¾¾¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
dT /dt¸ Ó d/dt ×Ø ÐÐ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ ´´´ÒÓÑÑÑÑ Ù××× ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ
ÓÙ ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒµ ÖÖ×××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ò ÑÓÙÚÑÑÒغ ÄÄ ¹
××ÖÖÔØØÓÒ ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒ ÓÔØØ ÓÒÒ ÙÒ ÖÖÖÖÖÖÒØØØÐ Ò ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ÙÙÙÙ
ÐÐÐ ÓÒ×××ØØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ³ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÙÙÙÙ ×ÙÙÚÚÚ
Ò× ×ÓÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒغ Ù Ò× ÐÐ ÖÖ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ¸ ÐÐ
ÖÖÖÖÖÖÒØØØÐ ÓÔØØ ×Ø Üܸ Ø Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÙÙÙÙ ×Ø ÖÖØ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø Ü
г³×ÔÔÔÔº ÄÄ ÔÔÖØØØÐÐÐ ´ÓÙ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÓÓÓÐе
∂
∂t ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ò××
ÐÐ ÖÖÚ Ò× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐ ØØ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ
ÚÙÙ ÔÔÖ ÙÒ ÓÓ××ÖÚØØÙÖ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø Ü º
Ú ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×
ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒ Ø ÙÐÐÖÖÖÒÒÒº ÄÄ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ÚÖÖÖ Ò ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ù ØØÑÔ׸ ÑÑÑ× Ò ÑÑÑÑ ØØÑÔ׸ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ×Ø ØÖÖÒ×ÔÓÖØØ ÔÔÖ ÐÐ
ÓØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ г³ÑÑÑÑ ³ÙÒÒ ÔÓÙ××××ÖÖ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ Ð³³³Ùº
ظ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T ( r, t) ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ Ò ÙÒ ØØÑÔ× t
T ( r + vδt, t + δt) Ò ÙÒ t + δt¸ Ö¸ ÔÔÒÒÒÒØ ÐÐ ÐÐÔ× ØØÑÔ× δt¸ Ð Ô Ó Ò Ø
ÙÙÙÙ Ò ÕÙÙ×ØØÓÒ ×³³×Ø ÔÐÐÐÐ vδtº Ä Ú ÖÖÖØØÓÒ ØÓØØÐÐ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T
ÐÐ ÐÐÑÑØØ δt → 0 ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ dT /dt = [T ( r + vδt, t + δt) − T ( r, t)]/δt =
∂T /∂t + v.
∇T º ÄÄ ØØÖÑÑ v.
∇T ×Ø ÐÐ ØØÖÑÑ ÄÄ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ
ÖÖÚ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ ×Ø ××ÙÙ Ù Ø ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ×Ø ×ÙÙÚÚÚ
Ù ÓÙÖ× ×ÓÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒظ г³ÑÑÑÑ Ù ×ÙÙÚÚ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÑÑØØÖÖÖÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ù ÔÓÓÒغ ÄÄ ÚÚØØ××× v ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ¿½ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
∂∂ v
∂t
+ v.
∇ v = ν∇
2 v −
1
ρ
∇p + g ,
´´ºººµ
ÓÓ ν = η/ρ ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÒÒÑÑØØÕÙÙ¸ η ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ρ ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒص p ÐÐ Ò××ØØ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÐÐ ÔÖÖ×××ÓÒµ Ù ÙÙÙÙ Ø g ÐÐ
ÖÖÚÚØغ
ÄÄ ØØÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÖÖØ Ð³³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ Ð ÔÔÙØ ×³³ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³³³
ÐÐ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ dd v/dtº Ì ÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÖÓÓØØ ×Ø Ð ÐÐ ×ÓÑÑÑ
× ÓÖÖÖ× ÔÔÖ ÙÒÒØØ ÚÓÐÙÑÑ ×ÙÖ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ¸ Ð ×Ø ×
ÓÖÖÖ× ÔÖÖ×××ÓÒ ´−∇pµ¸ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÖÖ××ÒØØ× ÑÑÑÑ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ׸ ×
ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒ ¿¾ ×Ù×××ØØØ× ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÚÚØØ××× ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ
(∇
2 v) Ø ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÖÚÚØØØØÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ÚÓÐÙÑÑ gº ÄÄ× ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº ÔÓ××ÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
Ø Ø Ð Ø Ö Ñ Ó Ó Ò ÚÚÚØØÓÒº
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐ Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ
×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´ÖÖÖÖÑÑ Ù××ÓÒ¸ Ø Ù××× ÖÖÖÖÑÑ ÓÒÒÙÙØØص ÔÔÙØ ¹
ÚÚÒÒÖ Ò×ØØØÐк ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ´´µ ÔÔÖ ÙÒ ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ×
´´ººº
∂∂ v
∂t Ø v = 0µ Ø ´´´µ ÔÔÖ ÙÒ ÔÖÓÓÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ººº
∂T
∂t = 0µº
ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ× ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÙÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ ×ÓÒØ
¿½ ÆÓÙ× ÚÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ º½º¾ Ù º
¿¾ ÌÓÙØ ÑÓÙÚ ÚÚØØ××× ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ × ÑÓÙÚÑÑÒØ× ÖÖÐÐØØØ× × ÓÙÙÙÙ×
ÙÙÙÙ× ÐÐ× ÙÒÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÜÙØÖÖ× Ð Ò ÖÖ×ÙÐØØ Ò×× × ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
dT /dt¸ Ó d/dt ×Ø ÐÐ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ ´´´ÒÓÑÑÑÑ Ù××× ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖÖ
ÓÙ ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒµ ÖÖ×××ÒØØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ Ò ÑÓÙÚÑÑÒغ ÄÄ ¹
××ÖÖÔØØÓÒ ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒ ÓÔØØ ÓÒÒ ÙÒ ÖÖÖÖÖÖÒØØØÐ Ò ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ø ÚÚÚ ÐÐ ÙÙÙÙ
ÐÐÐ ÓÒ×××ØØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ × ÔÖÓÔÖÖÖØØ× ³ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐÐ ÙÙÙÙ ×ÙÙÚÚÚ
Ò× ×ÓÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒغ Ù Ò× ÐÐ ÖÖ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ¸ ÐÐ
ÖÖÖÖÖÖÒØØØÐ ÓÔØØ ×Ø Üܸ Ø Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÙÙÙÙ ×Ø ÖÖØ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø Ü
г³×ÔÔÔÔº ÄÄ ÔÔÖØØØÐÐÐ ´ÓÙ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ÐÓÓÓÐе
∂
∂t ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ò××
ÐÐ ÖÖÚ Ò× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÐ ØØ ÙÐÐÖÖÖÒÒÒ
ÚÙÙ ÔÔÖ ÙÒ ÓÓ××ÖÚØØÙÖ Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø Ü º
Ú ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×
ÐÐÐÖÖÒÒÒÒÒÒÒ Ø ÙÐÐÖÖÖÒÒÒº ÄÄ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ÚÖÖÖ Ò ÓÒÒ¹
ØØÓÒ Ù ØØÑÔ׸ ÑÑÑ× Ò ÑÑÑÑ ØØÑÔ׸ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ×Ø ØÖÖÒ×ÔÓÖØØ ÔÔÖ ÐÐ
ÓØ ÝÝÖÓÓÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ г³ÑÑÑÑ ³ÙÒÒ ÔÓÙ××××ÖÖ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ Ð³³³Ùº
ظ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T ( r, t) ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ Ò ÙÒ ØØÑÔ× t
T ( r + vδt, t + δt) Ò ÙÒ t + δt¸ Ö¸ ÔÔÒÒÒÒØ ÐÐ ÐÐÔ× ØØÑÔ× δt¸ Ð Ô Ó Ò Ø
ÙÙÙÙ Ò ÕÙÙ×ØØÓÒ ×³³×Ø ÔÐÐÐÐ vδtº Ä Ú ÖÖÖØØÓÒ ØÓØØÐÐ ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ T
ÐÐ ÐÐÑÑØØ δt → 0 ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ dT /dt = [T ( r + vδt, t + δt) − T ( r, t)]/δt =
∂T /∂t + v.
∇T º ÄÄ ØØÖÑÑ v.
∇T ×Ø ÐÐ ØØÖÑÑ ÄÄ ÒÓÑÑÒÒØØÓÒ
ÖÖÚ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ ×Ø ××ÙÙ Ù Ø ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ ×Ø ×ÙÙÚÚÚ
Ù ÓÙÖ× ×ÓÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒظ г³ÑÑÑÑ Ù ×ÙÙÚÚ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ³ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÑÑØØÖÖÖÐ Ò ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ Ù ÔÓÓÒغ ÄÄ ÚÚØØ××× v ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ¿½ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
∂∂ v
∂t
+ v.
∇ v = ν∇
2 v −
1
ρ
∇p + g ,
´´ºººµ
ÓÓ ν = η/ρ ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÒÒÑÑØØÕÙÙ¸ η ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ρ ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒص p ÐÐ Ò××ØØ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ ÐÐ ÔÖÖ×××ÓÒµ Ù ÙÙÙÙ Ø g ÐÐ
ÖÖÚÚØغ
ÄÄ ØØÖÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓ× ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÖÖØ Ð³³³³³ÐÐÖÖØØÓÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÙÙÙ Ð ÔÔÙØ ×³³ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³³³
ÐÐ ÑÑØØÖÖÖÐÐÐ dd v/dtº Ì ÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑ ÖÓÓØØ ×Ø Ð ÐÐ ×ÓÑÑÑ
× ÓÖÖÖ× ÔÔÖ ÙÒÒØØ ÚÓÐÙÑÑ ×ÙÖ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ¸ Ð ×Ø ×
ÓÖÖÖ× ÔÖÖ×××ÓÒ ´−∇pµ¸ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÖÖ××ÒØØ× ÑÑÑÑ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ׸ ×
ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒ ¿¾ ×Ù×××ØØØ× ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÚÚØØ××× ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ
(∇
2 v) Ø ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÖÚÚØØØØÓÒÒÒÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ÚÓÐÙÑÑ gº ÄÄ× ÙÜ
ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ººº ÔÓ××ÒØ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
Ø Ø Ð Ø Ö Ñ Ó Ó Ò ÚÚÚØØÓÒº
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÐÐ Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÙÖÖÑÑÒØ
×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´ÖÖÖÖÑÑ Ù××ÓÒ¸ Ø Ù××× ÖÖÖÖÑÑ ÓÒÒÙÙØØص ÔÔÙØ ¹
ÚÚÒÒÖ Ò×ØØØÐк ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ××× ´´µ ÔÔÖ ÙÒ ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ×
´´ººº
∂∂ v
∂t Ø v = 0µ Ø ´´´µ ÔÔÖ ÙÒ ÔÖÓÓÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ººº
∂T
∂t = 0µº
ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ× ÐÐ ÓÑÑÑÒÒ ÙÙÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµ ×ÓÒØ
¿½ ÆÓÙ× ÚÓÒ× ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ º½º¾ Ù º
¿¾ ÌÓÙØ ÑÓÙÚ ÚÚØØ××× ÒÒÓÑÓÓÓÒÒ ÑÔÐÐÕÙÙ × ÑÓÙÚÑÑÒØ× ÖÖÐÐØØØ× × ÓÙÙÙÙ×
ÙÙÙÙ× ÐÐ× ÙÒÒ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÜÙØÖÖ× Ð Ò ÖÖ×ÙÐØØ Ò×× × ÓÖÖÖ× ÖÖÖØØÓÒº