º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾¾¾
T 0 ××ØØ××××Ø × ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
Ò ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ×× Ø Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÙÙÙÙ ×ÓÓÓÒØ Ò ÙÐÐÐ׸ ×ÓÓØ
T 1 (z = 0) = 0,
T 1 (z = d) = 0 .
´´ºº½µ
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÑÑÖÖØØ Ä³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ººº¸ ÓÓØØÒÙÙ Ù ØØÖÑÑ ÐÐ ×ÙÙ×ØØØÙØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× v 1x Ø p 1 Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ÔÖÓÓÓØØØ ÐÐ ÐÓÒÒ × ÜÜ× Oz¸ ×Ø Ù ÕÙÙØÖÖÖÑÑ
ÓÖÖÖÖ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ D
4
¸ ÕÙÙ
ÖÖÕÙÙÙÖØ ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÙÙÖÖº
ü ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÚÙÙ¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ× ÖÖÖÖÖÖ× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ÓÒÒÒÒ ÐÐ Ù¹
ÑÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× v Ù ÙÙÙÙ ×ÓÓØ ÒÙÐ ×ÙÖ Ð³³Ò××ÑÑÐÐ ×
ÙÙÙÙ¹ÔÐÐÕÙÙ ¿ º ÅÅÅ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ ÐÐ× ÔÓ×¹
××××ÐÐØØ× ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙº Ò Ø¸ ÐÐ× ÐÐÙÐ× Ò× × ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ÔÔ×
ØÖÖ ÑÑÒÒ× ÒÒÐÝØØÕÙÙÑÑÒØ Ù×ÕÙ³³Ù ´ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠׳³ÑÔÓ××µº
ÐÓÖ׸ ÔÓÙÖ ÐÐ ³ÙÒÒ ØÙÙÙ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÓÑÔÐÐØظ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ××ÖÓÒ× ÕÙÙ
ÐÐ× ×ÙÖÖÖÖÖ× ÐÐ ÙÙÙÙ ×ÓÒØ ÐÐÐÖÖ× ¼ º Ç Ò Ú ÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ
г³ØÙÙÙ ×Ø ÐÐ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙº
Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ××ÙÐÐÑÑÒØ Ù Ò
ÚÚÐÐÙÖ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÑÑÑ× Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ× ×ÔÔÔØ×
ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÕÙÙÐÐØØØØØ׺
ü г³Ò×ØØÖ ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÖÖÖÖÖÖ¸ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÔÐÐÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ
ÚÚÖØØØØÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ×³³ÒÒÙÐÐ Ò z = 0 Ø Ò z = d¸ × Ó Ø
v 1z (z = 0) = 0, v 1z (z = d) = 0 .
´´ºº¾µ
ij³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ½ ÔÔÖ ÒÒ¹
¿ ËË Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÓÖÑÑÐÐ ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ ×Ø ´ÐÐ ÙÙÙÙ
ÒÒ ØÖÖÚÚÖ×× ÔÔ× ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ µ¸ г³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ ØØÒÒÒÒØØØÐÐРг³×Ø ÑÓÓÒ׺ Ò Ø¸
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ³³ÑÑÑÑÒÒÖ × ××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÐÐ ÙÙÙÙ ÐÐ××× ×ÙÖ ÐÐ× ÔÔÖÓÓ׺ ØØØ
××ØÙÙØØÓÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÑÑÑѸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ × ØÖÖ× ÓÒÒÒÒ× ´´´ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÐÐ ×
µº
¼ ÍÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø Ò ××Ö ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÖ Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ ×ÓÒ× ÕÙ³³Ð ׳³³³Ø
ÐÐ ³ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÑÑØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒغ ÑÑØØÖÖ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÝÔÓØØØ××
×ÓÙÐÐÚ Ù Ò ÙØÖÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÔÔÙظ Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸ ×ÙÙÙÖ ÙÒÒ ÚÚÚØØÓÒ
ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÐÐÒÒ ´´Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ×× ÓÖÑÑ Ø ÒÒ
ÖÖ×ØØ ÔÔ× Ô Ö Ó Ö ÔÐÐÒÒµ Ð ÙÙÖÖÖØ Ò×׸ ÔÓÙÖ ÖÖÒÒÖÖ ÓÑÔØØ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ¸ ÒØÖÓÓÙÙÖÖ
ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐк ÆÓÙ× ÖÓÒ× Ð³³ÝÔÓØØØ×׸ ÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÖÖ×ØØ ÔÐÐÒÒº
ÆÓÙ× ÚÖÖÓÒ× ÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ d¸
ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ d ×Ø ØÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ Ù ÑÑÐÐÐÑÑØÖÖ ´´´ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ × Ò× ÐÐ ÑÑÑÓÖÖØØ
× Ð³³ÒÒÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑØØÓÒ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÖÖ×ØØ ØÓ ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ
Ðк
½ ÍÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ×³³ÔÔÖÓÓÓÓÖ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ³³³ÓÔØØÖ ÔÓÙÖ ÐÐ
ÙÙÙÙ ÙÒÒ ÔÖÖ×× Ò ××ÒÒÛÛÛ Ò ØÖÖ Ù ÑÑÖÖÙÖÖ Ø Ð³³³ÐÐÙÑ ÞÞÙÜ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
ÓÑÑÑ Ð³³ÙÙÐÐ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÖÖÒÒÒ ÚÚ××Ó××ØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÑÑÖÖÙÖÖ Ø Ð³³³ÐÐÙѸ
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ Ð³³ÙÙÐÐ ÔÔÙØ ×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ
××Ò× ÄÄ ÙÙØÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T 1 Ð ³ Ò ØØÖÖÖÖÖ ×Ø Ò Ø
ÕÙÙ××ÑÑÒØ Ò ÙÐÐÐ ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖØØ ÓÒÒÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑÖÖÙÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ
ÓÒÒÙÙØØÓÒ ÐРг³³ÐÐÙÑ ÙÒ ÙÜ ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÒÙÐ
г³ÒØØÖÖÖÖÖ ÁР׳³³³Ø ÔÓÙÖ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÑÑÜØØ׺
¾¾¾
T 0 ××ØØ××××Ø × ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
Ò ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ×× Ø Ù ×ÓÑÑÑØ Ù ÙÙÙÙ ×ÓÓÓÒØ Ò ÙÐÐÐ׸ ×ÓÓØ
T 1 (z = 0) = 0,
T 1 (z = d) = 0 .
´´ºº½µ
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ×ÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ÑÑÖÖØØ Ä³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ººº¸ ÓÓØØÒÙÙ Ù ØØÖÑÑ ÐÐ ×ÙÙ×ØØØÙØØÓÒ × ÚÚÖÖÖÖÐÐ× v 1x Ø p 1 Ò×
г³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ÔÖÓÓÓØØØ ÐÐ ÐÓÒÒ × ÜÜ× Oz¸ ×Ø Ù ÕÙÙØÖÖÖÑÑ
ÓÖÖÖÖ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ D
4
¸ ÕÙÙ
ÖÖÕÙÙÙÖØ ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÙÙÖÖº
ü ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÚÙÙ¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ× ÖÖÖÖÖÖ× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ÓÒÒÒÒ ÐÐ Ù¹
ÑÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× v Ù ÙÙÙÙ ×ÓÓØ ÒÙÐ ×ÙÖ Ð³³Ò××ÑÑÐÐ ×
ÙÙÙÙ¹ÔÐÐÕÙÙ ¿ º ÅÅÅ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÒÒØ ÐÐ× ÔÓ×¹
××××ÐÐØØ× ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙº Ò Ø¸ ÐÐ× ÐÐÙÐ× Ò× × ÒÒ ÔÔÙÚÒØ ÔÔ×
ØÖÖ ÑÑÒÒ× ÒÒÐÝØØÕÙÙÑÑÒØ Ù×ÕÙ³³Ù ´ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠׳³ÑÔÓ××µº
ÐÓÖ׸ ÔÓÙÖ ÐÐ ³ÙÒÒ ØÙÙÙ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÓÑÔÐÐØظ ÒÓÙ× ×ÙÔÔÓ××ÖÓÒ× ÕÙÙ
ÐÐ× ×ÙÖÖÖÖÖ× ÐÐ ÙÙÙÙ ×ÓÒØ ÐÐÐÖÖ× ¼ º Ç Ò Ú ÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐ
г³ØÙÙÙ ×Ø ÐÐ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙº
Ò ³³ÙØÖÖ× ØØÖÑÑ׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ××ÙÐÐÑÑÒØ Ù Ò
ÚÚÐÐÙÖ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÑÑÑ× Ò³³³³³ØØ ÔÔ× ÐÐ× ×ÔÔÔØ×
ÔÔÝ××ÕÙÙ× ÕÙÙÐÐØØØØØ׺
ü г³Ò×ØØÖ ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÖÖÖÖÖÖ¸ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÔÐÐÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ ÕÙÙ ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ
ÚÚÖØØØØÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ×³³ÒÒÙÐÐ Ò z = 0 Ø Ò z = d¸ × Ó Ø
v 1z (z = 0) = 0, v 1z (z = d) = 0 .
´´ºº¾µ
ij³ÝÔÓØØØ×× ³ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× × ÓÒØÖÖÖÒØØ× ½ ÔÔÖ ÒÒ¹
¿ ËË Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÓÖÑÑÐÐ ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ ×Ø ´ÐÐ ÙÙÙÙ
ÒÒ ØÖÖÚÚÖ×× ÔÔ× ÐÐ ÔÐÐÕÙÙ µ¸ г³ÒÒÙÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÑÔÓ××ÒØØ ØØÒÒÒÒØØØÐÐРг³×Ø ÑÓÓÒ׺ Ò Ø¸
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ³³ÑÑÑÑÒÒÖ × ××ØÙÙØØÓÒ× Ò× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÐÐ ÙÙÙÙ ÐÐ××× ×ÙÖ ÐÐ× ÔÔÖÓÓ׺ ØØØ
××ØÙÙØØÓÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÑÑÑѸ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ × ØÖÖ× ÓÒÒÒÒ× ´´´ ÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÐÐ ×
µº
¼ ÍÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø Ò ××Ö ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÖ Ò× ÐÐ ÔÖÖØØÕÙÙ ×ÓÒ× ÕÙ³³Ð ׳³³³Ø
ÐÐ ³ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÑÑØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÑÑÒغ ÑÑØØÖÖ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÝÔÓØØØ××
×ÓÙÐÐÚ Ù Ò ÙØÖÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÔÔÙظ Ò ØÓÙØØ ÖÖÖÙÙÙÖ¸ ×ÙÙÙÖ ÙÒÒ ÚÚÚØØÓÒ
ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÐÐÒÒ ´´Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ×× ÓÖÑÑ Ø ÒÒ
ÖÖ×ØØ ÔÔ× Ô Ö Ó Ö ÔÐÐÒÒµ Ð ÙÙÖÖÖØ Ò×׸ ÔÓÙÖ ÖÖÒÒÖÖ ÓÑÔØØ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ¸ ÒØÖÓÓÙÙÖÖ
ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐк ÆÓÙ× ÖÓÒ× Ð³³ÝÔÓØØØ×׸ ÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÖÖ×ØØ ÔÐÐÒÒº
ÆÓÙ× ÚÖÖÓÒ× ÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ×ØØÒÒÒ d¸
ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ d ×Ø ØÖÖ× ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ Ù ÑÑÐÐÐÑÑØÖÖ ´´´ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ × Ò× ÐÐ ÑÑÑÓÖÖØØ
× Ð³³ÒÒÙÙÒÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑØØÓÒ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÐÖÖ ÖÖ×ØØ ØÓ ÖÖÐÐØØÚÑÑÒØ
Ðк
½ ÍÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ×³³ÔÔÖÓÓÓÓÖ ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ³³³ÓÔØØÖ ÔÓÙÖ ÐÐ
ÙÙÙÙ ÙÒÒ ÔÖÖ×× Ò ××ÒÒÛÛÛ Ò ØÖÖ Ù ÑÑÖÖÙÖÖ Ø Ð³³³ÐÐÙÑ ÞÞÙÜ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
ÓÑÑÑ Ð³³ÙÙÐÐ ÔÓ××××× ÙÒÒ ÖÖÒÒÒ ÚÚ××Ó××ØØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÑÑÖÖÙÖÖ Ø Ð³³³ÐÐÙѸ
Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ Ð³³ÙÙÐÐ ÔÔÙØ ×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ
××Ò× ÄÄ ÙÙØÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T 1 Ð ³ Ò ØØÖÖÖÖÖ ×Ø Ò Ø
ÕÙÙ××ÑÑÒØ Ò ÙÐÐÐ ÖÖÖÖ ÐÐ ÓÖØØ ÓÒÒÙÙØØÓÒ ÐÐ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑÖÖÙÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ
ÓÒÒÙÙØØÓÒ ÐРг³³ÐÐÙÑ ÙÒ ÙÜ ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÒÙÐ
г³ÒØØÖÖÖÖÖ ÁР׳³³³Ø ÔÓÙÖ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÙÜ ÐÐÑÑØØ× ÑÑÜØØ׺