½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¿
ÓÓ δ/δA
∗
×××ÒÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ A
∗
´ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒ¹
ÙÙÙÙ Aµ µ ØØØ ÖÖÚ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐР׳³ÜÔÖÖÑÑ Ð³³³³³ × ÔÔÖØØØÐÐÐ
Ø ØÓØØÐÐ ÓÑÑÑ
δ
δA ∗ →
∂
∂A ∗ −
d
dx
∂
∂A ∗
x
´½¼º¿½µ
ÕÙÙ ÓÒ×ØØØÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØÙÙÐÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ ÖÖÒÒÓÒ¹
ØÖÖÖ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖ Ù ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÑÓÓÒÒÖÖ ØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
¿ºººµº Ò× ÐÐ × ÓÓ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ÓÑÓÓÓÒÒ¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ¹ ÓÑÑÑ ÒÒ¹
ÐÓÓÙÙ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÚ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º¾¾µº ÄÄ ÕÙÙÒØØØØ V [A] ×Ø ÓÒÒÙÙ ×ÓÙ× ÐÐ ÒÓÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÄÝÝÔÙÒÓÚ
Ø ÔÓ××××× ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂V [A]
∂t
=
δV
δA ∗
∂A
∗
∂t
= −|
δV
δA ∗ |
2
≤ 0 ,
´½¼º¿¾µ
ÓÓ Ð³ÓÒ ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙÙ A
∗
ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ∂A
∗ /∂t = −δV [A]/δAº ÄÄ
ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ V [A] ÖÓÓØ ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½¿ º
½¼º¿ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ³³³³³³Ù×
Ò× ÐÐ× ××ØÙÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ׸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ÙÒÒ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ½½ º Ö Ð ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× × Ø × ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ × ÔÔÖÓÓ×µ¸ ÕÙÙ × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ×
гÓÖÖÖÖ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×¹
ÔÔÔÔº Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙ٠гÓÖÖÖÖ ÔÔÙØ ÑÑÑÑ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ×
³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒº ÁÐ ×Ø ÓÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ Ð³³×ÔÔÔØ ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º¾¾µº ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
A 0 (X) =
1 − q 2
0 e
iq0X , |q 0 | < 1
´½¼º¿¿µ
ÓÓ q 0 ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ÑÓÓÙÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙ٠гÙÒÒØظ ÑÑÑ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖº Ò
ÓÒ××××ÖÖÒØ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ³ÓÖÖÖÖÒÒ x¸ ÖÖÚÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËÀ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½¼µ µÓÑÑÑ
φ 1 =
√
A(X, T )e
ix
+ c.c. =
√
1 − q 2
0 e
iqx
+ c.c., Ú q = 1 +
√
q 0 .
´½¼º¿¿µ
½¿ ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÔÔÖÓÓ
г³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÓ A ××ÖÖÖØ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ Ø V [A] ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÔÔÖÓÔÖÖÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÚÓÐÙÑÑ Ø ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
ÓÒ×ØØÒØ׺
½½ ÄÓÖ×ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×Ø ÖÖÖÙÙØØ ÙÒÒ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ
ÔÔÖÖÖÖØ ÕÙÙ ÜÜ×ØØ ÔÔÙ Ò× ÐÐ ÆÆØÙÖÖº
¾¾¿
ÓÓ δ/δA
∗
×××ÒÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ A
∗
´ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒ¹
ÙÙÙÙ Aµ µ ØØØ ÖÖÚ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐР׳³ÜÔÖÖÑÑ Ð³³³³³ × ÔÔÖØØØÐÐÐ
Ø ØÓØØÐÐ ÓÑÑÑ
δ
δA ∗ →
∂
∂A ∗ −
d
dx
∂
∂A ∗
x
´½¼º¿½µ
ÕÙÙ ÓÒ×ØØØÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØÙÙÐÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ ÖÖÒÒÓÒ¹
ØÖÖÖ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖ Ù ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÑÓÓÒÒÖÖ ØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
¿ºººµº Ò× ÐÐ × ÓÓ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ÓÑÓÓÓÒÒ¸ ÒÓÙ× ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× ¹ ÓÑÑÑ ÒÒ¹
ÐÓÓÙÙ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÚ ³ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º¾¾µº ÄÄ ÕÙÙÒØØØØ V [A] ×Ø ÓÒÒÙÙ ×ÓÙ× ÐÐ ÒÓÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ÄÝÝÔÙÒÓÚ
Ø ÔÓ××××× ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂V [A]
∂t
=
δV
δA ∗
∂A
∗
∂t
= −|
δV
δA ∗ |
2
≤ 0 ,
´½¼º¿¾µ
ÓÓ Ð³ÓÒ ÙØØÐÐ×× ÐÐ Ø ÕÙÙ A
∗
ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ∂A
∗ /∂t = −δV [A]/δAº ÄÄ
ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ V [A] ÖÓÓØ ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒÒ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ù×ÕÙ³³ ØØØØÒÒÖÖ
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ½¿ º
½¼º¿ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ³³³³³³Ù×
Ò× ÐÐ× ××ØÙÙØØÓÒ× ÖÖÖÐÐÐ׸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×Ø Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØØ ÙÒÒ ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ½½ º Ö Ð ÜÜ×ØØ ØÓÙÙÓÙÖ× × Ø × ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ × ÔÔÖÓÓ×µ¸ ÕÙÙ × ÑÓÓÙÐÐØØÓÒ×
гÓÖÖÖÖ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×¹
ÔÔÔÔº Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÚÓÓÖ ÕÙ٠гÓÖÖÖÖ ÔÔÙØ ÑÑÑÑ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ×
³ÙÒÒ ÑÓÓÙÐÐØØÓÒº ÁÐ ×Ø ÓÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ Ð³³×ÔÔÔØ ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ Ù
ÔÖÓÓÐÐÑѺ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÓÒÒÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º¾¾µº ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
A 0 (X) =
1 − q 2
0 e
iq0X , |q 0 | < 1
´½¼º¿¿µ
ÓÓ q 0 ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ ÑÓÓÙÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙ٠гÙÒÒØظ ÑÑÑ× ÖÖÖØÖÖÖÖÖº Ò
ÓÒ××××ÖÖÒØ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ³ÓÖÖÖÖÒÒ x¸ ÖÖÚÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ËÀ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½¼µ µÓÑÑÑ
φ 1 =
√
A(X, T )e
ix
+ c.c. =
√
1 − q 2
0 e
iqx
+ c.c., Ú q = 1 +
√
q 0 .
´½¼º¿¿µ
½¿ ÄÄ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÔÔÖÓÓ
г³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÓ A ××ÖÖÖØ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØØÖÑÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ Ø V [A] ÙÒ ÔÓØØÒØØØÐ
ÔÔÖÓÔÖÖÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÚÓÐÙÑÑ Ø ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
ÓÒ×ØØÒØ׺
½½ ÄÓÖ×ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×Ø ÖÖÖÙÙØØ ÙÒÒ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ
ÔÔÖÖÖÖØ ÕÙÙ ÜÜ×ØØ ÔÔÙ Ò× ÐÐ ÆÆØÙÖÖº