¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º½½º½ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ÄÄ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ × ÕÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ
ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ × ÙÜ ØØÖÑÑ× v.
∇T ´´´Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø v.
∇ v ´´´Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹
ËØÓÓ׸ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ µ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ Ò× ×ÓÒ
Ò××ÑÑÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ÓÓØØÒÙÙ ÕÙÙ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙÑÑÒغ ÔÔÒÒÒÒظ Ò ××
ÔÔÒÒÒÒÒØ ×ÙÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù××ÚÚ ÓÓØØÒÙÙ ¹
ÚÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº µ¸ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ×Ø ÔÓ××××Ðк ÈÈÖØÙÖÖÓÒ×
ÓÒÒ ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò× ×ÓÒ ØØØ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù××× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ØØÐÐÐ
×ÓÖØØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ù ÐÐÑÑØØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
T ( r, t) = T 0 (z) + T 1 ( r, t)
´´ºººµ
Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ¸ Ù ÚÚØØ××× v¸ ¸ Ð Ô Ö × × Ó Ò p Ø ÐÐ Ò××ØØ
ρº
ÊÊÔÓÖØÓÒ× Ò×ÙÙØØ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ¸ Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò ¸ ÕÙÙ
ÒÒØ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖ ØÓÙØØ ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖº
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ÐÐÙÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ µØ Ù ÔÖÓÓÐ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ
∂T 1
∂t
+ v z1 .
ΔT
d
= κ∇
2 T 1
´´ºººµ
Ò ØØÒÒÒØ ÓÑÔØØ Ù ÔÖÓÓÐ ÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù××Ú ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ºººµ µØ Ù Ú ÐÐÑÑØØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ò××ØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ
ºº¼¸ ÔÔÖÑÑØØØÒØ Ò×× ³³³ÖÖÖÖ ρ 1 = −ρ 0 αδT = −ρ 0 αT 1 µ ¸ Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ò Ð
ÓÑÔÓ××ÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ ÚÖØØØØÐ
Oz¸ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
∂v z1
∂t
= ν∇
2 v z1 +
ρ 1
ρ 2
0
∂p 0
∂z
−
1
ρ 0
∂p 1
∂z
,
´´ºº¼µ
= ν∇
2 v z1 + αgT 1 −
1
ρ 0
∂p 1
∂z
.
´´ºº½µ
×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖµº ÄÄ ÔÔÝ×××××Ò ÄÙÙÛÛÛ ÙÙÖÖ ÓÐØÞÑÑÒÒ ´½½½½¹
½½¼¼µ¸ ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖÖ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ¸ ÒÒ Ð³³ÒØÖÓÔÔÔ ÔÔÖ ÐÐ ÐÓÓÓÖÖØØÑÑ
Ù ÒÓÑÖÖ ³³ØØØ× ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙ× Ω ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ× Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐÐ ´S =
klnΩ¸ Ó k ×Ø ÐÐ ÓÐØÞÑÑÒÒµº ÄÄ ×××ÓÒÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ØØØÐÐØ Ò×× Ð³³ÖÖÖÚÚÖ××××ÐÐØØ
ÖØØØÒ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÔÔÝ××ÕÙÙ׸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÓÖ× × ØØØÖÑÑÕÙÙ׸ Ò ÒÓÒÒÒÒØ ÕÙÙ
г³ÒØÖÓÔÔÔ S ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÒÒÒÒØ Ú Ö× ×ÓÒ ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÕÙÙ ÖÓÓØÖÖ ΔS > 0º Ù ÓÙÖ×
³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐи ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ
ÕÙÙ ÔÓ××ØØÚ Ó Ù Ò ÙÐÐк ËË ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐÐи Р׳³³³Ø ÐÓÖ× ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
ÖÖÚÖ×××Ðк ËË ÐÐÐ ×Ø ×ØÖÖÖØØÑÑÒØ ÔÓ××ØØÚÚ¸ Р׳³³³Ø ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ´ØÓÙØØ
ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÒÒÒÒØØÚÚ ×Ø ÇÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ Ë ×³³ÜÔÖÖÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ ÐÐÙÖ ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
dS =
δQ
T
º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º½½º½ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
ÄÄ ÒÓÒ¹ÐÐÒÒÒÖÖØØ × ÕÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ
ÖÖ×ÙÐØØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ × ÙÜ ØØÖÑÑ× v.
∇T ´´´Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ Ø v.
∇ v ´´´Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹
ËØÓÓ׸ ÕÙÙØØÓÒ ºººµ µ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ Ò× ×ÓÒ
Ò××ÑÑÐÐ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ ÓÓØØÒÙÙ ÕÙÙ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙÑÑÒغ ÔÔÒÒÒÒظ Ò ××
ÔÔÒÒÒÒÒØ ×ÙÖ Ð³³ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù××ÚÚ ÓÓØØÒÙÙ ¹
ÚÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº µ¸ ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ×Ø ÔÓ××××Ðк ÈÈÖØÙÖÖÓÒ×
ÓÒÒ ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò× ×ÓÒ ØØØ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù××× ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ¸ ØØÐÐÐ
×ÓÖØØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÖÓÓÓÓÓÖ Ù ÐÐÑÑØØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ
T ( r, t) = T 0 (z) + T 1 ( r, t)
´´ºººµ
Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ¸ Ù ÚÚØØ××× v¸ ¸ Ð Ô Ö × × Ó Ò p Ø ÐÐ Ò××ØØ
ρº
ÊÊÔÓÖØÓÒ× Ò×ÙÙØØ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ØØØÖÑÓÓÓÒÚÚÚØØÓÒ
´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ¸ Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÐÐ× ØØÖÑÑ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× Ò ¸ ÕÙÙ
ÒÒØ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖ ØÓÙØØ ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖº
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ ÐÐÙÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ µØ Ù ÔÖÓÓÐ
ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØÙÖÖÖÖ ØÖÖÒ×ÔÓÖØ ÐÐ
∂T 1
∂t
+ v z1 .
ΔT
d
= κ∇
2 T 1
´´ºººµ
Ò ØØÒÒÒØ ÓÑÔØØ Ù ÔÖÓÓÐ ÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ Ù××Ú ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ºººµ µØ Ù Ú ÐÐÑÑØØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ò××ØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ
ºº¼¸ ÔÔÖÑÑØØØÒØ Ò×× ³³³ÖÖÖÖ ρ 1 = −ρ 0 αδT = −ρ 0 αT 1 µ ¸ Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ò Ð
ÓÑÔÓ××ÒØØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ ÚÖØØØØÐ
Oz¸ ׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
∂v z1
∂t
= ν∇
2 v z1 +
ρ 1
ρ 2
0
∂p 0
∂z
−
1
ρ 0
∂p 1
∂z
,
´´ºº¼µ
= ν∇
2 v z1 + αgT 1 −
1
ρ 0
∂p 1
∂z
.
´´ºº½µ
×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖµº ÄÄ ÔÔÝ×××××Ò ÄÙÙÛÛÛ ÙÙÖÖ ÓÐØÞÑÑÒÒ ´½½½½¹
½½¼¼µ¸ ÓÒ××××ÖÖ ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖÖ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ¸ ÒÒ Ð³³ÒØÖÓÔÔÔ ÔÔÖ ÐÐ ÐÓÓÓÖÖØØÑÑ
Ù ÒÓÑÖÖ ³³ØØØ× ÑÑÑÖÓ××ÓÔÔÕÙÙ× Ω ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ× Ð³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐÐ ´S =
klnΩ¸ Ó k ×Ø ÐÐ ÓÐØÞÑÑÒÒµº ÄÄ ×××ÓÒÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ØØØÐÐØ Ò×× Ð³³ÖÖÖÚÚÖ××××ÐÐØØ
ÖØØØÒ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÔÔÝ××ÕÙÙ׸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÐÓÖ× × ØØØÖÑÑÕÙÙ׸ Ò ÒÓÒÒÒÒØ ÕÙÙ
г³ÒØÖÓÔÔÔ S ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÒÒÒÒØ Ú Ö× ×ÓÒ ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÕÙÙ ÖÓÓØÖÖ ΔS > 0º Ù ÓÙÖ×
³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐи ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ÓÒÒ ØÖÖ
ÕÙÙ ÔÓ××ØØÚ Ó Ù Ò ÙÐÐк ËË ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÒÙÐÐи Р׳³³³Ø ÐÓÖ× ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ
ÖÖÚÖ×××Ðк ËË ÐÐÐ ×Ø ×ØÖÖÖØØÑÑÒØ ÔÓ××ØØÚÚ¸ Р׳³³³Ø ³ÙÒÒ ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ´ØÓÙØØ
ØÖÖÒ××ÓÖÑÑØØÓÒ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖØØÓÒ ÒÒÒÒØØÚÚ ×Ø ÇÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ Ë ×³³ÜÔÖÖÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ ÐÐÙÖ ÔÔÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ
dS =
δQ
T
º