¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½º¿ ËË E =
2 /4¸ ÐÐ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐРг³Ò×ØØÒØ ÒÒØØØÐ
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = −
√ Ø A =
√ Ò ÙÒ ØØÑÔ× ØÖÖ× ÖÖÒÒ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐÐ
×Ø ÐÐÐ ³ÙÒ × ×ÓÑÑÑØ× Ø ÖÖÖÚÖÖ Ð³³ÙØÖÖ ×ÓÑÑÑصº ³³×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ
××ÙÐ ÖÓÒغ ËË
2 /4 < E < 0¸ ÐÐ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐÐ ³ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ ××
ØÖÓÙÚÒØ Ò ××ÓÙ× × ÙÜ ÜØÖÖÑѺ Ò× × ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ´××Ò× ÖÓØØØÑÑÒØ Ø Ò ×
г³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙµ Ó×××ÐÐÐ ÒÒÒÒÒÒÑÑÒØ Ø Ò ØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÓ××ØØÓÒ׺ ÁР׳³³³Ø ÓÒÒ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÖÓÒØ׺
ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ò ØØÑÔ× Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙµº ÁÑÑÑÑÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÐÐÐÐÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿µ ÙÒÒ ÔÔÖ¹
ØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÑÑÑÑ ÒÒÑѸ ÑÑÒÒ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ¿ ¸
ÓÒÒ ÚÖ× ÐÐ ÖÓÓØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿º ÅÅÅ× Ò Ð³³³××ÒÒÒ
ØÓØØÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒ ×³³ÖÖÖØØ ÔÔ× Ù ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐÐ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ×× ÓÙÖ×× ÚÚÖ× ÐÐ ÖÓÓØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿ ظ Ù Ø
ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ¸ ÒÒØ ×× ÓÙÖ×× Ù ×ÓÑÑÑØ ÖÓÓØØ Ù
ÔÓØØÒØØØи ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
ÔÔÖغ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ½½ººº
ÄÄ ØØÑÔ× ÕÙÙ ÑÑØ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓÙÖ ÔÔ×××Ö ³ÙÒ ×ÓÑÑÑØ Ð³³ÙØÖÖ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ØØÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒº Ò Ø¸ ÓÑÑÑ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØи ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÙÒÒ ÚÚØØ××× ÒÙÐÐи Ð ÙØ ÙÒ ØØÑÔ× ÒÒÒÒ ÔÓÙÖ Ý ÖÖÖÚÚÖ º º Ò
×ÓÑÑѸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔ××× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ −
√
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
√
Ò× ÙÒ ÒØØÖÚÚÐÐÐ
ØØÑÔ× ÒÒÒÒ¸ ×ÓÓØ [−∞, ∞]º
ÜÜÖ ÐÐ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ E ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐÐ Ù ×Óѹ
ÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº E < <
2 /4µ¸ ÖÖÚÚÚÒØ ÐÐÐÖ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ³ÙÒÒ ÙØØÙÖ
ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ Ø ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿µº
¿ ÄÄ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔÙØ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÔÔÖØØÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÑÑÑ× Ò× × ³³×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÕÙÙ Ö ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒ ×³³ÖÖÖØØ ÑÑÑ× ØÝÔÔ ×Ø ÖØØ ÐÐ
××Ù×××ÓÒº
ÄÄ ØØÑÔ× ÔÔ××××× ³ÙÒ ×ÓÑÑÑØ Ð³³ÙØÖÖ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ λ =
R λ/2
−λ/2
dx =
R √
−
√
dA/Ax ∼
R
dA/[(A −
√
)(A +
√
)]¸ ÓÓ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ E ×Ø ÜÜÜ E = 2 /4¸ ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V º È ÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ ÐÓÓ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÓÙÖ ÜØÖÖÖÖÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Axº Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖ λ ÚÖÖÖ ÐÓÓÓÖÖØØÑÑÕÙÙÑÑÒØ Ø Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ × ÙÜ ×ÓÑÑÑØ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½º¿ ËË E =
2 /4¸ ÐÐ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐРг³Ò×ØØÒØ ÒÒØØØÐ
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = −
√ Ø A =
√ Ò ÙÒ ØØÑÔ× ØÖÖ× ÖÖÒÒ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐÐ
×Ø ÐÐÐ ³ÙÒ × ×ÓÑÑÑØ× Ø ÖÖÖÚÖÖ Ð³³ÙØÖÖ ×ÓÑÑÑصº ³³×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ
××ÙÐ ÖÓÒغ ËË
2 /4 < E < 0¸ ÐÐ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ×Ø ÐÐÐÐÐÐ ³ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ ××
ØÖÓÙÚÒØ Ò ××ÓÙ× × ÙÜ ÜØÖÖÑѺ Ò× × ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ´××Ò× ÖÓØØØÑÑÒØ Ø Ò ×
г³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙµ Ó×××ÐÐÐ ÒÒÒÒÒÒÑÑÒØ Ø Ò ØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÔÓ××ØØÓÒ׺ ÁР׳³³³Ø ÓÒÒ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÖÓÒØ׺
ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ò ØØÑÔ× Ò× Ð³³ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙµº ÁÑÑÑÑÒÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÐÐÐÐÓÒ× ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿µ ÙÒÒ ÔÔÖ¹
ØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÑÑÑÑ ÒÒÑѸ ÑÑÒÒ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ¿ ¸
ÓÒÒ ÚÖ× ÐÐ ÖÓÓØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿º ÅÅÅ× Ò Ð³³³××ÒÒÒ
ØÓØØÐÐ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒ ×³³ÖÖÖØØ ÔÔ× Ù ÓÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐÐ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ×× ÓÙÖ×× ÚÚÖ× ÐÐ ÖÓÓØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÖÖÖÖ Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿ ظ Ù Ø
ÐРг³ÒÒÖÖÖÖ¸ ÒÒØ ×× ÓÙÖ×× Ù ×ÓÑÑÑØ ÖÓÓØØ Ù
ÔÓØØÒØØØи ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÙØØÙÖ ÔÓØØÒØØØÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ
ÔÔÖغ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖØ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ½½ººº
ÄÄ ØØÑÔ× ÕÙÙ ÑÑØ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÓÙÖ ÔÔ×××Ö ³ÙÒ ×ÓÑÑÑØ Ð³³ÙØÖÖ Ù ÔÓØØÒ¹
ØØØÐ ØØÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒº Ò Ø¸ ÓÑÑÑ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØи ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÙÒÒ ÚÚØØ××× ÒÙÐÐи Ð ÙØ ÙÒ ØØÑÔ× ÒÒÒÒ ÔÓÙÖ Ý ÖÖÖÚÚÖ º º Ò
×ÓÑÑѸ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔ××× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ −
√
ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
√
Ò× ÙÒ ÒØØÖÚÚÐÐÐ
ØØÑÔ× ÒÒÒÒ¸ ×ÓÓØ [−∞, ∞]º
ÜÜÖ ÐÐ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ E ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐÐ Ù ×Óѹ
ÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ººº E < <
2 /4µ¸ ÖÖÚÚÚÒØ ÐÐÐÖ ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ³ÙÒÒ ÙØØÙÖ
ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ Ø ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿µº
¿ ÄÄ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÔÔÙØ ÚÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ÔÔÖØØÖ ÚÚÖ× ÐÐ ÑÑÑ× Ò× × ³³×Ø ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÕÙÙ Ö ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÒÒ ×³³ÖÖÖØØ ÑÑÑ× ØÝÔÔ ×Ø ÖØØ ÐÐ
××Ù×××ÓÒº
ÄÄ ØØÑÔ× ÔÔ××××× ³ÙÒ ×ÓÑÑÑØ Ð³³ÙØÖÖ ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ λ =
R λ/2
−λ/2
dx =
R √
−
√
dA/Ax ∼
R
dA/[(A −
√
)(A +
√
)]¸ ÓÓ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ E ×Ø ÜÜÜ E = 2 /4¸ ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V º È ÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÖÖ×ÙÐØØظ ÒÓÙ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ ÐÓÓ
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÓÙÖ ÜØÖÖÖÖÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Axº Ò×׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖ λ ÚÖÖÖ ÐÓÓÓÖÖØØÑÑÕÙÙÑÑÒØ Ø Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ × ÙÜ ×ÓÑÑÑØ׺