½¼º ÍÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
¾¾¿
ÔÔÖÖÖØÖÖ ÔÐÙ× ÐÐÐÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ Ò×× ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÙ×
ÔÓÙÖÖÖÓÒ× Ù ÓÓÜ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÓÙ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй
ÒÒÖÖ¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÔØØÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙØÖÖ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑÖÖØØ ÓÒ¹
ÙÙÖÖ × ÐÐÙÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐÐÐÐ׺ ÆÓØÖÖ ÙØ ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ
г³ÒÒÐÝ×× Ø ÒÓÒ ÐÐ× ØØØÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÕÙÙ ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ÔÐÙ× Ù ÑÓÓÒ× Óѹ
ÔÐÐÕÙÙ× ××ÐÓÒ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׺ Ò ÚÖØ٠гÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑØØÕÙÙ¸ ÒÓÙ×
Ò³³³³³ØØÖÓÒ× ÔÔ× ÐÐ ÒÒÖÖÐÐØØ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ Ò ÔÓÙÖØØÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÔÔÖØ ××ÑÔÐÐÐк
ÓÒÒ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐÐ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚ
∂φ
∂t
= [ − (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
]φ + αφ
2
− φ
3
´½¼º¾µ
ÓÓ φ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ×××ÐÐÐÖÖ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× x Ø t ÖÖÚÚÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ ÓÑÔÓ××ÒØØ ÐÐ ÚÚØØ×××
Ò Øغµ Ø α Ø ×ÓÒØ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑѺ ÄÄ ÓÖÑÑ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³³ÐÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÜ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ׸ гÙÒÒ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ Ø Ð³³ÙØÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ¾ ××Ò× ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø
×ÓÙ× ÐÐ ÒÓÑ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒ Ö Ö
¿ ´ËÀµ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾½µº ØÙÙÙÓÒ× Ò× ÙÒÒ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾ Ø ×× ×ØØØØÐÐØغ
ËÓÐÙØØÓÒ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒ Ö Ö ´ËÀµ ØØ ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ ÒØÖÓÓÙÙØØ ÓÑÑÑ
ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ =
(R − R c )/R ×Ø ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖÐÐØØظ R ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ Ø
R c ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×× Ò ÑÓÙÚÑÑÒØ Ù ÙÙÙÙº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ½¼º¾ ÑÑØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ φ = 0 ´ÙÒÒ ÚÚØØ×××
ÒÙÐÐÐ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÓÒÚÚÚØØÓÒµº
ËØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÖ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÔÔ Ð³³ØÙÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ØÙÙÙÙÖ
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒº ü Ø Ø¸ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó¹
ÑÓÓÓÒÒ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ φ = νφ 1 (x, t) ´ν ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµº
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ Ù ØØÑÔ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ Ø Ò ÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ù ½
er ÓÖÖÖÖ Ò ν¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
∂φ 1
∂t
= [ − (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
]φ 1 .
´½¼º¿µ
¾ ÆÓØÓÒ׸ × ÔÖÖ××Òظ ÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ
ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ Ù ÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÐРг³ÕÙÙØØÓÒ Ò Ø¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÑÓÓÓÓÓÓ ÚÓÐÓÒØظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÓÙØØÖ × ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
ÓÙ × ÔÙÙ×××ÒÒÒ× ÔÐÙ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ ××Ò× ØØÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÚÖº
¿ Ù ÒÓÑ × ÙÜ ÔÔÝ×××××Ò× ÑÑÖÖÖÖÖÒ׸  º ËÛÛÛØ Ø ÈÈÈÖÖÖ º ÀÓÓÓÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÖÖÚÖÖÒØ Ò ½½½½ ÔÓÙÖ ÑÓÓÓÐÐ××Ö ÐÐ ÓÖÑÑØØÓÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò× ÙÒ ÙÙÙÙ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ
ØØØÖÑÑÕÙÙº
¾¾¿
ÔÔÖÖÖØÖÖ ÔÐÙ× ÐÐÐÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ Ò×× ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÙ×
ÔÓÙÖÖÖÓÒ× Ù ÓÓÜ ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÓÙ ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй
ÒÒÖÖ¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÔØØÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙØÖÖ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑÖÖØØ ÓÒ¹
ÙÙÖÖ × ÐÐÙÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐÐÐÐ׺ ÆÓØÖÖ ÙØ ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ
г³ÒÒÐÝ×× Ø ÒÓÒ ÐÐ× ØØØÐ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÕÙÙ ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ÔÐÙ× Ù ÑÓÓÒ× Óѹ
ÔÐÐÕÙÙ× ××ÐÓÒ ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ׺ Ò ÚÖØ٠гÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØØ ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑØØÕÙÙ¸ ÒÓÙ×
Ò³³³³³ØØÖÓÒ× ÔÔ× ÐÐ ÒÒÖÖÐÐØØ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ Ò ÔÓÙÖØØÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÔÔÖØ ××ÑÔÐÐÐк
ÓÒÒ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐи г³ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÐÐ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ×ÙÙÚ
∂φ
∂t
= [ − (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
]φ + αφ
2
− φ
3
´½¼º¾µ
ÓÓ φ ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ×××ÐÐÐÖÖ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× x Ø t ÖÖÚÚÒØ Ð ³ Ú ÓÐÙØØÓÒ Ù
×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒÒ ÓÑÔÓ××ÒØØ ÐÐ ÚÚØØ×××
Ò Øغµ Ø α Ø ×ÓÒØ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑѺ ÄÄ ÓÖÑÑ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ× ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³³ÐÐÐ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÜ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ׸ гÙÒÒ ÕÙÙÙÖÖ¹
ØØÕÙÙ Ø Ð³³ÙØÖÖ ÙÙÙÕÙÙ ¾ ××Ò× ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø
×ÓÙ× ÐÐ ÒÓÑ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒ Ö Ö
¿ ´ËÀµ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾½µº ØÙÙÙÓÒ× Ò× ÙÒÒ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾ Ø ×× ×ØØØØÐÐØغ
ËÓÐÙØØÓÒ
ij³ÕÙÙØØÓÒ ËÛÛÛعÀÓÓÓÒ Ö Ö ´ËÀµ ØØ ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ ÒØÖÓÓÙÙØØ ÓÑÑÑ
ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ =
(R − R c )/R ×Ø ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖÐÐØØظ R ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ Ø
R c ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×× Ò ÑÓÙÚÑÑÒØ Ù ÙÙÙÙº
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ½¼º¾ ÑÑØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ φ = 0 ´ÙÒÒ ÚÚØØ×××
ÒÙÐÐÐ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÓÒÚÚÚØØÓÒµº
ËØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÖ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÔÔ Ð³³ØÙÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ØÙÙÙÙÖ
ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒº ü Ø Ø¸ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ó¹
ÑÓÓÓÒÒ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ φ = νφ 1 (x, t) ´ν ×Ø ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖµº
Ò ÖÖÔÓÖØØÒØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÒÒÒÒØ Ù ØØÑÔ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾µ Ø Ò ÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× Ù ½
er ÓÖÖÖÖ Ò ν¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
∂φ 1
∂t
= [ − (1 +
∂
2
∂x 2 )
2
]φ 1 .
´½¼º¿µ
¾ ÆÓØÓÒ׸ × ÔÖÖ××Òظ ÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ
ÑÑÑÑ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ Ù ÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÐРг³ÕÙÙØØÓÒ Ò Ø¸ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÑÓÓÓÓÓÓ ÚÓÐÓÒØظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÓÙØØÖ × ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
ÓÙ × ÔÙÙ×××ÒÒÒ× ÔÐÙ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ φ ××Ò× ØØÖ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÚÖº
¿ Ù ÒÓÑ × ÙÜ ÔÔÝ×××××Ò× ÑÑÖÖÖÖÖÒ׸  º ËÛÛÛØ Ø ÈÈÈÖÖÖ º ÀÓÓÓÒÖÖ ÕÙÙ ÐÐ
ÖÖÚÖÖÒØ Ò ½½½½ ÔÓÙÖ ÑÓÓÓÐÐ××Ö ÐÐ ÓÖÑÑØØÓÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ× Ò× ÙÒ ÙÙÙÙ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ
ØØØÖÑÑÕÙÙº