¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØÓÒ¸ г³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÓÖÖÖ ¾ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÒØØÖÖÖÖÖ× z = 0 Ø Ò z = dº
ÄÄ× ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒ ÙÙÙÙ× ÒÒÒÒÒÖÖÒØ ÙÜ ÓÒØÖÖÖÒØØ× ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ×
ØØÒÒÒÒØØØÐÐÐ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ× η∂v 1z /∂x Ø η∂v 1x /∂z ÕÙÙ
ÓÓÚÒØ ÓÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐÖ ×ÙÖ ÐÐ× ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ׺ ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÚÚØØ×××
ÒÓÖÑÑÐÐ ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ× ×Ø ÒÙÐÐÐ ´´ººº v 1z = 0µ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ×³³ÒÒÙÐÐ ³³Ñ¹
ÐÐÐ ¿ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ
D
2 v 1z | z=0 = 0 et D
2 v 1z | z=d = 0 .
´´ºº¿µ
ÝÒØ ÖÖØ ÐÐ× ××Ü ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº½¸ ºº¾ Ø ºº¿ µ
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø
ºººµ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÑÑ×ÙÖÖ ³³³ÖÖÖÖ ÐÐ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÓÙÖ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× Ò ÓÒÒØØÓÒ z ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÓÖÑÑÐÐ v 1z Ø ÐÐ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T 1 ¸ ÒÓÙ× ÑÑØØÓÒ× ØØ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØÒØ ÐÐ Ò x ÓÒØ
ÓÒ ÚÙ ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø Ò e
iqx
v 1z (z) = A 1 sin(π
z
d
) et T 1 (z) = B 1 sin(π
z
d
)
´´ºººµ
ÓÓ A 1 Ø B 1 ×ÓÒØ ÙÜ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÒØ Ò ÐÐ×
ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº½¸ ºº¾ Ø ºº¿µº ÊÊ×ØØ ÚÓÓÖ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
×ÓÙ× ÕÙÙÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× Ù ×××Ò
Ù ÙÙÙÙº ü ÔÔÖØØÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ø ÓÑÓÓÓÒÒ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ×× Ø ××ÙÐй
ÑÑÒØ ×× ÐР׳³ÒÒÙÐк ÁÐ ÖÖ×ÙÐØØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÔÔÖ××ÓÒ ω ××ØØ××××××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ω
2
− Sω + P = 0
´´ºººµ
ÓÓ
S = −Λ q (ν + κ), P = νκ(Λ
3
q −
R a q
2
d 4 )
´´ºººµ
Λ q = q
2
+
π
2
d 2 .
´´ºººµ
ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ×Ø ÓÖÑÑÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº
¾ ÈÈÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ×Ø ÙÒÒ ÓÒØÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ×ÙÖÖÖÖÖº
¿ ÓÑÑÑ v 1z = 0 ÐÐ ÐÓÒÒ Ox¸ Ð ×Ø ÓÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x Ò ØÓÙØ
ÔÓÓÒØ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖº ÈÈÖ ÐÐ v 1z ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x ׳³ÒÒÙÐÐ ÙØÓÑÑØØÕÙÙ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖº
Ò ÖÖÖÐÐØظ Ð ×Ø ÐÐ ÖÖÖÓÒÒÒÒØÖÖ ÕÙÙ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ sin(nz/d)¸ ¸ Ú n ÒØØØÖ¸ ×Ø
ÐÐÑÑÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ × ÕÙÙØØÓÒ׺ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÖÖÖÖÖ¸ ÑÓÒØÖÖÞ ÕÙ³ÙÒÒ ØØÐÐÐ
ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ØØØÖÑÑÕÙÙ ΔT /d ´×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ Ù Ò
ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙµ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ Ø ÐÐÐÙº ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÒØØÖÖ××ÓÒ×
Ð Ú ÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù ØØØÖÑÑÕÙÙ ÓÒÒÒÒØ ÐÐÐÙ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ¸ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× n > 1
ÒÒ ××ÖÓÒØ ÔÔ× ÔÖÖ××× Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØØÓÒ¸ г³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÓÖÖÖ ¾ ÔÓÙÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÒØØÖÖÖÖÖ× z = 0 Ø Ò z = dº
ÄÄ× ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒ ÙÙÙÙ× ÒÒÒÒÒÖÖÒØ ÙÜ ÓÒØÖÖÖÒØØ× ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ×
ØØÒÒÒÒØØØÐÐÐ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ× η∂v 1z /∂x Ø η∂v 1x /∂z ÕÙÙ
ÓÓÚÒØ ÓÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐÖ ×ÙÖ ÐÐ× ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ׺ ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÚÚØØ×××
ÒÓÖÑÑÐÐ ÙÜ ×ÙÖÖÖÖÖ× ×Ø ÒÙÐÐÐ ´´ººº v 1z = 0µ¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ ×³³ÒÒÙÐÐ ³³Ñ¹
ÐÐÐ ¿ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ
D
2 v 1z | z=0 = 0 et D
2 v 1z | z=d = 0 .
´´ºº¿µ
ÝÒØ ÖÖØ ÐÐ× ××Ü ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº½¸ ºº¾ Ø ºº¿ µ
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø
ºººµ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÑÑ×ÙÖÖ ³³³ÖÖÖÖ ÐÐ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÔÓÙÖ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ× Ò ÓÒÒØØÓÒ z ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÓÖÑÑÐÐ v 1z Ø ÐÐ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T 1 ¸ ÒÓÙ× ÑÑØØÓÒ× ØØ ÔÓÙÖ Ð³³Ò×ØØÒØ ÐÐ Ò x ÓÒØ
ÓÒ ÚÙ ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø Ò e
iqx
v 1z (z) = A 1 sin(π
z
d
) et T 1 (z) = B 1 sin(π
z
d
)
´´ºººµ
ÓÓ A 1 Ø B 1 ×ÓÒØ ÙÜ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÒØ Ò ÐÐ×
ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº½¸ ºº¾ Ø ºº¿µº ÊÊ×ØØ ÚÓÓÖ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
×ÓÙ× ÕÙÙÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× Ù ×××Ò
Ù ÙÙÙÙº ü ÔÔÖØØÖ × ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ×
ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ø ÓÑÓÓÓÒÒ׸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ ØÖÖÚÚÚÐÐ ×× Ø ××ÙÐй
ÑÑÒØ ×× ÐР׳³ÒÒÙÐк ÁÐ ÖÖ×ÙÐØØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÔÔÖ××ÓÒ ω ××ØØ××××××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ω
2
− Sω + P = 0
´´ºººµ
ÓÓ
S = −Λ q (ν + κ), P = νκ(Λ
3
q −
R a q
2
d 4 )
´´ºººµ
Λ q = q
2
+
π
2
d 2 .
´´ºººµ
ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ×Ø ÓÖÑÑÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ØØÕÙÙ ÐÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµº
¾ ÈÈÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ ×Ø ÙÒÒ ÓÒØÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ×ÙÖÖÖÖÖº
¿ ÓÑÑÑ v 1z = 0 ÐÐ ÐÓÒÒ Ox¸ Ð ×Ø ÓÒÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x Ò ØÓÙØ
ÔÓÓÒØ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖº ÈÈÖ ÐÐ v 1z ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x ׳³ÒÒÙÐÐ ÙØÓÑÑØØÕÙÙ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖº
Ò ÖÖÖÐÐØظ Ð ×Ø ÐÐ ÖÖÖÓÒÒÒÒØÖÖ ÕÙÙ ØÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ sin(nz/d)¸ ¸ Ú n ÒØØØÖ¸ ×Ø
ÐÐÑÑÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ × ÕÙÙØØÓÒ׺ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÖÖÖÖÖ¸ ÑÓÒØÖÖÞ ÕÙ³ÙÒÒ ØØÐÐÐ
ÓÒÒÙÙØ ÙÒÒ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ØØØÖÑÑÕÙÙ ΔT /d ´×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ Ù Ò
ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙµ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ Ø ÐÐÐÙº ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÒØØÖÖ××ÓÒ×
Ð Ú ÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù ØØØÖÑÑÕÙÙ ÓÒÒÒÒØ ÐÐÐÙ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ¸ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× n > 1
ÒÒ ××ÖÓÒØ ÔÔ× ÔÖÖ××× Ò ÓÒ××××ÖÖØØÓÒ º