½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¾
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ×ÓÙ× ÐÐ× ÒÓÑ× ³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ¸ ³
ÄÄÒÒÒÙ¹¹¹ÒÞÞÙÖÖ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÛÛÐйÏÏÏØØØØØعËËËËÐ ¸ ÐÐ× ÙÜ
ÖÒÒÒÖÖ× ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ× ×ÓÒØ ××ÙÙ× Ù ÒÓÑ × ××××ÒØØØÕÙÙ× ÕÙ٠гÓÒØ Ø Ö Ú
Ò× × ÖÖÒØ׺ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× F Ø G ÒÒ ×ÓÒØ
ÔÔ× ØØÙÖ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
¸ ÙÙÙÒÒ Ò³³×Ø ÓÒÒ ÐÐÙÖ
ÖÖ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐÙÖ ÓÖÑÑ ×Ø ××Ò× ÔÓÙÖ ÒÓØÖÖ ÐÐÙÐ º
½¼º¾ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ØÙÙÙÙÖ Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ ÖØØØÒÒ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ÒÒÖÖÐÐ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
½¼º¾º½ ÄÄ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ËÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ØØØ ØÙÙÙ ÖÖ×××× Ò× Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ
ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙк ÈÈ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
ÔÔÖØ ´´´´ г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÔØØÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ØØØ
ÓÖÑÑ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ´´´Ò× ÒÓØÖÖ ×¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ
ÓÙÙ××× Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ø ÔÔÖ ÄÄ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ ÓÙÙØ Ò ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ X → −X
ÙÒÒ ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÒÚÚÖ××ÓÒ¸ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÕÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÚÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µº ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ×Ø
ÔÐÙ× ÔÔÖ ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ xº
Ò Ø¸ ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÑÙÐØØÔÐÐÐ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ
г³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ e
ix
Ø A
2
ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÖÑÓÒÒÕÙÙ e
2ix
¸ Øغ´ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½µº ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³³Ò гÓÔÔÖÖØØÓÒ x → x + x 0 ¸ ³³×ع
¹¹¹ÖÖ¸ Ò ÑÓÓÓÓÓÒØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ð³³ÜÜ Ox¸ Ò ÐÐ ÔÓÖØØÒØ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ
x 0 ¸ ÖÖÚÚÚÒØ ØÙÙÖ¸ Ù ×××Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÓÒ×
Ae
ix
→ Ae
i(x+x0)
= Ae
ix0 e
ix
º ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ гÓÔÔÖÖØØÓÒ ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ ÐÐ
×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
A → Ae
ix0 .
´½¼º¾¿µ
ËË Ð³ÓÒ ØÙÙ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ¸
ÐÐй¹¹ ÖÖ×ØØ ÒÚÚÖÖÖÒØغ ÔÔÒÒÒÒظ ×× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÒÒØ × ØØÖÑÑ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸ ÓÑÑÑ A
2
ÓÙ |A|
2
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒ ××ÖÖÖØ ÔÐÙ× ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÙÒ
ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø ÝÔÔ A → Ae
ix0
º ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð Ò³Ý ÔÔ× ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ¸ ÒÒ ØØÖÑÑ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ¿ ´´ººº A
3 , A
∗3
µ Ò× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙº
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ØØ Ò ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾½½µº
ÖÖ×ØØ ÚÚÐÐÐÐÐ ØØÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× Ù ÔÐÙ× × ÓÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
¾¾¾
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ×ÓÙ× ÐÐ× ÒÓÑ× ³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ¸ ³
ÄÄÒÒÒÙ¹¹¹ÒÞÞÙÖÖ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÛÛÐйÏÏÏØØØØØعËËËËÐ ¸ ÐÐ× ÙÜ
ÖÒÒÒÖÖ× ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ× ×ÓÒØ ××ÙÙ× Ù ÒÓÑ × ××××ÒØØØÕÙÙ× ÕÙ٠гÓÒØ Ø Ö Ú
Ò× × ÖÖÒØ׺ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× F Ø G ÒÒ ×ÓÒØ
ÔÔ× ØØÙÖ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
¸ ÙÙÙÒÒ Ò³³×Ø ÓÒÒ ÐÐÙÖ
ÖÖ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐÙÖ ÓÖÑÑ ×Ø ××Ò× ÔÓÙÖ ÒÓØÖÖ ÐÐÙÐ º
½¼º¾ ÉÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ØÙÙÙÙÖ Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ ÖØØØÒÒ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ÒÒÖÖÐÐ×
г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙº
½¼º¾º½ ÄÄ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÓØØÒÙÙ
ÔÔÖØØÖ × ×ÝÑÑØÖÖÖ×
ËÓÙÐÐÐÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ØØØ ØÙÙÙ ÖÖ×××× Ò× Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ
ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙк ÈÈ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
ÔÔÖØ ´´´´ г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÔØØÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ØØØ
ÓÖÑÑ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ´´´Ò× ÒÓØÖÖ ×¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ
ÓÙÙ××× Ð³³ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ Ø ÔÔÖ ÄÄ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ ÓÙÙØ Ò ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ X → −X
ÙÒÒ ÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÔÔÖ ÒÚÚÖ××ÓÒ¸ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÕÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÚÖÖÖÒÒÒ
г³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µº ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ×Ø
ÔÐÙ× ÔÔÖ ÙÒÒ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ xº
Ò Ø¸ ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÑÙÐØØÔÐÐÐ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐÐ
г³³ÖÑÓÒÒÕÙÙ e
ix
Ø A
2
ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÖÑÓÒÒÕÙÙ e
2ix
¸ Øغ´ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½µº ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³³Ò гÓÔÔÖÖØØÓÒ x → x + x 0 ¸ ³³×ع
¹¹¹ÖÖ¸ Ò ÑÓÓÓÓÓÒØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ð³³ÜÜ Ox¸ Ò ÐÐ ÔÓÖØØÒØ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ
x 0 ¸ ÖÖÚÚÚÒØ ØÙÙÖ¸ Ù ×××Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÓÒ×
Ae
ix
→ Ae
i(x+x0)
= Ae
ix0 e
ix
º ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ гÓÔÔÖÖØØÓÒ ÖÖÚÚÚÒØ ÖÖ ÐÐ
×ÙÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
A → Ae
ix0 .
´½¼º¾¿µ
ËË Ð³ÓÒ ØÙÙ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×ÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾µ¸
ÐÐй¹¹ ÖÖ×ØØ ÒÚÚÖÖÖÒØغ ÔÔÒÒÒÒظ ×× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÒÒØ × ØØÖÑÑ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ׸ ÓÑÑÑ A
2
ÓÙ |A|
2
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ÒÒ ××ÖÖÖØ ÔÐÙ× ÒÚÚÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÙÒ
ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø ÝÔÔ A → Ae
ix0
º ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ Ð Ò³Ý ÔÔ× ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ¸ ÒÒ ØØÖÑÑ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ¿ ´´ººº A
3 , A
∗3
µ Ò× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙº
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ØØ Ò ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾½½µº
ÖÖ×ØØ ÚÚÐÐÐÐÐ ØØÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× ÒÓØÖÖ ÒÒÐÝ×× Ù ÔÐÙ× × ÓÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÑÔÐÐØÙÙÙº