½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
½½º½º¾ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÆÆÛØÓÒ
ÄÄ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½½ºº ÔÔÙØ ØÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ
ÔÔÖÖÙ٠г³³³³ ³ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº ÄÄÄÖÖ ÒÓÙ× ³³ÑÑѹ
ÒÒÖ ÕÙÙ x¸ Ú ÖÖÖÖÐÐ ÖÖÖÐÐи ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÚÖÖÖÖÐÐ ØÝÔÔ ØØÑÔ× º ij³ÑÔÐй
ØÙÙÙ A ÓÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ x¸ Ø ÔÔÙØ ØÖÖ
ÚÙÙ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ´ÓÙ ÙÒ ÒÒÐи ÓÙ ÙÒ ÖÖ ÐÐÐÐÖØØ
ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙµº Ò× ÖÖ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µ ÜÔÖÖÑÑÑ
Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÖÖÚÚØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÙÙ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ÆÆÛØÓÒ ÓÓ ÐÐ ØØÖÑÑ A xx ×Ø ÐÓÖ× Ð³³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ¸ Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
F (A) =
∂V (A)
∂A = −A + A
3
×Ø ×××ÑÑÐÐÐ ÐÐ ÓÖÖÖ ´ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×××
ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø A xx ×Ø ÐÓÖ× ÐРгÙÒÒØصº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½½ºº ׳³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
A xx = F (A) = −A + A
3
= −
∂
∂A
A
2
2
−
A
4
4
= −
∂
∂A
W (A)
´½½ººµ
Ú
W =
A
2
2
−
A
4
4
= −V
´½½ººµ
ÓÓ W ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØ ÖÖÚ ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÖÖ×ÔÓÒ×××ÐÐ Ù ÔÐÐÐÐÑÑÒØ ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ W ÔÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ××ÙÐ × ÕÙÙ
ÒÓÙ× µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ W ÒÓÑÑÓÒ×¹ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ØØظ
ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò× ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÔÔÓ××
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ W ÔÓ××××× ÙÜ ÑÑÜÜÑѸ
ÓÒÒ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÓÓÓÐÐ××× Ò A = ±
√
× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ×
Ò× ÐÐ ÚÚÖ××ÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÑÑÑ× Ò×ØØØÐÐ× Ò× ÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº
ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ¾ × ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ
г³³××ÒÒÒ ØØÖÑÑ ØÝÔÔ A x Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
1
2
A
2
x + W = E
´½½ººµ
ÙÒÒ ÐÓÓ ÐÐй¹¹ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÐÓÓ
г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ×
ÒÒÖÖÖÖ× ÒÒØØÕÙÙ Ø ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÓÓØ ÖÖ×ØØÖ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØظ ÒÓØØØ E¸ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× xº
Ò× ÐÐ ÖÖ ØØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÓÒÒÒÜÜÓÒ ÐÐ× ÙÜ ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ±
√
´ÓÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ
ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÔÔ××××× ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐРг³Ò×ØØÒØ x = −∞ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = −
√
´×ÓÑÑÑØ ÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿µ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A =
√ ´×ÓÑÑÑØ
ÖÓÓØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿µ г³Ò×ØØÒØ x = ∞º Ò Ø¸ ÔÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×¹
ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÒÒ ÙÙÙÒ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ ÔÔ× ØØÖÑÑ ØÝÔÔ A x ´ ºº ÖÖÚ
¾ ÁÐ ×ÙÙØ ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÔÖ Ax¸ Ø ÖÖÖÐÐ××Ö Ò×ÙÙØØ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ∂x[A 2
x /2 + W (A)] = 0¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒØÖÖ ÖÓÓØ× ×Ø
ÙÒÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ØØØ ×Ø ÒÓØØØ Eº
¾¾¾
½½º½º¾ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÆÆÛØÓÒ
ÄÄ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½½ºº ÔÔÙØ ØÖÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ
ÔÔÖÖÙ٠г³³³³ ³ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº ÄÄÄÖÖ ÒÓÙ× ³³ÑÑѹ
ÒÒÖ ÕÙÙ x¸ Ú ÖÖÖÖÐÐ ÖÖÖÐÐи ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ ÚÖÖÖÖÐÐ ØÝÔÔ ØØÑÔ× º ij³ÑÔÐй
ØÙÙÙ A ÓÒÒ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ x¸ Ø ÔÔÙØ ØÖÖ
ÚÙÙ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÔÓ××ØØÓÒ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ´ÓÙ ÙÒ ÒÒÐи ÓÙ ÙÒ ÖÖ ÐÐÐÐÖØØ
ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙµº Ò× ÖÖ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¿µ ÜÔÖÖÑÑÑ
Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÖÖÚÚØ ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÙÙ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ
ÆÆÛØÓÒ ÓÓ ÐÐ ØØÖÑÑ A xx ×Ø ÐÓÖ× Ð³³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ¸ Ø Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
F (A) =
∂V (A)
∂A = −A + A
3
×Ø ×××ÑÑÐÐÐ ÐÐ ÓÖÖÖ ´ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×××
ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ Ø A xx ×Ø ÐÓÖ× ÐРгÙÒÒØصº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½½ºº ׳³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
A xx = F (A) = −A + A
3
= −
∂
∂A
A
2
2
−
A
4
4
= −
∂
∂A
W (A)
´½½ººµ
Ú
W =
A
2
2
−
A
4
4
= −V
´½½ººµ
ÓÓ W ×Ø ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØ ÖÖÚ ÐÐ ÓÖÖÖ¸ ÖÖ×ÔÓÒ×××ÐÐ Ù ÔÐÐÐÐÑÑÒØ ÐÐ
ÔÔÖØØØÙÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º¿¸ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ Ð Ô Ó Ø Ò ØØØÐ W ÔÓÙÖ > 0¸ ÐÐ ××ÙÐ × ÕÙÙ
ÒÓÙ× µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ W ÒÓÑÑÓÒ×¹ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ØØظ
ÔÙÙ×ÕÙ³³Ð ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ Ò× ÙÒÒ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×Ø Ð³ÓÔÔÓ××
Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÔÔÝ××ÕÙÙº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ W ÔÓ××××× ÙÜ ÑÑÜÜÑѸ
ÓÒÒ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ׸ ÐÓÓÓÐÐ××× Ò A = ±
√
× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ×
Ò× ÐÐ ÚÚÖ××ÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÑÑÑ× Ò×ØØØÐÐ× Ò× ÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙº
ÈÈÖ ÒÒÐÓÓÓÓ Ú ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ¾ × ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ
г³³××ÒÒÒ ØØÖÑÑ ØÝÔÔ A x Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
1
2
A
2
x + W = E
´½½ººµ
ÙÒÒ ÐÓÓ ÐÐй¹¹ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÐÓÓ
г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ×
ÒÒÖÖÖÖ× ÒÒØØÕÙÙ Ø ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ÓÓØ ÖÖ×ØØÖ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØظ ÒÓØØØ E¸ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× xº
Ò× ÐÐ ÖÖ ØØØ ÒÒÐÓÓÓÓ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÓÒÒÒÜÜÓÒ ÐÐ× ÙÜ ×Ó¹
ÐÙØØÓÒ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ±
√
´ÓÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÓÒØ ÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ
ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÔÔ××××× ÐÐ ÔÔÖØØØÙÐРг³Ò×ØØÒØ x = −∞ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A = −
√
´×ÓÑÑÑØ ÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿µ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ A =
√ ´×ÓÑÑÑØ
ÖÓÓØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÐÐ ÙÖÖ ½½º¿µ г³Ò×ØØÒØ x = ∞º Ò Ø¸ ÔÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×¹
ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÒÒ ÙÙÙÒ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ
ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ ÔÔ× ØØÖÑÑ ØÝÔÔ A x ´ ºº ÖÖÚ
¾ ÁÐ ×ÙÙØ ÑÙÐØØÔÐÐÐÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ ÔÔÖ Ax¸ Ø ÖÖÖÐÐ××Ö Ò×ÙÙØØ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ∂x[A 2
x /2 + W (A)] = 0¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÒØÖÖ ÖÓÓØ× ×Ø
ÙÒÒ Ù ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ØØØ ×Ø ÒÓØØØ Eº