¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÆÓØÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÖÖÖÖ ÒÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ e
2ix
º ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× A Ø B ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØØÖÑÑÒÒ× ÐÐ
ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ×Ø ÓÓØØÒ٠гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒغ
ÇÖÖÖÖ
3/2
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÖÖÖÖ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
Lφ 3 = φ 1 − 4
∂
4 φ 1
∂x 2 ∂X 2 −
∂φ 1
∂T
− 4(1 +
∂
2
∂x 2 )
∂
2 φ 2
∂x∂X
+ 2αφ 1 φ 2 − φ 3 ´½¼º¾¼µ
ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ÓÑÑÑ
Lφ 3 = [A + 4A XX − A T − (3 −
38
9
α)A
2 A
∗
]e
ix
+ F (X, T )e
3ix
+ G(X, T )e
2ix
+ c.c.
´½¼º¾½µ
ÓÓ F Ø G ×ÓÒØ × ÓÒÒØØÓÒ× × ÓÓÓÓÓÓÒØ× A Ø B ÕÙ³³Ð Ò³³×Ø ÔÔ×
×ÓÓÒ ÔÖÖÖÖ××Ö ÔÓÙÖ × ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÚÓÒØ Ø Ú ÒÒÖ ÐÐÐÖÖ ¹¹¹××ÓÙ× Ò ³³ÐÐÐÐÐÖ
г³³ÖÖØÙÖÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ×ÝÑÑÓÐÐ×× ÐÐ× ÔÔÖ ÙÒÒ ÒÓØØØØÓÒ
ÒÒÒÒÒÒÐÐÐ ´´ººº
∂A
∂T = A T Ø
∂
2 A
∂X 2 = A XX µº ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
гÓÖÖÖÖ
3/2
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾½µ ×Ø ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ×Ø Óѹ
ÔÓ××× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ ´E(X, T )e
ix
+ c.c.µ Ô Ð Ù ×
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖº ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÐÐ
ÔÓÓÒØ ÔÖÖÒÒÒÔÔи ÐÐ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØØÒØ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
ÕÙÙ ×Ø
ÖÖ×ÓÒÒÒØØ ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³ÓÔÔÖÖ¹
ØØÙÖ L¸ ¸ Ú ÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐк ÄÄ ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ ØØØ ÓÒÒØØÓÒ
ÚÖÖÖ¸ г³ÑÑÑÑ ÐÐ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ¸ ××Ò× ÖÓØØØÑÑÒظ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖº ÄÄ ××ÙÐÐ ××ÙÙ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÙÒ ÔØØØÐÐ ´´ººº ÒÓÒ
×Ø ÓÒÒ ÐÐ ØØÙÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
Ò× Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ½¼º¾½º ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÚÚÚÐÐØغ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ
×Ø Ù ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÕÙÙ ÐÐÐ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ´´ÔÔØÖÖ µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ
ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÐÐÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÑÑ Ð³³ÐØØÖÒÒØØÚÚ ÖÖÖÖÓÐÑ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ØØÓÒ º½º½µ ÔÓÙÖ Ù ÑÑÑÑ ÖÖ×ÙÐØØغ
ÄÄ ÒÒÒÒ×××ØØ ÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
ÖÖÚÚÚÒØ
ÒÒÙÐÐÖ ÐÐ ØØÙÖ [A + 4A XX − A T − (3 −
38
9 α)A
2 A
∗
] ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾½¸ Ø ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖÖÖ
A T = A + 4A XX − (3 −
38
9
α)|A|
2 A .
´½¼º¾¾µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÐÐÐ Ò³³ ÔÔ× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ´´ººº
Lφ = 0µ Ø ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ××ÒÓÒ ´´ººº г³ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÔÓÖØØ ÙÒ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Lφ(x, X, T ) =
F (X, T )µº
ÄÄ ÒÓØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÔÔØØØÐÐ ×× ÔÖÖ××ÒØظ ×ÙÖ ÐÐ ÔÐÐÒ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×Ó¹
ÒÒÒÒÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ ÙÜ ÜÔÔØÖÖ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ׸ ÚÓÓÖ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ð
г³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔ ´´´´ÔÔØÖÖ µ¸ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ ×ÓÒ ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐÐ º½º½º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÆÓØÓÒ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÖÖÖÖ ÒÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ e
2ix
º ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× A Ø B ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ØØÖÑÑÒÒ× ÐÐ
ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ ×Ø ÓÓØØÒ٠гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒغ
ÇÖÖÖÖ
3/2
ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÖÖÖÖ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
Lφ 3 = φ 1 − 4
∂
4 φ 1
∂x 2 ∂X 2 −
∂φ 1
∂T
− 4(1 +
∂
2
∂x 2 )
∂
2 φ 2
∂x∂X
+ 2αφ 1 φ 2 − φ 3 ´½¼º¾¼µ
ÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ÓÑÑÑ
Lφ 3 = [A + 4A XX − A T − (3 −
38
9
α)A
2 A
∗
]e
ix
+ F (X, T )e
3ix
+ G(X, T )e
2ix
+ c.c.
´½¼º¾½µ
ÓÓ F Ø G ×ÓÒØ × ÓÒÒØØÓÒ× × ÓÓÓÓÓÓÒØ× A Ø B ÕÙ³³Ð Ò³³×Ø ÔÔ×
×ÓÓÒ ÔÖÖÖÖ××Ö ÔÓÙÖ × ÖÖÖ×ÓÒ× ÕÙÙ ÚÓÒØ Ø Ú ÒÒÖ ÐÐÐÖÖ ¹¹¹××ÓÙ× Ò ³³ÐÐÐÐÐÖ
г³³ÖÖØÙÖÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ×ÝÑÑÓÐÐ×× ÐÐ× ÔÔÖ ÙÒÒ ÒÓØØØØÓÒ
ÒÒÒÒÒÒÐÐÐ ´´ººº
∂A
∂T = A T Ø
∂
2 A
∂X 2 = A XX µº ij³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
гÓÖÖÖÖ
3/2
´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾½µ ×Ø ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ×Ø Óѹ
ÔÓ××× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ ´E(X, T )e
ix
+ c.c.µ Ô Ð Ù ×
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖº ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ÐÐ ÐÐ
ÔÓÓÒØ ÔÖÖÒÒÒÔÔи ÐÐ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØØÒØ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
ÕÙÙ ×Ø
ÖÖ×ÓÒÒÒØØ ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖ Ð³ÓÔÔÖÖ¹
ØØÙÖ L¸ ¸ Ú ÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÒÙÐÐк ÄÄ ÖÖÔÓÒ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ ØØØ ÓÒÒØØÓÒ
ÚÖÖÖ¸ г³ÑÑÑÑ ÐÐ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ Ö¹
ÑÓÒÒÕÙÙ¸ ××Ò× ÖÓØØØÑÑÒظ ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ÔÖÓÔÖÖ
гÓ×××ÐÐÐØØÙÖº ÄÄ ××ÙÐÐ ××ÙÙ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÙÒ ÔØØØÐÐ ´´ººº ÒÓÒ
×Ø ÓÒÒ ÐÐ ØØÙÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
Ò× Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ½¼º¾½º ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÓÐÚÚÚÚÐÐØغ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ
×Ø Ù ÑÑÑÑ ØÝÔÔ ÕÙÙ ÐÐÐ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ´´ÔÔØÖÖ µº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ
ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÔÙ ÐÐÑÑÒØ Ø Ú ÓÕÙÙÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÑÑ Ð³³ÐØØÖÒÒØØÚÚ ÖÖÖÖÓÐÑ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ØØÓÒ º½º½µ ÔÓÙÖ Ù ÑÑÑÑ ÖÖ×ÙÐØØغ
ÄÄ ÒÒÒÒ×××ØØ ÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ e
ix
ÖÖÚÚÚÒØ
ÒÒÙÐÐÖ ÐÐ ØØÙÖ [A + 4A XX − A T − (3 −
38
9 α)A
2 A
∗
] ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾½¸ Ø ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÖÖÖÖÖ
A T = A + 4A XX − (3 −
38
9
α)|A|
2 A .
´½¼º¾¾µ
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÐÐÐ Ò³³ ÔÔ× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ´´ººº
Lφ = 0µ Ø ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ××ÒÓÒ ´´ººº г³ÕÙÙØØÓÒ ÓÑÔÓÖØØ ÙÒ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÖÖ Lφ(x, X, T ) =
F (X, T )µº
ÄÄ ÒÓØØÓÒ ÖÖ×ÓÒÒÒÒÒ ×ÔÔØØØÐÐ ×× ÔÖÖ××ÒØظ ×ÙÖ ÐÐ ÔÐÐÒ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖ×Ó¹
ÒÒÒÒÒ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ ÙÜ ÜÔÔØÖÖ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ׸ ÚÓÓÖ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ð
г³ØÙÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
ÀÓÔÔ ´´´´ÔÔØÖÖ µ¸ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ ×ÓÒ ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐÐ º½º½º