¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½ºº ü ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ´´Ò ÒÓÓÖµ ÐÐÐÐÐÐ ××Ò× ÚÚØØ××× Ù ×ÓÑÑÑØ ÙÙÙÙ
ÖÖÑÓÒØØ Ø ×³³ÖÖÖØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ×× v = 0 ´´ººº ÔÔ× ÔÔÖØØØÙÐÐ
Ò ÖÖ׺ Ò×׸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ× ´ÐÐ× ×ÓÑÑÑØ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÑÒÒÑÑ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ V ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØØØ W µ A1 Ø
A2 ÒÒ ÔÔÙÚÒØ Ð Ý ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ´A1µ ÔÔÖ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´A2µº ü ÖÓÓØØ ÓÒ ÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ A2º ÐÐй¹¹ ÒÒ ÔÔÙØ ÖÖÖØØÖ
×× ÓÙÖ×× Ò A1 ÕÙÙ ×× ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ××ÖÚ Ò
ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ W (A2) − W (A1) ×ÓÓØ ÜÜÜØØÑÑÒØ ÔÔÖ ÐÐ
×××ÔÔØØÓÒ ÔÔÖ ÖÓØØØÑÑÒغ ÄÄ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ v ´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÖÓØØØÑÑÒص ×Ø
ÓÒÒ ÙÒÒÕÙÙº
ÙÒÒÕÙÙº Ò Ø¸ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔÖØØÒØ ××Ò× ÚÚØØ××× Ù ×ÓÑÑÑØ ÖÓÓØ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ´×× ØÖÓÙÚÒØ Ø Ò A = A 2 µ ÒÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÑÑÑØ ÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´ÕÙÙ ×× ØÖÓÙÚ Ò A = A 1 µ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v
×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ W (A 2 ) − W (A 1 ) ×Ø ÜÜÜØØÑÑÒØ
ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÖÓØØØÑÑÒغ ÅÙÐØØÔÐÐÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÖÓØØØÑÑÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÔÖ A x Ø ÒØØØÖÓÒ× x = −∞
x = ∞ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØØ ÚÚØØ×××
г³ÒÒÐÓÓÙÙ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ Ø
v =
V (A 2 ) − V (A 1 )
∞
−∞ A 2
x dx
.
´½½º½¼µ
ÄÄ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÑÓØØÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ð ÖÖØ ÐÐ ÖÖ××ÖÚ
³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÙÖ v ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×××ÔÔÔº ÄÄ
ÚÚØØ××× ×³³ÒÒÙÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ Ù¹
ØØÙÖ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØغ ³³×Ø ÐÐ ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑÑ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ×ÓÓØ ×ØØØØÐÐØغ ÍÒ ÐÐÐÐÖ × Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´´ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒµ ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÒÚÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
×ØØØÐÐ ÚÚÚ ÙÒÒ ÚÚØØ××× Ò ØØÖÑÑÒÒÒº ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÔÖÓÔÓ×× ´×××ØØÓÒ ½½ººº½µ
ÜÔÐÐÐÐØØ ÚÒØØØØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½ºº ü ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ´´Ò ÒÓÓÖµ ÐÐÐÐÐÐ ××Ò× ÚÚØØ××× Ù ×ÓÑÑÑØ ÙÙÙÙ
ÖÖÑÓÒØØ Ø ×³³ÖÖÖØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ×× v = 0 ´´ººº ÔÔ× ÔÔÖØØØÙÐÐ
Ò ÖÖ׺ Ò×׸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ× ´ÐÐ× ×ÓÑÑÑØ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÑÒÒÑÑ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ V ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØØØ W µ A1 Ø
A2 ÒÒ ÔÔÙÚÒØ Ð Ý ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ´A1µ ÔÔÖ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´A2µº ü ÖÓÓØØ ÓÒ ÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ A2º ÐÐй¹¹ ÒÒ ÔÔÙØ ÖÖÖØØÖ
×× ÓÙÖ×× Ò A1 ÕÙÙ ×× ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ××ÖÚ Ò
ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ W (A2) − W (A1) ×ÓÓØ ÜÜÜØØÑÑÒØ ÔÔÖ ÐÐ
×××ÔÔØØÓÒ ÔÔÖ ÖÓØØØÑÑÒغ ÄÄ ÚÚØØ××× ³³ÒÚÚ××ÓÒ v ´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÖÓØØØÑÑÒص ×Ø
ÓÒÒ ÙÒÒÕÙÙº
ÙÒÒÕÙÙº Ò Ø¸ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔÖØØÒØ ××Ò× ÚÚØØ××× Ù ×ÓÑÑÑØ ÖÓÓØ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ´×× ØÖÓÙÚÒØ Ø Ò A = A 2 µ ÒÒ ÔÔÙØ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÑÑÑØ ÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´ÕÙÙ ×× ØÖÓÙÚ Ò A = A 1 µ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµ ÕÙÙ ×× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v
×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ W (A 2 ) − W (A 1 ) ×Ø ÜÜÜØØÑÑÒØ
ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÖÓØØØÑÑÒغ ÅÙÐØØÔÐÐÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ÖÓØØØÑÑÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÔÖ A x Ø ÒØØØÖÓÒ× x = −∞
x = ∞ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØØ ÚÚØØ×××
г³ÒÒÐÓÓÙÙ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ Ø
v =
V (A 2 ) − V (A 1 )
∞
−∞ A 2
x dx
.
´½½º½¼µ
ÄÄ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÑÓØØÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ð ÖÖØ ÐÐ ÖÖ××ÖÚ
³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÙÖ v ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×××ÔÔÔº ÄÄ
ÚÚØØ××× ×³³ÒÒÙÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ Ù¹
ØØÙÖ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ×ØØØØÐÐØغ ³³×Ø ÐÐ ÔÖÓÓ¹
ÐÐÑÑ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ×ÓÓØ ×ØØØØÐÐØغ ÍÒ ÐÐÐÐÖ × Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´´ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒµ ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÒÚÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
×ØØØÐÐ ÚÚÚ ÙÒÒ ÚÚØØ××× Ò ØØÖÑÑÒÒÒº ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÔÖÓÔÓ×× ´×××ØØÓÒ ½½ººº½µ
ÜÔÐÐÐÐØØ ÚÒØØØØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐк