½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¾
½¼º½º¾ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÄÄ ×ØÖÖØØØØØ ÓÒ×××ØØ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÚÐÓÔÔÔÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÓÖÖÖÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÕÙÙ ÔÔÔÖÖÖØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º½½µ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ
√
¸ Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ ÔÔÒ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ ÔÙÙ××× ×³³³ÖÖÖÖ
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ
φ(x, X, T ) =
√
φ 1 + φ 2 +
3/2 φ 3 + ...
´½¼º½½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º½½µ ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÖÖÖÖ ÔÔÖ ÓÖÖÖÖº
ÇÖÖÖÖ
√
ÊÊÊÙÙØ Ø ÓÖÖÖÖ Ò
√
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½µ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
(1 +
∂
2
∂x 2 )
2 φ 1 ≡ Lφ 1 = 0
´½¼º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒØÖÓÓÙÙØ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ L = (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
º ³³×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ
ÖÖÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ 1 × ØÖÓÓ× ÚÖÖÖÖÐÐ× x, X, T ´´ººº
φ 1 = φ 1 (x, X, T )µ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ× ÔÔÒÒÒÒØ
ÓÒÒ × ÚÖÖÖÖÐÐ× X Ø T º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔØØØÐÐ ×Ø ØÝÔÔ
φ 1 = A(X, T )e
ix
+ c.c.
´½¼º½½µ
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑѺ
ÇÖÖÖÖ
ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
Lφ 2 = αφ
2
1 − 4(1 +
∂
2
∂x 2 )
∂
2
∂xX
φ 1 = α(A
2 e
2ix
+ AA
∗
+ c.c.)
´½¼º½½µ
ÓÓ A
∗
×××ÒÒ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Aº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖØØÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½ ×Ø ÓÒ×ØØØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××Ò×
×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ´×ÓÓØ B(X, T )e
ix
+ c.c.µ Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÓÑÔÐÐØغ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐР׳³³ÖÖØ Ò×× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
φ 2 = B(X, T )e
ix
+ α
A
2
9
e
2ix
+ AA
∗
+ c.c.
´½¼º½½µ
ÈÈÖ ÔØØØÐи ÒÓÙ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ×× ÓÒÚÒÒÒÐÐÑÑÒØ Ð³³ÒÒÒÒ
´´ººº ÔÓÙÖ x 1µ¸ ظ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒ ÚÖÖÖ ÔÔ× Ð³³ÒÒÒÒº Ö Ò ØÓÙØØ
ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ×Ø × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÒÒÒÚÚÚÙÙÐÐÐ× e ix Ø xe ix ¸
×ÓÓØ φ 1 = A(X, T )e ix + D(X, T )xe ix + c.c.¸ ÑÑÑ× ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒ ÓÓØ ÔÔ×
г³ÒÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ò ÑÔÓ××ÒØ D = 0º
¾¾¾
½¼º½º¾ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÄÄ ×ØÖÖØØØØØ ÓÒ×××ØØ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÚÐÓÔÔÔÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ
Ù ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÓÖÖÖÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÕÙÙ ÔÔÔÖÖÖØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º½½µ ×Ø ³ÓÖÖÖÖ
√
¸ Ð ×Ø ÒÒØÙÖÖÐ ÔÔÒ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ ÔÙÙ××× ×³³³ÖÖÖÖ
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚ
φ(x, X, T ) =
√
φ 1 + φ 2 +
3/2 φ 3 + ...
´½¼º½½µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ
½¼º½½µ ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ ÐÐ× ÓÖÖÖÖ ÔÔÖ ÓÖÖÖÖº
ÇÖÖÖÖ
√
ÊÊÊÙÙØ Ø ÓÖÖÖÖ Ò
√
¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½µ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
(1 +
∂
2
∂x 2 )
2 φ 1 ≡ Lφ 1 = 0
´½¼º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÒØÖÓÓÙÙØ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ L = (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
º ³³×Ø ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ
ÖÖÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ 1 × ØÖÓÓ× ÚÖÖÖÖÐÐ× x, X, T ´´ººº
φ 1 = φ 1 (x, X, T )µ Ò ØÓÙØØ ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ× ÔÔÒÒÒÒØ
ÓÒÒ × ÚÖÖÖÖÐÐ× X Ø T º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔØØØÐÐ ×Ø ØÝÔÔ
φ 1 = A(X, T )e
ix
+ c.c.
´½¼º½½µ
ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³×Ø ÖÖÖÒ ³³ÙØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑѺ
ÇÖÖÖÖ
ü Ø ÓÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
Lφ 2 = αφ
2
1 − 4(1 +
∂
2
∂x 2 )
∂
2
∂xX
φ 1 = α(A
2 e
2ix
+ AA
∗
+ c.c.)
´½¼º½½µ
ÓÓ A
∗
×××ÒÒ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Aº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖØØÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½½ ×Ø ÓÒ×ØØØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××Ò×
×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ ´×ÓÓØ B(X, T )e
ix
+ c.c.µ Ø ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ÓÑÔÐÐØغ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÖÖÐР׳³³ÖÖØ Ò×× ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
φ 2 = B(X, T )e
ix
+ α
A
2
9
e
2ix
+ AA
∗
+ c.c.
´½¼º½½µ
ÈÈÖ ÔØØØÐи ÒÓÙ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ×× ÓÒÚÒÒÒÐÐÑÑÒØ Ð³³ÒÒÒÒ
´´ººº ÔÓÙÖ x 1µ¸ ظ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÒ ÚÖÖÖ ÔÔ× Ð³³ÒÒÒÒº Ö Ò ØÓÙØØ
ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ×Ø × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÒÒÒÚÚÚÙÙÐÐÐ× e ix Ø xe ix ¸
×ÓÓØ φ 1 = A(X, T )e ix + D(X, T )xe ix + c.c.¸ ÑÑÑ× ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒ ÓÓØ ÔÔ×
г³ÒÒÒÒ¸ ÒÓÙ× ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ò ÑÔÓ××ÒØ D = 0º