¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×ظ
Ò Ø¸ ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÙÙØ
√ x Ø ÒÓÒ ÐÐ ××ÙÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ xº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ φ 1 (x, t) ÓÑÑÑ
φ 1 (x, t) = A(
√
x, t)e
iqc x
+ c.c.
´½¼º½¼µ
ÓÓ c.c. ×Ø Ð³³³ÖÓÒÝÑÑ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ º ÈÖ ÐÐÐÙÖ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù
××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ´q 1µ¸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼ººµ¸
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ´´ººº ω µº Ò×× Ò
ÔÓ××ÒØ Ω = ω// ´´ÚÚÚ Ω ³ÓÖÖÖÖ ½µ¸ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
e
ωt
׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ e
Ωt
ÓÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
1// ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÐÐÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐÒØØ Ø ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ¾º¿º¾µº ÄÄ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 ×Ø ÓÒÒ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ ÖÖÔÔÔÔ ´e
iqcx
µ µ Ø
³ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÐÐ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ Ø Ò× ÐÐ ØØÑÔ× A(
√ ,t)º
ÈÓÙÖ Ò ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ Ø ÕÙÙ A ÚÖÖÖ ÐÐÒØØÑÑÒظ Ð ×Ø ³Ù××××
ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× X Ø T ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¾º¿º¿µ ÒÒÒ× ÔÔÖ
X =
√
T = .
´½¼º½½µ
ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ò³³×Ø ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× A(X, T )¸ ÐÓÖ×
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ г³ÕÙÙØØÓÒ ËÀ ÒÒØØØÐÐ × ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× φ(x, X, T )º
ÆÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÑÙÐØØÔÐÐ× ÒÓØØÑÑÑÒØ Ø Ù
ÙØ Ð³ÓÙÚÖÖÖÖ ´×××ØØÓÒ ¾º¿º¿µº ËË Ð³³×ÔÔÔØ ØØÑÔÓÖÖÐ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ×
ØØ ÒÓÑÑÖÖÙ××× ÖÖÔÖÖ××× Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ×
ÕÙÙ ÒÓÙ× Ð³³×ÔÔÔØ ×ÔÔØØØÐ × ÑÙÐØØÔÐÐ× ×ÔÔØØØÐÐ× Ð³³ÒØÖÓ¹
ÙÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ×ÔÔØØØÐÐ ÐÐÒØØ Xº
Ò ³³ÜÔÐÓÓØØÖ ÔÐÐÐÒÒÑÑÒØ Ð³³ÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ × ÑÙÐØØÔÐÐ׸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ×
ØÖÖÖØØÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× x, X, T ÓÑÑÑ ×× ÐÐÐ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ׺ ÈÈÖ
ÒÓÙ× ÑÓÓÓÓÓÖ ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÙÖ× ÔÓÙÖ ×× ÓÒÒÓÖÑÑÖ
ÓÓÜ
∂
∂x
→
∂
∂x
+
√
∂
∂X
´½¼º½¾µ
∂
∂t
→
∂
∂T
.
´½¼º½¿µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËÀ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
∂φ
∂T
=
−
1 +
∂
2
∂x 2 + 2
√
∂
2
∂xX
+
∂
2
∂X 2
2
φ + αφ
2
− φ
3 .
´½¼º½½µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ× Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ
г³ÚÚÒØØØØ ³³ÜÔÐÐÐÐØØÖ ÐÐ × ÓÒÒØØÓÒ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸
ÕÙÙ ÐÐØØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØØ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ
ÐÐ ÓÑÔØØØØ × ÔÙÙ×××ÒÒÒ× ×Ø Ø ÙØÓÑÑØØÕÙÙº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØØ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ×ظ
Ò Ø¸ ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÙÙØ
√ x Ø ÒÓÒ ÐÐ ××ÙÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ xº ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÓÒÒ ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ φ 1 (x, t) ÓÑÑÑ
φ 1 (x, t) = A(
√
x, t)e
iqc x
+ c.c.
´½¼º½¼µ
ÓÓ c.c. ×Ø Ð³³³ÖÓÒÝÑÑ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ º ÈÖ ÐÐÐÙÖ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù
××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ´q 1µ¸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼ººµ¸
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω г³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ´´ººº ω µº Ò×× Ò
ÔÓ××ÒØ Ω = ω// ´´ÚÚÚ Ω ³ÓÖÖÖÖ ½µ¸ ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
e
ωt
׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ e
Ωt
ÓÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
1// ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø ÐÐÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐÒØØ Ø ÖÖÐÐÒØØ×××ÑÑÒØ ÖÖØØÕÙÙ Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ¾º¿º¾µº ÄÄ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ φ 1 ×Ø ÓÒÒ ³ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐ ÖÖÔÔÔÔ ´e
iqcx
µ µ Ø
³ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐÒØØÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÐÐ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ Ø Ò× ÐÐ ØØÑÔ× A(
√ ,t)º
ÈÓÙÖ Ò ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ Ø ÕÙÙ A ÚÖÖÖ ÐÐÒØØÑÑÒظ Ð ×Ø ³Ù××××
ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× X Ø T ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ ¾º¿º¿µ ÒÒÒ× ÔÔÖ
X =
√
T = .
´½¼º½½µ
ij³ÑÔÐÐØÙÙÙ A Ò³³×Ø ÓÒÒØØÓÒ ÕÙÙ × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÐÐÒØØ× A(X, T )¸ ÐÓÖ×
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ г³ÕÙÙØØÓÒ ËÀ ÒÒØØØÐÐ × ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× φ(x, X, T )º
ÆÓÙ× ÚÚÒÓÒ× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ÑÙÐØØÔÐÐ× ÒÓØØÑÑÑÒØ Ø Ù
ÙØ Ð³ÓÙÚÖÖÖÖ ´×××ØØÓÒ ¾º¿º¿µº ËË Ð³³×ÔÔÔØ ØØÑÔÓÖÖÐ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ×
ØØ ÒÓÑÑÖÖÙ××× ÖÖÔÖÖ××× Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ×
ÕÙÙ ÒÓÙ× Ð³³×ÔÔÔØ ×ÔÔØØØÐ × ÑÙÐØØÔÐÐ× ×ÔÔØØØÐÐ× Ð³³ÒØÖÓ¹
ÙÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ×ÔÔØØØÐÐ ÐÐÒØØ Xº
Ò ³³ÜÔÐÓÓØØÖ ÔÐÐÐÒÒÑÑÒØ Ð³³ÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ × ÑÙÐØØÔÐÐ׸ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ×
ØÖÖÖØØÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× x, X, T ÓÑÑÑ ×× ÐÐÐ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ׺ ÈÈÖ
ÒÓÙ× ÑÓÓÓÓÓÖ ÐÐ× ÓÔÔÖÖØØÙÖ× ÔÓÙÖ ×× ÓÒÒÓÖÑÑÖ
ÓÓÜ
∂
∂x
→
∂
∂x
+
√
∂
∂X
´½¼º½¾µ
∂
∂t
→
∂
∂T
.
´½¼º½¿µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× × ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ËÀ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
∂φ
∂T
=
−
1 +
∂
2
∂x 2 + 2
√
∂
2
∂xX
+
∂
2
∂X 2
2
φ + αφ
2
− φ
3 .
´½¼º½½µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ × ÐÐÐ× ÑÙÐØØÔÐÐ× Ò× Ð³³ÒÒÐÝ×× Ù ×Ý×ØØÑÑ
г³ÚÚÒØØØØ ³³ÜÔÐÐÐÐØØÖ ÐÐ × ÓÒÒØØÓÒ× Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸
ÕÙÙ ÐÐØØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØØ Ò ÔÙÙ×××ÒÒÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÙÙ×ÕÙÙ
ÐÐ ÓÑÔØØØØ × ÔÙÙ×××ÒÒÒ× ×Ø Ø ÙØÓÑÑØØÕÙÙº