º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾¾¿
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T ¸ ÔÖÖ×××ÓÒ p Ø
ÚÚØØ××× v ÒÒ ÔÔÒÒÒÒØ ÕÙÙ × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×ÔÔÔÔ z Ø x Ø ×ÓÓÓÒØ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ yº ظ ØÙÙÙÓÒ× ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
гÓÖÖÖÖ ××ÐÓÒ Ð³³ÜÜ 0x ´ÓÖÖÖÖ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒе µ ÒÓÙ× ÚÖÖÓÒ× Ù ½¿
ÐÐ× ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ³ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐк
ÄÄ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ ×
Ox ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
∂v x1
∂t
= ν∇
2 v x1 −
1
ρ 0
∂p 1
∂x
.
´´ºº¾µ
ÈÓÙÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ù×ÕÙ³³ ÔÖÖ××ÒØ ØÖÓÓ×
ÕÙÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø ÐÐ× ÙÜ
ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ÐÐ ÐÓÒÒ × ÜÜ× Oz Ø Ox ´´ÕÙÙØØÓÒ×
ºº½µ µØ ´´ºº¾µ¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÕÙÙØÖÖ v 1x , v 1z , T 1 , p 1 º ij³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÔÔÐÐÑÑÒØØØÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÒÐÙÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
×Ø ÐÐ ÐÓÓ ÓÒ××ÖÚØØÓÒ ÐÐ ÑÑØØØÖÖ ´´´ØØ Ù××× ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÙÙØص
∂ρ/∂t +
∇.(ρρ v) = 0¸ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ
∂ρ
∂t + v.
∇ρ +
∇.. v =
dρ
dt +
∇.. v = 0º ÈÓÙÖ ÙÒ
ÙÙÙÙ ÒÒÓÑÔÖÖ××××ÐÐ ¿ ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× dρ/dt = 0¸ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ××ÖÚØØÓÒ
ÐÐ ÑÑ××× ×³³³ÖÖØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø
∇.. v = 0 .
´´ºº¿µ
ÈÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ
ÓÑÔÐÐØØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒº ÕÙ٠׳³³ÖÖØ
∂v 1x
∂x
+
∂v 1z
∂z
= 0 .
´´ºººµ
ÈÓÙÖ ÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ÙÒ Ò××ѹ
ÐÐ ÕÙÙØÖÖ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ
ÐÐÙÖ Ø ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ººº¸¸ºº½¹¹ºº¾ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ¹
ØØÒÙÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø ÙØÓÒÓÑÑ× ¿¿ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× t Ø xº ÄÄ
×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ e
iqx+ωt
¸ ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø ω ÐÐ ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÙ ´ ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÔÐÐÜܵ г³Ò×ØØØØÐÐØظ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ q
×Ø ÖÖÖи ××ÒÓÒ ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× Ð³ÓÓØØÒØØÓÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÔÔ¹
ØØØÐÐÑÑÒظ ÕÙÙ ×Ø ÓÒØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ××ÓÓÓÓ
¿ ÈÈÖ ÙÙÙÙ ÒÒÓÑÔÖÖ××××Ðи ÒÓÙ× ÒÒ ÚÓÙÐÓÒ× ÔÔ× ÖÖ ÕÙÙ ρ ×Ø ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
ÔÔÖØÓÙظ ÑÑÑ× ÔÐÙØØØ ÕÙ³³Ò ×ÙÙÚÚÒØ ÙÒ ÙÙÙÙ Ò× ×ÓÒ ÑÓÙÚÑÑÒظ ÐÐ Ò××ØØ
г³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ ÖÖ×ØØ ÓÒ×ØØÒØظ dρ/dt = ∂ρ/∂t + v.
∇ρ = 0º ØØØ ÝÔÓØØØ×× ×Ø ÚÚÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ
ØÓÙ× ÐÐ× ÐÐÕÙÙÙÙ׸ ××ÙÙ ×× ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ø × Ø Ô Ö Ó ÐÐÐ Ù ×ÓÒº Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸
ÓÒ ×××Ø ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒÒ× ×ÓÒÓÖÖ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ò Ó Ò ØÖÖÖØØÓÒ»»»ÐÐØØØØÓÒ × ÙÙÙÙ׸
Ø Ò ÒØØÒÒÙ ÐÐ ×ÓÒ ÒÒ ÔÓÙÖÖÖÖØ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÖ ××Ò× ÓÑÔÖÖ×××ÓÒ»»»ÐÐØØØØÓÒ Ù ÐÐÕÙÙÙÙº ÁÐ
ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÑÑÓÖÖØØ × ÔÖÓÓÐÐÑÑ× × ÐÐÕÙÙÙÙ׸ ÐÐ× Ø×
ÓÑÔÖÖ×××××ÐÐØØ ×ÓÒØ ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ× Ù ÖÖ ÙÜ ÚÚØØ×××× ÐÐ× ÑÑ××× Ò Ù ´ÚÚØØ×××
ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐÐ Ù ×ÓÒµº
¿¿ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ´ØØÑÔ׸ ×ÔÔÔÔµ
×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ× ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ Ò
ÕÙÙ×ØØÓÒº
¾¾¿
ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T ¸ ÔÖÖ×××ÓÒ p Ø
ÚÚØØ××× v ÒÒ ÔÔÒÒÒÒØ ÕÙÙ × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ³³×ÔÔÔÔ z Ø x Ø ×ÓÓÓÒØ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ yº ظ ØÙÙÙÓÒ× ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ
гÓÖÖÖÖ ××ÐÓÒ Ð³³ÜÜ 0x ´ÓÖÖÖÖ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒе µ ÒÓÙ× ÚÖÖÓÒ× Ù ½¿
ÐÐ× ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ× ³ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐк
ÄÄ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ ×
Ox ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
∂v x1
∂t
= ν∇
2 v x1 −
1
ρ 0
∂p 1
∂x
.
´´ºº¾µ
ÈÓÙÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ¸ ÒÓÙ× Ù×ÕÙ³³ ÔÖÖ××ÒØ ØÖÓÓ×
ÕÙÙØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø ÐÐ× ÙÜ
ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ÐÐ ÐÓÒÒ × ÜÜ× Oz Ø Ox ´´ÕÙÙØØÓÒ×
ºº½µ µØ ´´ºº¾µ¸ ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÕÙÙØÖÖ v 1x , v 1z , T 1 , p 1 º ij³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÔÔÐÐÑÑÒØØØÖÖ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÒÐÙÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
×Ø ÐÐ ÐÓÓ ÓÒ××ÖÚØØÓÒ ÐÐ ÑÑØØØÖÖ ´´´ØØ Ù××× ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÙÙØص
∂ρ/∂t +
∇.(ρρ v) = 0¸ ×ÓÓØ ÒÒÓÖÖ
∂ρ
∂t + v.
∇ρ +
∇.. v =
dρ
dt +
∇.. v = 0º ÈÓÙÖ ÙÒ
ÙÙÙÙ ÒÒÓÑÔÖÖ××××ÐÐ ¿ ¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× dρ/dt = 0¸ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ××ÖÚØØÓÒ
ÐÐ ÑÑ××× ×³³³ÖÖØ ××ÑÔÐÐÑÑÒØ Ø
∇.. v = 0 .
´´ºº¿µ
ÈÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ
ÓÑÔÐÐØØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐ ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒº ÕÙ٠׳³³ÖÖØ
∂v 1x
∂x
+
∂v 1z
∂z
= 0 .
´´ºººµ
ÈÓÙÖ ÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÙ ÙÒ Ò××ѹ
ÐÐ ÕÙÙØÖÖ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ
ÐÐÙÖ Ø ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ÕÙÙØØÓÒ× ººº¸¸ºº½¹¹ºº¾ Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ¹
ØØÒÙÙØØ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø ÙØÓÒÓÑÑ× ¿¿ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× t Ø xº ÄÄ
×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ e
iqx+ωt
¸ ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø ω ÐÐ ØØÙÜ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÙ ´ ÔÖÖÓÖÖ ÓÑÔÐÐÜܵ г³Ò×ØØØØÐÐØظ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ q
×Ø ÖÖÖи ××ÒÓÒ ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× Ð³ÓÓØØÒØØÓÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÔÔ¹
ØØØÐÐÑÑÒظ ÕÙÙ ×Ø ÓÒØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÖ ³ÙÒ ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ××ÓÓÓÓ
¿ ÈÈÖ ÙÙÙÙ ÒÒÓÑÔÖÖ××××Ðи ÒÓÙ× ÒÒ ÚÓÙÐÓÒ× ÔÔ× ÖÖ ÕÙÙ ρ ×Ø ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
ÔÔÖØÓÙظ ÑÑÑ× ÔÐÙØØØ ÕÙ³³Ò ×ÙÙÚÚÒØ ÙÒ ÙÙÙÙ Ò× ×ÓÒ ÑÓÙÚÑÑÒظ ÐÐ Ò××ØØ
г³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ ÖÖ×ØØ ÓÒ×ØØÒØظ dρ/dt = ∂ρ/∂t + v.
∇ρ = 0º ØØØ ÝÔÓØØØ×× ×Ø ÚÚÐÐÐÐÐ ÔÓÙÖ
ØÓÙ× ÐÐ× ÐÐÕÙÙÙÙ׸ ××ÙÙ ×× ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³³³ÓÙÐÐÑÑÒØ Ø × Ø Ô Ö Ó ÐÐÐ Ù ×ÓÒº Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸
ÓÒ ×××Ø ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒÒ× ×ÓÒÓÖÖ× ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø Ù Ò Ó Ò ØÖÖÖØØÓÒ»»»ÐÐØØØØÓÒ × ÙÙÙÙ׸
Ø Ò ÒØØÒÒÙ ÐÐ ×ÓÒ ÒÒ ÔÓÙÖÖÖÖØ ×× ÔÖÓÔÔÔÔÖ ××Ò× ÓÑÔÖÖ×××ÓÒ»»»ÐÐØØØØÓÒ Ù ÐÐÕÙÙÙÙº ÁÐ
ÙØ ÒÓØØÖ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÑÑÓÖÖØØ × ÔÖÓÓÐÐÑÑ× × ÐÐÕÙÙÙÙ׸ ÐÐ× Ø×
ÓÑÔÖÖ×××××ÐÐØØ ×ÓÒØ ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÒÒÒÐÐÐÐÐÐÐÐ× Ù ÖÖ ÙÜ ÚÚØØ×××× ÐÐ× ÑÑ××× Ò Ù ´ÚÚØØ×××
ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÐÐÐ Ù ×ÓÒµº
¿¿ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ØØ ÙØÓÒÓÑÑ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ´ØØÑÔ׸ ×ÔÔÔÔµ
×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ× ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ Ò
ÕÙÙ×ØØÓÒº