº