º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾¾¾
ÁÐ ×Ø ×× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖ¹
ÒØØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××¹
ØØظ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ×ÓÒØ ÖÖÖÐÐÐ×
×××ÒÓÒ× × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖ ω 1 Ø ω 2 ´´Ú ω 1 > ω 2 µº ËËÐÓÒ ÐÐ ÒÒØØÓÒ
S ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× S = ω 1 + ω 2 < 0
ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³ÙÒÒ Ù ÑÓÓÒ× × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚº ËËÙÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ
Ò Ú ÐÐÙÖ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ÒØØÖÖØ Ö¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ×
ÐÐ ×××ÒÒÐÓÒ× Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÌÙÖÖÒÒ ´×××ØØÓÒ º¿µ¸ ÐÐй¹¹ ×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×Ù×××ÔØØØÐÐ ÚÒÒÖ ÔÓ××¹
ØØÚ¸ ÕÙÙ ÓÒ×ØØØÙÙ ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ ÄÄ ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ×
P = ω 1 ω 2 ׳³ÒÒÙÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ
Λ
3
q −
R a q
2
d 4 = 0 .
´´ºººµ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
R a = R ac (q) = π
4 [1 + (dq/π)
2
]
3
(dq/π) 2
´´ºººµ
ÓÓ R ac (q) ×××ÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÖÖÖÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ´´ººº ω 1 = 0µº ÄÄ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ R ac (q)
×Ø ÐÐ ÒÒÙØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ØØØ ÔÓ×××××
ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò q c
q c =
π
d
√
2
.
´´ºº¼µ
Ò q = q c ¸ Ð Ú ÐÐÙÖ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
R ac =
27π
4
4
657, 5
´´ºº½µ
³³×Ø ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ R a ¸ Ø Ó Ò Ð
ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÖÖÖÖÒØ ØØØÖÑÑÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÓÒÚØØÓÒ ×ÙÖÚÚÚÒØ
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µº ÈÓÙÖ ØØØ ÚÚÐÐÙÖ¸ ÒÒÒ×××ÒØ × Ô Ó Ò ØØÒÒÑÑÒØ ×
ÚÚØØ××× Ø ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ ×ÔÔØØØÐÐ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
λ c = 2
√
2dº Ò×׸ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÓØ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÓÒ¹
ÙÙØØص¸ ÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ×ØØØÐе¸ ω 1 > 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ
ω 1 < 0µ¸ Ð ×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ×ÓÓØ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ
ÒÒÒÖÖÖÙÖµ Ù ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ ÑÑÒÒÑÑи ×ÓÓØ R a > R ac ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚ¹
ÑÑÒظ R a < R ac µº
××ÙØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ × ÓÖÖÖÖ× ÖÖÒÒÒÙÖ × ØØØÖÑÑÕÙÙ×
ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ
× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÔ×××ÙÖ d = 10
−2 m
³ÙÒÒ ××ÐÐÐÓÒÒ ÚÚ××Ó××ØØ ν 10
−4 m
2 .s
−1
¸ Ù××ÚÚØØ ØØØÖÑÑÕÙÙ
κ 10
−7 m
2 .s
−1
Ø ÓÓÓÓÓÓÒØ ÐÐØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ α 10
−3 K
−1
º ü
ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ R a ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ø ×× ÚÚÐÐÙÖ
ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº½µ¸ ÓÒ ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ
¾¾¾
ÁÐ ×Ø ×× ÚÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖ¹
ÒØØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××¹
ØØظ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ×ÓÒØ ÖÖÖÐÐÐ×
×××ÒÓÒ× × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖ ω 1 Ø ω 2 ´´Ú ω 1 > ω 2 µº ËËÐÓÒ ÐÐ ÒÒØØÓÒ
S ÐÐ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× S = ω 1 + ω 2 < 0
ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÕÙ³ÙÒÒ Ù ÑÓÓÒ× × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚÚº ËËÙÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ
Ò Ú ÐÐÙÖ ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ× ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ÒØØÖÖØ Ö¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ×
ÐÐ ×××ÒÒÐÓÒ× Ò× ÐÐ ×××ØØÓÒ ÓÒ×××ÖÖÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÌÙÖÖÒÒ ´×××ØØÓÒ º¿µ¸ ÐÐй¹¹ ×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ×Ù×××ÔØØØÐÐ ÚÒÒÖ ÔÓ××¹
ØØÚ¸ ÕÙÙ ÓÒ×ØØØÙÙ ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØغ ÄÄ ÔÖÓÓÙÙØ × ÙÜ ÖÖÖÖÒÒ×
P = ω 1 ω 2 ׳³ÒÒÙÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ
Λ
3
q −
R a q
2
d 4 = 0 .
´´ºººµ
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÖÖÖØØ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ
R a = R ac (q) = π
4 [1 + (dq/π)
2
]
3
(dq/π) 2
´´ºººµ
ÓÓ R ac (q) ×××ÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÖÖÖÒÒ ×³³ÒÒÙÐÐ ´´ººº ω 1 = 0µº ÄÄ ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ R ac (q)
×Ø ÐÐ ÒÒÙØÖÖ ×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ØØØ ÔÓ×××××
ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò q c
q c =
π
d
√
2
.
´´ºº¼µ
Ò q = q c ¸ Ð Ú ÐÐÙÖ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
R ac =
27π
4
4
657, 5
´´ºº½µ
³³×Ø ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ R a ¸ Ø Ó Ò Ð
ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÖÖÖÖÖÒØ ØØØÖÑÑÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐ ÓÒÚØØÓÒ ×ÙÖÚÚÚÒØ
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µº ÈÓÙÖ ØØØ ÚÚÐÐÙÖ¸ ÒÒÒ×××ÒØ × Ô Ó Ò ØØÒÒÑÑÒØ ×
ÚÚØØ××× Ø ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× ÙÒÒ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ ×ÔÔØØØÐÐ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
λ c = 2
√
2dº Ò×׸ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÓØ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ ÓÒ¹
ÙÙØØص¸ ÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ×ØØØÐе¸ ω 1 > 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒظ
ω 1 < 0µ¸ Ð ×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ×ÓÓØ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ
ÒÒÒÖÖÖÙÖµ Ù ÒÓÑÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ ÐÖÖØØÕÙÙ ÑÑÒÒÑÑи ×ÓÓØ R a > R ac ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚ¹
ÑÑÒظ R a < R ac µº
××ÙØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ × ÓÖÖÖÖ× ÖÖÒÒÒÙÖ × ØØØÖÑÑÕÙÙ×
ÒÒÒÒ××××ÖÖ× ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ
× ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÔ×××ÙÖ d = 10
−2 m
³ÙÒÒ ××ÐÐÐÓÒÒ ÚÚ××Ó××ØØ ν 10
−4 m
2 .s
−1
¸ Ù××ÚÚØØ ØØØÖÑÑÕÙÙ
κ 10
−7 m
2 .s
−1
Ø ÓÓÓÓÓÓÒØ ÐÐØØØØÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ α 10
−3 K
−1
º ü
ÔÔÖØØÖ ÐÐ ÒÒØØÓÒ Ù ÒÓÑÖÖ ÊÊÝÐÐÐÐÐ R a ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ Ø ×× ÚÚÐÐÙÖ
ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº½µ¸ ÓÒ ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ