½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¾
ÙÜ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ׸ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
ÙÜ ÒÒÓÒÒÙÙ× (a, b)
[σ + 2ρ
2
0 + Q
2
]a + 2iρ 0 q 0 Qb = 0,
´½¼ºº¼µ
−
2iq 0 Q
ρ 0
a + [σ + Q
2
]b = 0.
´½¼ºº½µ
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ¸ ÓÒØ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
σ ± = q
2
0 − Q
2
±
(q 2
0 − 1) 2 + 4q 2
0 Q 2 .
´½¼ºº¾µ
σ − ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØغ Ò ÖÖÚÒÒ¸ ÐÐ ÖÖÒÒ σ + ÔÔÙØ ÔÓ××ØØÚÚº
ÇÒ Ô Ô Ù Ø ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ³³×Ø ÐÐ × ×× q
2
0 > 1/3 ´ÚÓÓÖ ÐÐÑÑÒØ ÐÐ
ÔÖÓÓÓÓÓÒ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔµ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÜÜ×ØØÒØ Ô Ó Ù Ö
× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× |q 0 | < 1¸ Ò×ØØØÐÐ × ÐÓÖ× ÕÙÙ |q 0 | > 1/
√
3º ³³ÔÖÖ× ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ q Ø q 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ¸ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ ØØ Ò×ØØØØÐÐØØ
³³³Ù× ¸ ×× ÐÐÒÒ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ
< (q − 1)
2 /3 .
´½¼ºº¿µ
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ ÖÖÖÙÙØ ÐÐ ÒÒÒ ÒÒØØØÐÐ × ØØØ× ÔÓ××××ÐÐ× ´´ººº
|q − 1| <
√
¸ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ Ò ÙÒÒ ÒÒÒ ÔÐÙ× ØÖÓÓØØ ÒÒÒ ÔÔÖ |q − 1| <
√ /
√
3º
½¼º¿º½ ij³Ò×ØØØØÐÐØØ ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÔÔÔ××
Ò ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ÔÖÖÖÖ×× ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ ÔÖÓÓÓÓÓÒ× Ð³³ÒÒÐÝ××
× ÚØØÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× σ ± º ÄÄ ÖÖÒÒ σ +
ÔÓ××ØØÚ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Q ×××Þ ÔÔØØØØ× ´´ÓÒÒ ÔÓÙÖ
ÖÖÒÒÒ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ× ³ÓÒÒÒµº Ò Ø¸ Ò ÖÖÖÖÖÖÚÚÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ σ + ÓÑÑÑ
σ + = 2Q
2
3q
2
0 − 1 − Q
2 /2
ρ 2
0 + Q 2 +
(q 2
0 − 1) 2 + 4q 0 Q 2
´½¼ºººµ
ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ σ + ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÐÓÖ×
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ q
2
0 > 1/3 ×Ø ÖÖÖÐÐ××׸ ÐÐ ÖÖÒÒ σ + ÚÚÚÒØ Ô Ó × Ø Ú ¸ ÕÙÙ ××
ÔÖÓÓÙÙØ ØÓÙØ ÔÓÙÖ × ÔÔØØØØ× ÚÚÐÐÙÖ×
½ Qº
½ ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ ×× φ(x) ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸
Ð Ò ×Ø ÑÑÑÑ φ(x + x 0 )¸ Ó x 0 ×Ø ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ¸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù Ò
ÔÐÐÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ô × qx 0 ÑÓÓÓ ÖÖÚÚÚÒØ ÔÐÐÐÐÖ Ò ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙº
ÓÑÑÑ Ð ×³³³³Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ
ÑÓÓÓ Ò ÙÒ ØØÑÔ× ÚÚÚ ÒÒÒÒ¸ ÓÙ¸ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ ÙÒ ØØÑÔ×
ÖÖÐÐÜÜØØÓÒ ÒÒÒÒ ÚÖ× ÐÐ ÑÓÓÓ ÒÒØØØк ËÓÙÚ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ¸ ³³×Ø ÙÒ ÑÓÓÓ
ÐÐÒØ ÕÙÙ ØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò Ø¸ Ò ØÙÙÒØ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ
ÐÓÓÓи ×ÓÒØ Ò ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÐÐ× ÔÐÙ× ÐÐÒØ× ÕÙÙ ×ÓÒظ ÔÔÖ ÓÒØØÒÙÙØظ ÐÐ× ÔÐÙ×
ÔÖÓÓÓÓ× Ù ÑÓÓÓ ÓÑÓÓÓÒÒ × ÑÓÓÓ× ×ÓÒØ ÙÜ ÖÖÒÒÒ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ×
³ÓÒÒÒ¸ ×ÓÓØ × ÔÔØØØØ× ÚÚÐÐÙÖ× Qº
¾¾¾
ÙÜ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ׸ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
ÙÜ ÒÒÓÒÒÙÙ× (a, b)
[σ + 2ρ
2
0 + Q
2
]a + 2iρ 0 q 0 Qb = 0,
´½¼ºº¼µ
−
2iq 0 Q
ρ 0
a + [σ + Q
2
]b = 0.
´½¼ºº½µ
ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ¸ ÓÒØ ÐÐ
×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
σ ± = q
2
0 − Q
2
±
(q 2
0 − 1) 2 + 4q 2
0 Q 2 .
´½¼ºº¾µ
σ − ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÒÒÒÒØØغ Ò ÖÖÚÒÒ¸ ÐÐ ÖÖÒÒ σ + ÔÔÙØ ÔÓ××ØØÚÚº
ÇÒ Ô Ô Ù Ø ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ³³×Ø ÐÐ × ×× q
2
0 > 1/3 ´ÚÓÓÖ ÐÐÑÑÒØ ÐÐ
ÔÖÓÓÓÓÓÒ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔµ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ÜÜ×ØØÒØ Ô Ó Ù Ö
× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× |q 0 | < 1¸ Ò×ØØØÐÐ × ÐÓÖ× ÕÙÙ |q 0 | > 1/
√
3º ³³ÔÖÖ× ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ q Ø q 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ¸ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ ØØ Ò×ØØØØÐÐØØ
³³³Ù× ¸ ×× ÐÐÒÒ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÐÐÐ× ÕÙÙ
< (q − 1)
2 /3 .
´½¼ºº¿µ
ij³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ ÖÖÖÙÙØ ÐÐ ÒÒÒ ÒÒØØØÐÐ × ØØØ× ÔÓ××××ÐÐ× ´´ººº
|q − 1| <
√
¸ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ Ò ÙÒÒ ÒÒÒ ÔÐÙ× ØÖÓÓØØ ÒÒÒ ÔÔÖ |q − 1| <
√ /
√
3º
½¼º¿º½ ij³Ò×ØØØØÐÐØØ ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ÔÔÔ××
Ò ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ÔÖÖÖÖ×× ØØØ Ò×ØØØØÐÐØظ ÔÖÓÓÓÓÓÒ× Ð³³ÒÒÐÝ××
× ÚØØÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× σ ± º ÄÄ ÖÖÒÒ σ +
ÔÓ××ØØÚ ÔÓÙÖ × ÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Q ×××Þ ÔÔØØØØ× ´´ÓÒÒ ÔÓÙÖ
ÖÖÒÒÒ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ× ³ÓÒÒÒµº Ò Ø¸ Ò ÖÖÖÖÖÖÚÚÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ σ + ÓÑÑÑ
σ + = 2Q
2
3q
2
0 − 1 − Q
2 /2
ρ 2
0 + Q 2 +
(q 2
0 − 1) 2 + 4q 0 Q 2
´½¼ºººµ
ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ σ + ×Ø ØØÖÑÑÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÐÓÖ×
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ q
2
0 > 1/3 ×Ø ÖÖÖÐÐ××׸ ÐÐ ÖÖÒÒ σ + ÚÚÚÒØ Ô Ó × Ø Ú ¸ ÕÙÙ ××
ÔÖÓÓÙÙØ ØÓÙØ ÔÓÙÖ × ÔÔØØØØ× ÚÚÐÐÙÖ×
½ Qº
½ ×Ø ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ ×× φ(x) ×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸
Ð Ò ×Ø ÑÑÑÑ φ(x + x 0 )¸ Ó x 0 ×Ø ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ¸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ù Ò
ÔÐÐÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ô × qx 0 ÑÓÓÓ ÖÖÚÚÚÒØ ÔÐÐÐÐÖ Ò ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙº
ÓÑÑÑ Ð ×³³³³Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙÙ
ÑÓÓÓ Ò ÙÒ ØØÑÔ× ÚÚÚ ÒÒÒÒ¸ ÓÙ¸ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒظ ÙÒ ØØÑÔ×
ÖÖÐÐÜÜØØÓÒ ÒÒÒÒ ÚÖ× ÐÐ ÑÓÓÓ ÒÒØØØк ËÓÙÚ ÑÓÓÓ ÓÐÐ×ØÓÒÒ¸ ³³×Ø ÙÒ ÑÓÓÓ
ÐÐÒØ ÕÙÙ ØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑѺ Ò Ø¸ Ò ØÙÙÒØ ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ Ù ÑÓÓÓ
ÐÓÓÓи ×ÓÒØ Ò ÐÐ× ÑÓÓÓ× ÐÐ× ÔÐÙ× ÐÐÒØ× ÕÙÙ ×ÓÒظ ÔÔÖ ÓÒØØÒÙÙØظ ÐÐ× ÔÐÙ×
ÔÖÓÓÓÓ× Ù ÑÓÓÓ ÓÑÓÓÓÒÒ × ÑÓÓÓ× ×ÓÒØ ÙÜ ÖÖÒÒÒ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ×
³ÓÒÒÒ¸ ×ÓÓØ × ÔÔØØØØ× ÚÚÐÐÙÖ× Qº