¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
ω(q) ÓÔØØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ ØÙÙÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ºº ××ÓÓÓÓÓ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒµ ÑÑØ Ò Ù ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ μ c
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ μ¸ Ó μ ×ظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ó Ò ÚÚÚØØÓÒ
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµº
ÈÓÙÖ μ < μ c ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ µ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
׳³ØØØÒÙÙ ÓÒÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÈÓÙÖ μ > μ c ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÒØØÖÚÐÐÐ
ÚÚÐÐÙÖ× Δq ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ØØ ÒÒÒ ØØÚ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ω > 0µ µ Ò× ×¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÖÓÓØ
ÐÓÖ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐÑÑÒغ ÄÄ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ×ÙÔÔÓ××× ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ ÔÔØØØظ ×××
г³ØÖÖ Ø ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÖÖÔÓÒÒÒÖÖÒØ׺
ÄÓÖ×ÕÙÙ μ = μ c ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ò× ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÙк ÄÄ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ×Ø ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ø Ð
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ q c º ÄÄ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ×
ÐÐ× ÙØÖÖ× ÚÐÐÙÖ× Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒº Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÒÒÒÒÒÖÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ λ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
λ λ c = 2π/q c .
Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÙÜ ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ×××
ÔÔÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØÙÖÖ
ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÙØÓÓÓØØÐÝØØÕÙÙ ÌÙÖÖÒÒ Ø ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØÙÖÖ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÐÐ
ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖº ÄÄ ÒÒØÙÖÖ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÔÖÓÓÐÐÑÑ× Ñ¹
ÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÒ ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÓÑÔÐÐØØ Ø ÐÐ ÖÖÖÓÙÖ×
Ù ÐÐÙÐ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ×ÙÖ ÑÑÑÒÒ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ × ÕÙÙ¹
ØØÓÒ׺ Ò ÖÖÚ ØÓÙØØ ØÙÙÙ ÒÒÐÝØØÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÜÜÐÙÙ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸
ÐÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÐÐ××Ö ÔÖÓÜÜÑÑØØ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ Ò ÓÔ¹
ØØÒØ ÙÒ Ú Ò ÐÓÓ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ
ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÙÙÙÙÙÙÙ×׺ Ò Ø¸ ××
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒ××××ÖÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ г³ÒÒÐÝ××
ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠׳³ÚÚÖÖ ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ Ù ØØÑÔ× ×ØØØØØÙ×× Ö ÐÐÐ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÔÓÙÖ ÕÙÙ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒ ØÖÖÖØØÑÑÒØ ØØØÐÐÐ ÔÓÙÖ Ò ØÙÙÙÙÖ ÐÐ× Ø׺ ÇÖ¸ г³ÒÒÐÝ×× ÒÒÐݹ
ØØÕÙÙ ÙÒÒ ÚÚ××ÓÒ ×ÝÒØØØØØÕÙÙ Ò ÕÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐÐ ÓÓÖÖ ÙÒ ØØÖÖÖÖÒ ÚÓÖÖÖÐÐ
ÐÐ ÑÑÑØÖÖ×× × × ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ× ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ× Ù Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÐÐÐ ÔÔÖÑÑØ Ò ÓÙØÖÖ ÙÙÙÙÖ ÐÐ× ÒÒÐÝ××× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× Ø ÐÐ× ÜÔÐÓÖÖØØÓÒ× Ü¹
ÔÔÖÖÑÑÒØØÐÐ׸ ÔÐÙØØØ ÕÙÙ ÖÖÖÐÐ××Ö ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ ÔÔÖÖÓÓ× Ò
׳³ÒØØÖÖ×××ÒØ ØÓÙØ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ Ø Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ
ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××Ð ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº
½¼º½ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÖ××ÐÐÐ
Ò ÕÙÙ ÑÓÓÓÐÐ ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ³ÙÒÒ ×ÔÔÔÔÔÔÔØØ
ÔÖÓÔÖÖ¸ г³Ò××ÑÑÐÐ × ÑÓÓÓÐÐ× ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××ÐÐк ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÔÔÔÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÕÙÙ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÓÖÑÑ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ
ω(q) ÓÔØØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÒÒÖÖÕÙÙ ØÙÙÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ºº ××ÓÓÓÓÓ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒµ ÑÑØ Ò Ù ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ μ c
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ μ¸ Ó μ ×ظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ó Ò ÚÚÚØØÓÒ
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖµº
ÈÓÙÖ μ < μ c ¸ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ µ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
׳³ØØØÒÙÙ ÓÒÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÈÓÙÖ μ > μ c ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÒØØÖÚÐÐÐ
ÚÚÐÐÙÖ× Δq ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ¸ ØØ ÒÒÒ ØØÚ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´ω > 0µ µ Ò× ×¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÖÓÓØ
ÐÓÖ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐÑÑÒغ ÄÄ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ ×ÙÔÔÓ××× ÒÒØØØÐÐÑÑÒØ ÔÔØØØظ ×××
г³ØÖÖ Ø ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÖÖÔÓÒÒÒÖÖÒØ׺
ÄÓÖ×ÕÙÙ μ = μ c ¸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ò× ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ
ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÙк ÄÄ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q ×Ø ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ø Ð
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ q c º ÄÄ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ×
ÐÐ× ÙØÖÖ× ÚÐÐÙÖ× Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒº Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØظ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÒÒÒÒÒÖÖ ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ λ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
λ λ c = 2π/q c .
Ò× ÐÐ ÔÔØÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ÙÜ ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖØØÖÖ×××
ÔÔÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØÙÖÖ
ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÙØÓÓÓØØÐÝØØÕÙÙ ÌÙÖÖÒÒ Ø ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒØÙÖÖ ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÐÐ
ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖº ÄÄ ÒÒØÙÖÖ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÔÖÓÓÐÐÑÑ× Ñ¹
ÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÒ ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÓÑÔÐÐØØ Ø ÐÐ ÖÖÖÓÙÖ×
Ù ÐÐÙÐ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ×ÙÖ ÑÑÑÒÒ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ × ÕÙÙ¹
ØØÓÒ׺ Ò ÖÖÚ ØÓÙØØ ØÙÙÙ ÒÒÐÝØØÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÜÜÐÙÙ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸
ÐÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÐÐ××Ö ÔÖÓÜÜÑÑØØ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ Ò ÓÔ¹
ØØÒØ ÙÒ Ú Ò ÐÓÓ ÔÙÙ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ
ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÙÙÙÙÙÙÙ×׺ Ò Ø¸ ××
ÐÐ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒ××××ÖÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ׸ г³ÒÒÐÝ××
ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠׳³ÚÚÖÖ ÐÐ ÔÐÙÔÔÖØ Ù ØØÑÔ× ×ØØØØØÙ×× Ö ÐÐÐ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÔÓÙÖ ÕÙÙ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒ ØÖÖÖØØÑÑÒØ ØØØÐÐÐ ÔÓÙÖ Ò ØÙÙÙÙÖ ÐÐ× Ø׺ ÇÖ¸ г³ÒÒÐÝ×× ÒÒÐݹ
ØØÕÙÙ ÙÒÒ ÚÚ××ÓÒ ×ÝÒØØØØØÕÙÙ Ò ÕÙÙ ××ÑÔÐÐÐÐÐ ÓÓÖÖ ÙÒ ØØÖÖÖÖÒ ÚÓÖÖÖÐÐ
ÐÐ ÑÑÑØÖÖ×× × × ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ× ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ× Ù Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÐÐÐ ÔÔÖÑÑØ Ò ÓÙØÖÖ ÙÙÙÙÖ ÐÐ× ÒÒÐÝ××× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× Ø ÐÐ× ÜÔÐÓÖÖØØÓÒ× Ü¹
ÔÔÖÖÑÑÒØØÐÐ׸ ÔÐÙØØØ ÕÙÙ ÖÖÖÐÐ××Ö ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙ ÔÔÖÖÓÓ× Ò
׳³ÒØØÖÖ×××ÒØ ØÓÙØ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖÑÑÒØ Ø Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ
ÑÑØØÖÖ Ò ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××Ð ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº
½¼º½ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÙÒÒÚÖ××ÐÐÐ
Ò ÕÙÙ ÑÓÓÓÐÐ ×Ý×ØØÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ³ÙÒÒ ×ÔÔÔÔÔÔÔØØ
ÔÖÓÔÖÖ¸ г³Ò××ÑÑÐÐ × ÑÓÓÓÐÐ× ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÑÑÑÑ ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××ÐÐк ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÔÔÔÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ ÕÙÙ