½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø ÒÙи ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÜÜÜÙØØ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ³Ó×××ÐÐй
ØØÓÒ× Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØк ÁÐ ÓÓØ ÓÒÒ ÜÜ×ØØÖ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÔÓÙÖ
ØÓÙØØ× ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ
ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº 0 < E < <
2 /4µº ÆÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ× ÑÙÐØØÔÐÐ× ×Ø Ò×ØØØÐÐ ××ÙÐÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ
ÔÔÙØ ØÖÖ ×ØØØÐк
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖØ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÐÐÐ Ù ×ÓÑÑÑÒØ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº E =
2 /4µ¸ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ±
√
ÓÓÜÜ×ØØÒغ Ò ÑÔÖÖ¹
ÑÑÒظ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)¸ ÙÒÒ ××ÝÑÑØÖÖÖ ÔÓÙÖ ÔÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ × ÙØØÙÖ× ÖÖÒØØ׸ гÙÒÒ × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÚÒØ
ÑÑØØ×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¿º¾ ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØØÐÐØص¸ Ø ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× ÜÜ×ØØÖº ËÓÙÚÚÒÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ¸ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ
ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ× ÑÑÒÒÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ V ×ÓÒØ ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
ØØØ W ³ÓÓ ÖÖÚÚ ÐÐ ÓÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº ÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
½½ººµ¸ ÒÓÙ× ÚÓÝÓÒ× ××ÑÑÒØ ÕÙ³³Ò ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÔÔØØØ ×ÓÑÑÑظ ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØÙÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÑÑ׸ Ù Ø ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ
Ò³³ÖÖÖÚÚ ÑÑÑ× ÖÖÑÓÒØØÖ Ð³³ÙØÖÖ ØØ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÖÖÒÒ ×ÓÑÑÑغ
ÁÐ Ò ÖÖ×ÙÐØØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ±
√
ÒÒ ÔÔÙÚ ÓÓÜÜ×ØØÖº
ÆÓØÓÒ׸ ÚÒØ Ø Ð Ñ Ó Ò ØÖÖÖ Ò× ÐÐ ×ÙÙØØ Ù ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÖÓÒØ × Ó Ò Ø ÒÒÖÖÖØØÕÙÙÑÑÒØ Ø Ó Ø Ù × × × Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÒÒ Ð³³ÐÐÑѹ
ÒÒØØÓÒ × ÔÓÙÖ ÐÐÐÖ ÚÚÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÒÒÐи ×ÓÓØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÔÓ××ØØÚÚ
√
ÓÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÒÒØØÚÚ −
√
º
½½º½º¿ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ׸ ÓÒ ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ¸ ÕÙ³³Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Øع
ÐÐ ÒÚÚÚÚÚ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÖÖÚÚÚÒظ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸
ÐÐÐÖ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÔÐÙ× ÙØ ×ÓÑÑÑØ ´´´ÙÖÖ ½½ººµ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÐÙ× × ×ÓÑÑÑغ
ÔÔÔÐÓÒ× v ÐÐ ÚÚØØ××× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÖÖÒÓÒ× ÓÒ×ØØÒØظ ÓÒÒ ÒÒÒÔÔÒ¹
ÒØØ Ù ØØÑÔ׸ Ø ÔÓ××ØØÚ¸ Ø ÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ A(x − vt)º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µ ׳³³ÖÖØ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
A xx + vA x −
∂V
∂A
= 0 .
´½½ººµ
Ò ÚÚÖØ٠г³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ØØÑÔ׸ г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ×Ø ÒÒÐÓÓÙÙ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÓÑÔÓÖØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ
ÄÄ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÔÖÖÓÖÖ ÒÒÓÒÒÙÙ ÐÐÐ
ÖÖ×ØØ ØØÖÑÑÒÒÖº ÁÐ ×Ø ×××Þ ×× ÖÖÒÒÖÖ ÓÑÔØØ ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××× ×Ø
Ò ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐР׳³ÖÖÖØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑØ ÐÐ ÑÓÓÒ×
Ùظ Ø ÔÔÙØ ÖÖØÓÙÖÒÒÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐк ËË ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×ØÓÔÔÔ ÐÐ ×ÓÒ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÜ ÖÓÒØ× ´´´ÙÖÖ ½½ººµº ÐÐÐ ÔÔÙØ ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØ Ù Ò
ÒÓÑÖÖ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ³³ÐÐÐÖ Ø ÖÖØÓÙÖ Ø¸ Ò× ×¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÑÙÐØØØÖÓÒØ׺ ÆÓÙ× Ò³³ÐÐÓÒ×
ÔÔÒÒÒÒØ ÔÔ× ÒÓÙ× ØØÒÒÖÖ ×ÙÖ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ º
¾¾¾
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÓØØØÑÑÒØ ×Ø ÒÙи ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÜÜÜÙØØ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ³Ó×××ÐÐй
ØØÓÒ× Ù ×××Ò Ù ÔÓØØÒØØØк ÁÐ ÓÓØ ÓÒÒ ÜÜ×ØØÖ ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÒØØÒÙÙ ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÔÓÙÖ
ØÓÙØØ× ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ
ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº 0 < E < <
2 /4µº ÆÓÙ× ÚÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ× ÑÙÐØØÔÐÐ× ×Ø Ò×ØØØÐÐ ××ÙÐÐ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ
ÔÔÙØ ØÖÖ ×ØØØÐк
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖØ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÐÐÐ Ù ×ÓÑÑÑÒØ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº E =
2 /4µ¸ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ±
√
ÓÓÜÜ×ØØÒغ Ò ÑÔÖÖ¹
ÑÑÒظ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V (A)¸ ÙÒÒ ××ÝÑÑØÖÖÖ ÔÓÙÖ ÔÐÐÐÐÖ ÐÐ× ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ × ÙØØÙÖ× ÖÖÒØØ׸ гÙÒÒ × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÚÒØ
ÑÑØØ×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¿º¾ ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØØÐÐØص¸ Ø ÙÒÒ
×ÓÐÙØØÓÒ ÜÜ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÐÙ× ÜÜ×ØØÖº ËÓÙÚÚÒÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ¸ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ
ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ× ÑÑÒÒÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ V ×ÓÒØ ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
ØØØ W ³ÓÓ ÖÖÚÚ ÐÐ ÓÖÖÖ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº ÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
½½ººµ¸ ÒÓÙ× ÚÓÝÓÒ× ××ÑÑÒØ ÕÙ³³Ò ÐÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÔÔØØØ ×ÓÑÑÑظ ÐÐ ÔÔÖ¹
ØØØÙÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÑÑÑ׸ Ù Ø ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ
Ò³³ÖÖÖÚÚ ÑÑÑ× ÖÖÑÓÒØØÖ Ð³³ÙØÖÖ ØØ Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÖÖÒÒ ×ÓÑÑÑغ
ÁÐ Ò ÖÖ×ÙÐØØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ±
√
ÒÒ ÔÔÙÚ ÓÓÜÜ×ØØÖº
ÆÓØÓÒ׸ ÚÒØ Ø Ð Ñ Ó Ò ØÖÖÖ Ò× ÐÐ ×ÙÙØØ Ù ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÖÓÒØ × Ó Ò Ø ÒÒÖÖÖØØÕÙÙÑÑÒØ Ø Ó Ø Ù × × × Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÒÒ Ð³³ÐÐÑѹ
ÒÒØØÓÒ × ÔÓÙÖ ÐÐÐÖ ÚÚÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÒÒÐи ×ÓÓØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÔÓ××ØØÚÚ
√
ÓÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÒÒØØÚÚ −
√
º
½½º½º¿ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ׸ ÓÒ ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ¸ ÕÙ³³Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Øع
ÐÐ ÒÚÚÚÚÚ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ ÖÖÚÚÚÒظ Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸
ÐÐÐÖ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÔÐÙ× ÙØ ×ÓÑÑÑØ ´´´ÙÖÖ ½½ººµ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÐÙ× × ×ÓÑÑÑغ
ÔÔÔÐÓÒ× v ÐÐ ÚÚØØ××× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÖÖÒÓÒ× ÓÒ×ØØÒØظ ÓÒÒ ÒÒÒÔÔÒ¹
ÒØØ Ù ØØÑÔ׸ Ø ÔÓ××ØØÚ¸ Ø ÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ A(x − vt)º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µ ׳³³ÖÖØ ÐÓÖ× ÓÑÑÑ
A xx + vA x −
∂V
∂A
= 0 .
´½½ººµ
Ò ÚÚÖØ٠г³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÓÓ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ØØÑÔ׸ г³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ×Ø ÒÒÐÓÓÙÙ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÓÑÔÓÖØØÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ
ÄÄ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÓØØØÑÑÒØ v ×Ø ÔÖÖÓÖÖ ÒÒÓÒÒÙÙ ÐÐÐ
ÖÖ×ØØ ØØÖÑÑÒÒÖº ÁÐ ×Ø ×××Þ ×× ÖÖÒÒÖÖ ÓÑÔØØ ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××× ×Ø
Ò ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐР׳³ÖÖÖØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑØ ÐÐ ÑÓÓÒ×
Ùظ Ø ÔÔÙØ ÖÖØÓÙÖÒÒÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐк ËË ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×ØÓÔÔÔ ÐÐ ×ÓÒ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÜ ÖÓÒØ× ´´´ÙÖÖ ½½ººµº ÐÐÐ ÔÔÙØ ÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØ Ù Ò
ÒÓÑÖÖ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ³³ÐÐÐÖ Ø ÖÖØÓÙÖ Ø¸ Ò× ×¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÑÙÐØØØÖÓÒØ׺ ÆÓÙ× Ò³³ÐÐÓÒ×
ÔÔÒÒÒÒØ ÔÔ× ÒÓÙ× ØØÒÒÖÖ ×ÙÖ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ º