ÔÔØÖÖ ½¼
ÍÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
гÓÖÖÖÖ
ÆÓÙ× ØÙÙÙÙ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ × Ò×ØØØØÐÐØØ× ÌÙÖÖÒÒ Ø
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ×× ÐÐÒÒÒØ ÐÓÖ×ÕÙ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØÒØ ÙÒÒ
ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙ٠г³ØØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ ÓÖÖÞÓÒØØÐ Ox ÔÔÖÖ ×ÓÒ
ÓÑÓÓÓÒÒÒØØ ÒÒØØØÐÐ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖØØÓÒ ×ÔÔØØØÐи ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸
г³ØØØÐÐ×××ÑÑÒØ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ð Ý ÖÖ×ÙÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖº ÄÄ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox ×Ø Ò Ø ÖÓÑÔÙÙ Ò ³ÙÒÒ
×ÝÑÑØÖÖÖ ××ÖÖØØ ÔÐÙ× ÐÐ ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ ××ÖÖØØ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖØÖÓÙÚÚ ÙÒ ÑÑÑÑ ØØØ ÔÖÖ× ÔÔÖÖÓÙÖÙ ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ ÐÐ
Ù Ò Ò Ó Ñ ÖÖ ÒØØØÖ ÓÓ× ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×ÔÔØØØÐк
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÓÔØØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÑÑØØÖÖ Ò
ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØк Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒ ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ
г³ÜÜ Ox¸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ÓÒ×××ØØ ÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÙØÓÙÖ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
e
iqx+ωt
´½¼º½µ
ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø ω ÐÐ ØØÙÜ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÓÙ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÆÓÙ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ω ÐÐ ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ×ÓÒ ×××ÒÒ ´ÙÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÒÒÒÒØØØ ×Ø ×ÝÒÓÒÝÑÑ
×ØØØØÐÐØصº ÄÄ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ÔÖÖ××ÒØØÒØ × ÜÜÑÔÐÐ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ω ×Ø
ÖÖÖÐ ½ º ÄÓÖ×ÕÙÙ ω < 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½µ
ÖÓÓØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ × Ø Ð º ÓÒØÖÖÖÖÓ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ω > 0¸ Ù ÑÓÓÒ× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÖÓÓØ Ø Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐк
½ ÄÄ × ÓÓ ω ×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ ×Ø ØÖÖÖØØ Ù ½¾º
ÍÒÒÚÖ××ÐÐØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
гÓÖÖÖÖ
ÆÓÙ× ØÙÙÙÙ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒØ × Ò×ØØØØÐÐØØ× ÌÙÖÖÒÒ Ø
ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ×× ÐÐÒÒÒØ ÐÓÖ×ÕÙ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØÒØ ÙÒÒ
ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙ٠г³ØØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ ÓÖÖÞÓÒØØÐ Ox ÔÔÖÖ ×ÓÒ
ÓÑÓÓÓÒÒÒØØ ÒÒØØØÐÐ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖØØÓÒ ×ÔÔØØØÐи ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸
г³ØØØÐÐ×××ÑÑÒØ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ Ð Ý ÖÖ×ÙÖÖ ×ÝÑÑØÖÖÖº ÄÄ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ØÖÖÒ×ÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Ox ×Ø Ò Ø ÖÓÑÔÙÙ Ò ³ÙÒÒ
×ÝÑÑØÖÖÖ ××ÖÖØØ ÔÐÙ× ÐÐ ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ ××ÖÖØØ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ÔÔÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖØÖÓÙÚÚ ÙÒ ÑÑÑÑ ØØØ ÔÖÖ× ÔÔÖÖÓÙÖÙ ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ ÐÐ
Ù Ò Ò Ó Ñ ÖÖ ÒØØØÖ ÓÓ× ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×ÔÔØØØÐк
ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÐÐ ÓÔØØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÑÑØØÖÖ Ò
ÚÚÚÚÒÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØк Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒ ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ÐÐ ÐÓÒÒ
г³ÜÜ Ox¸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÙÖÖ ÓÒ×××ØØ ÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÙØÓÙÖ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
e
iqx+ωt
´½¼º½µ
ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ø ω ÐÐ ØØÙÜ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÓÙ
ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒº ÆÓÙ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ω ÐÐ ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ×ÓÒ ×××ÒÒ ´ÙÒ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÒÒÒÒØØØ ×Ø ×ÝÒÓÒÝÑÑ
×ØØØØÐÐØصº ÄÄ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ÔÖÖ××ÒØØÒØ × ÜÜÑÔÐÐ× ÔÓÙÖ ÐÐ×ÕÙÙÐ× ω ×Ø
ÖÖÖÐ ½ º ÄÓÖ×ÕÙÙ ω < 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½¼º½µ
ÖÓÓØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ Ø Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖÑÑÒØ × Ø Ð º ÓÒØÖÖÖÖÓ¸
ÐÓÖ×ÕÙÙ ω > 0¸ Ù ÑÓÓÒ× ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
ÖÓÓØ Ø Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø Ò×ØØØÐк
½ ÄÄ × ÓÓ ω ×Ø ÓÑÔÐÐÜÜ ×Ø ØÖÖÖØØ Ù ½¾º