¾¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÖÖÐÐØØÚÚ v ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ׸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ ÚÚ×ÕÙÙÙ×× F S ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ÐÓÓ ÐÐ×××ÕÙÙ ØØ ËØÓÓÓ× ¾
F S = 6πRηv ,
´´ºººµ
ÓÓ η ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÙÙÙÙº ÈÓÙÖ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ Ù ×××Ò ³ÙÒ
ÑÑÑÑ ÙÙÙÙ¸ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ ÕÙ³³Ð ×ÙÙÙØ ×Ø ÙÒ ÔÔÙ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÕÙÙ
ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÑÑØØÖÓÒ× ÕÙ³³Ð ÖÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ¾¾ ÚÚ×¹¹¹
ÚÚ× × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ R¸ ηººº Ø ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ Ò× ÒÓØÖÖ
ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ F S ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ
ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ÖÖ×××ÒØØØ ÔÔÖ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙº
ÄÄ ÐÐÒÒÒÒÑÑÒØ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ×³³ÑÓÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÑÑÑÑ
г³ÑÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÓÖÖÖ ËØÓÓÓ׸ ×ÓÓØ F A > F S Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ×
ÓÓØØÒÙÙ× ¹¹¹××Ù× ÔÓÙÖ × ÙÜ ÓÖÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ÙÙÚÒØ Ø
Λ
R
4 αρ 0 gΔT
ηκd
≥ 1
´´ºº¼µ
ÓÓ Λ ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ Ð ×Ø Ð 2/9 Ò ÓÔØØÒØ ØÓ ÐÐ× Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ× × ÙÜ ÓÖÖÖ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ ÑÑÑ×
ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ÕÙÙ × ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ׺
ÆÓØØÑÑÑÒظ ÐÐ ØØÙÖ 6π ÒØØÖÚ Ò× ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ Ò³³×Ø ÚÚÐÐÐÐÐ
ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÖÔ× ×ÔÔÔÖÖÕÙÙ ÖÖÖÖÖÖ¸ Ð ×Ø Ò× ÐÐ × ÙÙÙÙº ظ ÔÔÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÙÙ×ØØØÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ× δt ÒØØÖÚÚÒÒÒØ Ò× ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÖÖÑÑÑѸ
ÔÔÖ ÐÐ ØØÑÔ× Ù××ÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ¸ ×Ø ÐÐ ÒÒÓÖÖ ÙÒÒ Ò×׸
ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ Λ ×Ø ÔÖÖÓÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ Ð³ÙÒÒØØ ÓÙ ³ÙÒÒ ¸
ÓÙ ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ´×× ÒÓØÖÖ ×Ø Ò××µ¸ ÑÑÑ× ×× ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ
ÜÜÜØØ ÒÒÒÒ×××ØØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÔÖÖÖÖ׸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÚÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÑÑÑÑ F A ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ×ÓÒ ÒØØÒ××ØØ ÖÓÓØ ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙº ×ÓÒØ Ø Ó Ò
× ÙÙÙÙ ÖÖÒÒÒ ØØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×× Ò ÑÓÙÚÚÑÑÒØ
Ù ÙÙÙÙ ´´ººº ÑÓÙÚÑÑÒØ Ø Ó Ò ÚÚÚØØصº Ò× ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÐÐ
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ØØØÐÐÐ ÔÓ××××ÐÐ Ù ÖÖÝÓÒ R ÒÓØÖÖ ÙÙÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
R = d/2¸ ÓÓ ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹Ðи d ×Ø Ð³³ÔÔÔ×××ÙÖ ÐÐ ÙÙÙÙ ÓÓÒÒÒÒ ÒØÖÖ
ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ׺ Ò ÔÓ××ÒØ R = d/2 Ò× ÐÐ ÖÖØØÖÖ Ù ÐÐÒÒÑÑÒØ
ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¼µ¸ ÒÓÙ× ÖÖÖÚÓÒ× Ù ÖÖØØÖÖ Ð³³ÔÔÔÖÖØØÓÒ ÐÐ
ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ
αΔT gd
3
νκ
>
16
Λ
,
´´ºº½µ
¾ Ù ÒÓÑ Ù ÑÑÑÑ ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖØØÒÒÒÕÙÙ ´½½½½¹½½¼¿µ ËËÖ ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ËØÓÓ׸ гÓÖÖÖÖÒÒ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ØØØ ÐÓÓ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÙÐ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿½½µº
¾¾ г³³³³ ³ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐи Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖ×××ØØÒÒÒ
ÚÚ×ÕÙÙÙ×× ×ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ× ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ØØØÐÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ R ´´ÚÐÙÙÙ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÙÙÙÕÙÙ Ù ÚÓÐÙÑÑ Ù ÓÖÔ×µ ×Ø ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ Rηv¸ ÐÐ ××ÙÐÐ ÒÒÓÒÒÙÙ
ØØÒØ Ð Ò Ó Ñ ÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ ÕÙÙ ×× ØÖÓÙÚÚ Ò ÔÖÖÖÖÖØØÙÖº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÖÖÐÐØØÚÚ v ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÙÙÙÙ Ù ÖÖÔÓ׸ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ ÚÚ×ÕÙÙÙ×× F S ×Ø
ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ÐÓÓ ÐÐ×××ÕÙÙ ØØ ËØÓÓÓ× ¾
F S = 6πRηv ,
´´ºººµ
ÓÓ η ×Ø ÐÐ ÚÚ××Ó××ØØ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÙÙÙÙº ÈÓÙÖ ÙÒ ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙ Ù ×××Ò ³ÙÒ
ÑÑÑÑ ÙÙÙÙ¸ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ ÕÙ³³Ð ×ÙÙÙØ ×Ø ÙÒ ÔÔÙ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÕÙÙ
ÑÑÑ× ÒÓÙ× ÑÑØØÖÓÒ× ÕÙ³³Ð ÖÖÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ ¾¾ ÚÚ×¹¹¹
ÚÚ× × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÔÝ××ÕÙÙ R¸ ηººº Ø ÒÓÙ× ÓÒ××××ÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ Ò× ÒÓØÖÖ
ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ F S ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ
ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ÖÖ×××ÒØØØ ÔÔÖ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙº
ÄÄ ÐÐÒÒÒÒÑÑÒØ ÐÐ ÓÒÚÚÚØØÓÒ ×³³ÑÓÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÑÑÑÑ
г³ÑÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÓÖÖÖ ËØÓÓÓ׸ ×ÓÓØ F A > F S Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ÐÐ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ×
ÓÓØØÒÙÙ× ¹¹¹××Ù× ÔÓÙÖ × ÙÜ ÓÖÖÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ÐÐ ÖÖØØÖÖ ×ÙÙÚÒØ Ø
Λ
R
4 αρ 0 gΔT
ηκd
≥ 1
´´ºº¼µ
ÓÓ Λ ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ Ð ×Ø Ð 2/9 Ò ÓÔØØÒØ ØÓ ÐÐ× Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ× × ÙÜ ÓÖÖÖ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººº Ø ºººµ ÑÑÑ×
ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹ÒÓÙ× ÕÙÙ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÒÒ ×ÓÒØ ÕÙÙ × ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ׺
ÆÓØØÑÑÑÒظ ÐÐ ØØÙÖ 6π ÒØØÖÚ Ò× ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖÖØØÓÒ Ò³³×Ø ÚÚÐÐÐÐÐ
ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÖÔ× ×ÔÔÔÖÖÕÙÙ ÖÖÖÖÖÖ¸ Ð ×Ø Ò× ÐÐ × ÙÙÙÙº ظ ÔÔÖ
ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ×ÙÙ×ØØØÙØØÓÒ Ù ØØÑÔ× δt ÒØØÖÚÚÒÒÒØ Ò× ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÖÖÑÑÑѸ
ÔÔÖ ÐÐ ØØÑÔ× Ù××ÓÒ ØØØÖÑÑÕÙÙ¸ ×Ø ÐÐ ÒÒÓÖÖ ÙÒÒ Ò×׸
ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ Λ ×Ø ÔÖÖÓÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ Ð³ÙÒÒØØ ÓÙ ³ÙÒÒ ¸
ÓÙ ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ´×× ÒÓØÖÖ ×Ø Ò××µ¸ ÑÑÑ× ×× ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ
ÜÜÜØØ ÒÒÒÒ×××ØØ ÙÒ ÐÐÙÐ ÔÖÖÖÖ׸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÚÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØغ
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ ³³ÖÖÑÑÑÑ F A ´´ÕÙÙØØÓÒ ºººµ
ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ×ÓÒ ÒØØÒ××ØØ ÖÓÓØ ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ð³³ÐÐÑÑÒØ ÙÙÙÙº ×ÓÒØ Ø Ó Ò
× ÙÙÙÙ ÖÖÒÒÒ ØØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ×× Ò ÑÓÙÚÚÑÑÒØ
Ù ÙÙÙÙ ´´ººº ÑÓÙÚÑÑÒØ Ø Ó Ò ÚÚÚØØصº Ò× ÐÐ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ÐÐ
ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ØØØÐÐÐ ÔÓ××××ÐÐ Ù ÖÖÝÓÒ R ÒÓØÖÖ ÙÙÙÙ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
R = d/2¸ ÓÓ ÖÖÔÔÔÐÓÒ×¹Ðи d ×Ø Ð³³ÔÔÔ×××ÙÖ ÐÐ ÙÙÙÙ ÓÓÒÒÒÒ ÒØÖÖ
ÐÐ× ÙÜ ÔÐÐÕÙÙ׺ Ò ÔÓ××ÒØ R = d/2 Ò× ÐÐ ÖÖØØÖÖ Ù ÐÐÒÒÑÑÒØ
ÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¼µ¸ ÒÓÙ× ÖÖÖÚÓÒ× Ù ÖÖØØÖÖ Ð³³ÔÔÔÖÖØØÓÒ ÐÐ
ÓÒÚÚÚØØÓÒ ÊÊÝÐÐÐÐй¹¹ÒÒÖÖ¸ ×ÓÓØ
αΔT gd
3
νκ
>
16
Λ
,
´´ºº½µ
¾ Ù ÒÓÑ Ù ÑÑÑÑ ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖØØÒÒÒÕÙÙ ´½½½½¹½½¼¿µ ËËÖ ÐÐÙÙÙ¹ÄÓÙÙ× ËØÓÓ׸ гÓÖÖÖÖÒÒ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÆÆÚÚÚÖ¹ËØÓÓÓ× ×ÕÙÙÐÐÐ× ×Ø ØØØ ÐÓÓ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÙÐ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¿½½µº
¾¾ г³³³³ ³ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐи Ð ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÓÖÖÖ ÖÖ×××ØØÒÒÒ
ÚÚ×ÕÙÙÙ×× ×ÙÖ ÙÒ ÓÖÔ× ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ØØØÐÐÐ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ R ´´ÚÐÙÙÙ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÙÙÙÕÙÙ Ù ÚÓÐÙÑÑ Ù ÓÖÔ×µ ×Ø ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ Rηv¸ ÐÐ ××ÙÐÐ ÒÒÓÒÒÙÙ
ØØÒØ Ð Ò Ó Ñ ÖÖ ××Ò× ÑÑÒ××ÓÒ ÕÙÙ ×× ØÖÓÙÚÚ Ò ÔÖÖÖÖÖØØÙÖº