½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¾
ÒØÖÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÒÒÒ ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ
Δq = q 2 − q 1
√
.
´½¼ººµ
ÚÚÙØ ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÒÒ ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ×Ø ØÖÓÓØغ
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ Ò e
iqx
×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ¸Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖÖÐ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐÐ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖ
×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ØÓÙ× ÐÐ× ÑÓÓÓ׸ ×ÓÓØ
φ 1 (x, t) =
q
a q (t)e
iqx
Δq
a q (t)e
iqx ,
´½¼ººµ
ÓÓ a q (t) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× t ´´´Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐÐ ×Ø Ò e
ωt
¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÖÖÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ a q ÓÑÑÑ ÒÓØØØØÓÒ¸
Ö ÒÓØÖÖ ÓÓØØØ ×Ø Ð³³ÜØØÒ××ÓÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ Ù ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÒÖÖµº ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ
ØØÖÑÑ ÙÒÒ ×ÓÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ׺ ÄÄ
×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ ×× ÐÐÑÑØØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÐÐ
ÒÒÒ Ò×ØØØÐÐ Δq Ò Ø¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× Ð³³ÒØØÖÖÖÙÖ ÐÐ ÒÒÒ
Ò×ØØØÐÐ Δq ×ÓÒØ ØØØ׸ ¸³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò×ØØØÐÐ׸ ¸ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× Ò ÓÖ×
ØØØ ÒÒÒ ÖÖÐÐÜÜÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ÚÚÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒº ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ¸
Ð ×Ø Ù×ØØØØ ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ ØØÖÑÑ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ ××ÙÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ×
ÒÓÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ׺
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ 1 (x, t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ½¼ººµ Ò ÒØÖÓ¹
ÙÙ××ÒØ Ð Ú ØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c
φ 1 (x, t) = e
iqcx
Δq
a q (t)e
i(q−qc)x .
´½¼ººµ
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ q − q c ∼ Δq ∼
√
<< 1¸ ÓÒ ÔÔÙØ ÖÖ ÕÙÙ φ 1 ÖÖØ
ÙÒ ÔÔÕÙÙØ ³ÓÒÒÒ× ØÖÖ× ÔÔÕÙÙ Ø ÒØÖÖ ×ÙÖ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c Ò×
г³×ÔÔÔÔ ÓÙÖÖÖÖ ´´´Ò× ÐÐ × ÜØÖÖÑÑ ÓÓ → 0¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÑÑÑÑ ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖ δ(q − q c )µº ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ
³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÖÖ× ØÖÓÓØØ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÓÙÖÖÖÖ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÖÖ× ØØÐÐÐ
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÖÖÖÐ ´´ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÖÖÖ δ(q − q c ) ×Ø ÙÒÒ Ø ÔÓ×ÓÒ×
A(x, t) ≡
Δq
a q (t)e
i(q−qc)x .
´½¼ººµ
ÓÑÑÑ q − q c ∼
√
×Ø ÔÔØØظ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A ÚÚÖÖÖ ×ÙÖ ÙÒÒ ÐÐÐ
×ÔÔØØØÐРгÓÖÖÖÖ 1/
√
º Ò Ø¸ ¸Ò ØÙÙÒØ Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ
×ÙÙÚÒØ Ø Q = (q − q c )/
√
¸ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ Q ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ Ð³ÙÒÒØØ Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
A(x, t) × Ø Ø Ù Ø ÝÔÔ
A(x, t) ≡
ΔQ
a Q (t)e
iQ
√
x .
´½¼ººµ
¾¾¾
ÒØÖÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÒÒÒ ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ
Δq = q 2 − q 1
√
.
´½¼ººµ
ÚÚÙØ ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÒÒÒ ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ× ×Ø ØÖÓÓØغ
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ Ò e
iqx
×Ø ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ¸Ø ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ
×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖÖÐ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙº ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÖÖÐÐ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖ
×ÙÔÔÖÔÓ××ØØÓÒ ØÓÙ× ÐÐ× ÑÓÓÓ׸ ×ÓÓØ
φ 1 (x, t) =
q
a q (t)e
iqx
Δq
a q (t)e
iqx ,
´½¼ººµ
ÓÓ a q (t) ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÓÙÖÖÖÖ ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× t ´´´Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐÐ ×Ø Ò e
ωt
¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÖÖÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒØ a q ÓÑÑÑ ÒÓØØØØÓÒ¸
Ö ÒÓØÖÖ ÓÓØØØ ×Ø Ð³³ÜØØÒ××ÓÒ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ Ù ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÒÖÖµº ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ
ØØÖÑÑ ÙÒÒ ×ÓÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ ØÓÙ× ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ׺ ÄÄ
×××ÓÒÒ ØØÖÑÑ ×× ÐÐÑÑØØ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐ× ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× ÐÐ
ÒÒÒ Ò×ØØØÐÐ Δq Ò Ø¸ ××ÙÐ× ÐÐ× ÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× Ð³³ÒØØÖÖÖÙÖ ÐÐ ÒÒÒ
Ò×ØØØÐÐ Δq ×ÓÒØ ØØØ׸ ¸³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ò×ØØØÐÐ׸ ¸ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ× ÑÓÓÓ× Ò ÓÖ×
ØØØ ÒÒÒ ÖÖÐÐÜÜÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ× ÚÚÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒº ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ¸
Ð ×Ø Ù×ØØØØ ÖÖ×ØÖÖÖÒÒÖÖ ØØÖÑÑ ÐÐ ×ÓÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ ××ÙÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ×
ÒÓÑÖÖ× ³ÓÒÒÒ׺
ÊÊÊÊÖÖÚÓÒ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ 1 (x, t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ½¼ººµ Ò ÒØÖÓ¹
ÙÙ××ÒØ Ð Ú ØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c
φ 1 (x, t) = e
iqcx
Δq
a q (t)e
i(q−qc)x .
´½¼ººµ
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ q − q c ∼ Δq ∼
√
<< 1¸ ÓÒ ÔÔÙØ ÖÖ ÕÙÙ φ 1 ÖÖØ
ÙÒ ÔÔÕÙÙØ ³ÓÒÒÒ× ØÖÖ× ÔÔÕÙÙ Ø ÒØÖÖ ×ÙÖ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c Ò×
г³×ÔÔÔÔ ÓÙÖÖÖÖ ´´´Ò× ÐÐ × ÜØÖÖÑÑ ÓÓ → 0¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÑÑÑÑ ÙÒÒ
ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖ δ(q − q c )µº ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ
³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÖÖ× ØÖÓÓØØ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÓÙÖÖÖÖ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ØÖÖ× ØØÐÐÐ
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÖÖÖÐ ´´ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐÐ ÐÐ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑÑ ÓÙÖÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÖÖÖ δ(q − q c ) ×Ø ÙÒÒ Ø ÔÓ×ÓÒ×
A(x, t) ≡
Δq
a q (t)e
i(q−qc)x .
´½¼ººµ
ÓÑÑÑ q − q c ∼
√
×Ø ÔÔØØظ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÑÔÐÐÜÜ A ÚÚÖÖÖ ×ÙÖ ÙÒÒ ÐÐÐ
×ÔÔØØØÐРгÓÖÖÖÖ 1/
√
º Ò Ø¸ ¸Ò ØÙÙÒØ Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ
×ÙÙÚÒØ Ø Q = (q − q c )/
√
¸ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ Q ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ Ð³ÙÒÒØØ Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
A(x, t) × Ø Ø Ù Ø ÝÔÔ
A(x, t) ≡
ΔQ
a Q (t)e
iQ
√
x .
´½¼ººµ