¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½¼º½ ÊÊÐÐØØÓÒ ÔÓÙÖ ØÖÓÓ× ÚÐÐÙÖ× 1 < 0 ´×ØØØÐе¸ 2 = 0
´´ÖÖØØÕÙÙµ Ø 3 > 0 ´´Ò×ØØØÐеº
ÖÖÖÖ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖÖØØ Ø Ù ÖÖÖØØÖÖ ÙØÓÒÓÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´´ººº¸ ÐÐ× ÓÓÓ¹
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ× Ù ØØÑÔ×µ¸ ÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ e
iqx+ωt
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
ω = − (q
2
− 1)
2 .
´½¼ººµ
ÄÄ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ω ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ ÒÒÒÒØØØ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ
ÒÒÒÒØØÚÚ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖÐÐØØØ ´µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ R
×Ø Ð Ù ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙ R c ¸ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÙи ¸Ø ÐÐ ÓÙÖÖÖ
ω(q) ×Ø ØØÒÒÒÒØØ Ð³³ÜÜ × ××××××× q ÔÓÙÖ ÙÒ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c = 1
ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÙÐÐÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´ = 0µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÓÙÖ
г³Ò×ØØØØÐÐØغ × ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ > 0µ¸ ÐÐ× ÑÓÓÓ× Ð³³ÒØØÖÖÖÙÖ
ÐÐ ÒÒÒ ØØÚÚ Δq ÖÓÓ×××ÒØ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ ¸Ø г³ÒÒÐÝ××
ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ò³³×Ø ÔÐÙ× ÚÐÐÐÐк ÄÓÓÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ×
ÒÒ ÔÔÖÑÑØØØÒØ ÔÔ× ³ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÙÒ ÐÐÙÐ
ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠׳³ÑÔÓ×׺ ÔÔÒÒÒÒظ ÔÖÖ× Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ г³ØÙÙÙ ÒÒÐÝØØÕÙÙ
×Ø ÔÓ××××ÐÐ Ø ³³×Ø ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ³³³³³ØÙÙÖ ÑÑÑÒØØÒÒÒغ
½¼º½º½ ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ × ÑÙÐØØÔÐÐ×
ÈÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÔØØØØ× ¸ ÐÐ ÒÒÒ × ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× × ÑÓÓÓ×
Ò×ØØØÐÐ× ´ÓÓØØÒÙÙ Ò ÖÖ×ÓÐÚÒØ ω = 0 = − (q
2
− 1)
2
µ ×Ø ÔÔØØØØ ÐÐÑÑÒغ
ÄÄ× ÙÜ ÚÚÚØØÙÖ× ³ÓÒÒÒ× q 1 Ø q 2 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¼º½µ ×ÓÐÙØØÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
×ÓÒØ ÓÒÒÒ× ÔÔÖ q 2 =
1 +
√ 1 +
√
/2 Ø q 1 =
1 −
√
1 −
√
/2º º