¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ÐÐ× × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ
ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ× u Ø v × ÖÖÖÖØØØ׸ ×ÓÓØ
f u =
3a
2
− 125
25 + a 2 , f v = −
20a
25 + a 2 ,
g u =
2ba
2
25 + a 2 , g v = −
5ba
25 + a 2 ,
´´º¿¿µ
ÔÓÙÖ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐÐ×¹¹¹ ÔÙÙ×××ÒØ ÖÖÔÓÒÒÖÖ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ×
ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µº Ò ÓÙØÖÖ¸ г³ÒÒÐÝ×× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÚÐÓÔÔÔ¹
ÑÑÒØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙ Ö Ò Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ÒÓÙ× ÚØ ÔÔÖÑÑ×
³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ÖÖØØÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÒÒÒÒÐÐØØ
ÓÒ×ØØØÙÙÙ ³ÙÒÒ × × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ Ø × Ó¹
ÒØ× Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ Ò× ÐÐ ÖÖ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÄÒÒÝй¹Ô×ØØØÒ¸ ØØØ ÒÒÒÒÐÐØØ ×Ø ××ØØ××××ØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
b ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c ØØÐÐÐ ÕÙÙ
b < b c ≡
D v
5D u a
(125 + 13a
2
− 4a
10(25 + a 2 )) .
´´º¿¿µ
ÁÐ ×Ø Ò Ø Ù×ÙÙÐ ³³³³Ö ×ÙÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÐÙØØØ ÕÙÙ ×ÙÖ ÐÐ×
Ù××ÓÒ¸ ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÚÚÚÒØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐÑÑÒØ Ù ÑÑÑÑ Ò Ø¸
ÓÑÑÑ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×Ø ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ Ù ÖÖÔÔÓÖØ × Ó¹
Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ¸ ÜÜÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ b c ÖÖÚÚÚÒØ ÓÒØÖÖÖÒÒÖÖ
D v /D u º
ü ÔÔÖØØÖ ×ÓÒ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ ½¿
Ù ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
ω = (b − b c )
∂ω 1
∂b
b=bc,q=qc
+
(q − q c )
2
2
∂
2 ω 1
∂q 2
b=bc,q=qc
.
´´º¿¿µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ¹¹¹××Ù× ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
º½½ ³³×Ø ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÖÖÐ ÕÙÙ ÒÒ ÔÔ× Ù ØØØÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙº
ºº ÉÙÙÐÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÙÖÓÓØØÒÒÖ
ÙÒ ÒÒÒÒÒØØÙÖ ÕÙÙ Ù×× ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ
ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³³ØØÚØØÙÖ
ÁÐ ×Ø ×××ÒÒÐÐÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÖÖÖÖØØØ× ÑÑ× Ò Ù Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ×
ÌÙÖÖÒÒ ×ÓÒØ × ÑÓÐÐÐÙÐÐ× ØØØÐÐÐ ÓÑÔÔÖÖÖÐк ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐÙÖ× ÓÓÓÓÓÓÒØ×
Ù××ÓÒ ×ÓÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø ÒÒ Ù ÔÐÙ× ÕÙÙ ³ÙÒ ØØÙÖ ¾ ÓÙ ¿¸ Ø ØÖÖ×
ÖÖÖÖÑÑÒظ ÚÓÓÖÖ ÑÑÑ× ³ÙÒ ØØÙÖ ¸ ÓÙ ÔÐÙ׸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÒÓØØÑÑÑÒØ
ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ Ù ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐк ºº ÙØ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ð³ÓÓ×ØØØÐÐ ÑÑÑÑÙÖ
½¿ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× × Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ÐÐ× × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÜ
ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ× u Ø v × ÖÖÖÖØØØ׸ ×ÓÓØ
f u =
3a
2
− 125
25 + a 2 , f v = −
20a
25 + a 2 ,
g u =
2ba
2
25 + a 2 , g v = −
5ba
25 + a 2 ,
´´º¿¿µ
ÔÓÙÖ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ú ÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐÐ×¹¹¹ ÔÙÙ×××ÒØ ÖÖÔÓÒÒÖÖ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ×
ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µº Ò ÓÙØÖÖ¸ г³ÒÒÐÝ×× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÚÐÓÔÔÔ¹
ÑÑÒØ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙ Ö Ò Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ÒÓÙ× ÚØ ÔÔÖÑÑ×
³³ØØØÐÐÖ ÐÐ ÖÖØØÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ÒÒÒÒÐÐØØ
ÓÒ×ØØØÙÙÙ ³ÙÒÒ × × ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ Ø × Ó¹
ÒØ× Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ Ò× ÐÐ ÖÖ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ Ù ÑÓÓÓÐÐ
ÄÄÒÒÝй¹Ô×ØØØÒ¸ ØØØ ÒÒÒÒÐÐØØ ×Ø ××ØØ××××ØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ
b ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c ØØÐÐÐ ÕÙÙ
b < b c ≡
D v
5D u a
(125 + 13a
2
− 4a
10(25 + a 2 )) .
´´º¿¿µ
ÁÐ ×Ø Ò Ø Ù×ÙÙÐ ³³³³Ö ×ÙÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÔÐÙØØØ ÕÙÙ ×ÙÖ ÐÐ×
Ù××ÓÒ¸ ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÚÚÚÒØ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐÑÑÒØ Ù ÑÑÑÑ Ò Ø¸
ÓÑÑÑ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×Ø ÔÖÓÔÓÖØØÓÒÒÒÐÐÐ Ù ÖÖÔÔÓÖØ × Ó¹
Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ¸ ÜÜÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ b c ÖÖÚÚÚÒØ ÓÒØÖÖÖÒÒÖÖ
D v /D u º
ü ÔÔÖØØÖ ×ÓÒ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÔÔÖ××ÓÒ ½¿
Ù ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
ω = (b − b c )
∂ω 1
∂b
b=bc,q=qc
+
(q − q c )
2
2
∂
2 ω 1
∂q 2
b=bc,q=qc
.
´´º¿¿µ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÓÓØØÒÙÙ ¹¹¹××Ù× ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÖÑÑ ÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
º½½ ³³×Ø ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÖÖÐ ÕÙÙ ÒÒ ÔÔ× Ù ØØØÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØÙÙÙÙº
ºº ÉÙÙÐÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÙÖÓÓØØÒÒÖ
ÙÒ ÒÒÒÒÒØØÙÖ ÕÙÙ Ù×× ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ
ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³³ØØÚØØÙÖ
ÁÐ ×Ø ×××ÒÒÐÐÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÖÖÖÖØØØ× ÑÑ× Ò Ù Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ×
ÌÙÖÖÒÒ ×ÓÒØ × ÑÓÐÐÐÙÐÐ× ØØØÐÐÐ ÓÑÔÔÖÖÖÐк ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐÙÖ× ÓÓÓÓÓÓÒØ×
Ù××ÓÒ ×ÓÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø ÒÒ Ù ÔÐÙ× ÕÙÙ ³ÙÒ ØØÙÖ ¾ ÓÙ ¿¸ Ø ØÖÖ×
ÖÖÖÖÑÑÒظ ÚÓÓÖÖ ÑÑÑ× ³ÙÒ ØØÙÖ ¸ ÓÙ ÔÐÙ׸ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÒÓØØÑÑÑÒØ
ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ Ù ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐк ºº ÙØ ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ Ð³ÓÓ×ØØØÐÐ ÑÑÑÑÙÖ
½¿ Ú Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× × Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒº