¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ 1 Ò q =
1 + q 0
√
º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ |q 0 | < 1
> (q − 1)
2 .
´½¼º¿¿µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒ××××ÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µº ËË ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾ ÓÓØØÒÙÙ
г³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ××ÖÖÖØ ÐÐ
1 − 4q 2
0 /
3 − 38α/9¸ ¸ Ø Ò Ó Ò
1 − q 2
0 º ÁР׳³Ò×ÙÙØ ´´Ò ÖÖÖÒØ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÕÙÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ
ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙÙµ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ×× q
2
0 < 1/4¸ Ø ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ½¼º¿¿
> 4(q − 1)
2 .
´½¼º¿¿µ
ÄÄ ÖÖÐÐØØÓÒ ××Ù٠г³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼ººµ
ÒÓÙ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ φ = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´´ººº ω > 0µ ×× >
(q
2
− 1)
2
¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ q ×Ø ÔÖÓÓÓÓ Ð³ÙÒÒØØ Ò ÚÚÖØÙ Ù Ø ÕÙÙ ×Ø
ÔÔØØص ×× > 4(q − 1)
2
º Ò×׸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
´´ÒÒÒÒÐÐØØ ½¼º¿¿µ ÓÓÒÒÒÒÒ ÓÒÒ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
φ = 0º Æ Ó Ù × × Ó Ò ØØÒÙÙÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ Ò ×× ×ÓÙÚÚÒÒÒØ ÕÙÙ Ò× ØØØ ÓÖÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
×ØØØØÐÐØØ Ð³³ØØØ φ = 0 > (q − 1)
2
¸ ¸ Ø Ò Ó Ò Ò > 4(q − 1)
2
º
× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× Ò x ÒÒ× ¹¹¹××Ù× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØÓÙ×
×ØØØÐÐ׺ ÍÒÒ ÔÔÖØØØ ÙÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÐÐ
ÔÔÔ×× ´ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒµ¸ ÓÑÑÑ
ÓÒ Ú Ð Ú ÓÓÖº Ò ÐÐ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A¸ × Ó Ø Ø
A = ρe
iψ
´½¼º¿¿µ
ÓÓ ρ ×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÖÐÐРг³ÒØØÒ××ØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖÐÐÐ Ø ψ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ÔÔÔ×׸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ
×× ×ÙÙÙÙÚÚ×× Ò ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÙÜ ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ×ÓÓØ
ρ T = (1 − ψ
2
X )ρ − ρ
3
+ ρ XX ,
ψ T = ψ XX +
2
ρ
ψ X ρ X .
´½¼º¿¿µ
ÄÄ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ ×Ø ØÖÖÖØØØ Ò
ÔÓ××ÒØ Ø
ρ =
1 − q 2
0 + ρ 1 , ψ = q 0 x + ψ 1 .
´½¼º¿¿µ
Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¼º¿¿¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓ ÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ρ 1 Ø ψ 1 º Ä
ÖÖÖÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ (ρ 1 , ψ 1 ) = (a, b)e
iQx+σt , ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÄÄ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ³Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ 1 Ò q =
1 + q 0
√
º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ |q 0 | < 1
> (q − 1)
2 .
´½¼º¿¿µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒ××××ÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µº ËË ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾ ÓÓØØÒÙÙ
г³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ××ÖÖÖØ ÐÐ
1 − 4q 2
0 /
3 − 38α/9¸ ¸ Ø Ò Ó Ò
1 − q 2
0 º ÁР׳³Ò×ÙÙØ ´´Ò ÖÖÖÒØ ÐÐ× ÑÑÑÑ× ÒÓØØØØÓÒ× ÕÙÙ Ò× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ
ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙÙµ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ×× q
2
0 < 1/4¸ Ø ÐÐ
ÓÒÒÒØØÓÒ ½¼º¿¿
> 4(q − 1)
2 .
´½¼º¿¿µ
ÄÄ ÖÖÐÐØØÓÒ ××Ù٠г³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼ººµ
ÒÓÙ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ φ = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´´ººº ω > 0µ ×× >
(q
2
− 1)
2
¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ q ×Ø ÔÖÓÓÓÓ Ð³ÙÒÒØØ Ò ÚÚÖØÙ Ù Ø ÕÙÙ ×Ø
ÔÔØØص ×× > 4(q − 1)
2
º Ò×׸ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒ ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
´´ÒÒÒÒÐÐØØ ½¼º¿¿µ ÓÓÒÒÒÒÒ ÓÒÒ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
φ = 0º Æ Ó Ù × × Ó Ò ØØÒÙÙÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ Ò ×× ×ÓÙÚÚÒÒÒØ ÕÙÙ Ò× ØØØ ÓÖÑÑ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
×ØØØØÐÐØØ Ð³³ØØØ φ = 0 > (q − 1)
2
¸ ¸ Ø Ò Ó Ò Ò > 4(q − 1)
2
º
× ØØØ× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× Ò x ÒÒ× ¹¹¹××Ù× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØÓÙ×
×ØØØÐÐ׺ ÍÒÒ ÔÔÖØØØ ÙÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÐÐ
ÔÔÔ×× ´ÓÙ¸ ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙÚ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒµ¸ ÓÑÑÑ
ÓÒ Ú Ð Ú ÓÓÖº Ò ÐÐ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A¸ × Ó Ø Ø
A = ρe
iψ
´½¼º¿¿µ
ÓÓ ρ ×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÖÖÖÐÐРг³ÒØØÒ××ØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖÐÐÐ Ø ψ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ÔÔÔ×׸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒÒÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ
×× ×ÙÙÙÙÚÚ×× Ò ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÙÜ ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ×ÓÓØ
ρ T = (1 − ψ
2
X )ρ − ρ
3
+ ρ XX ,
ψ T = ψ XX +
2
ρ
ψ X ρ X .
´½¼º¿¿µ
ÄÄ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¿¿µ ×Ø ØÖÖÖØØØ Ò
ÔÓ××ÒØ Ø
ρ =
1 − q 2
0 + ρ 1 , ψ = q 0 x + ψ 1 .
´½¼º¿¿µ
Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½¼º¿¿¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓ ÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ρ 1 Ø ψ 1 º Ä
ÖÖÖÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ (ρ 1 , ψ 1 ) = (a, b)e
iQx+σt , ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ