º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾¾¾
Ò ØØÖÑÑÒÒÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù Ù××ÓÒ ½¾ D v г³ÒÒÒÒÒ¹
ØØÙÖ v¸ ×ÓÓØ D v = d > 3 + 2
√
2 6º Ò×׸ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ËËËÒÒÒÒÒÒ Ð
×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙ٠г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× Ù ÑÓÓÒ× ÓÓ× ÔÐÙ× ÕÙ٠г³³ØØÚØØÙÖ ÔÓÙÖ
ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒº
ººº¾ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ØØ ÔÖÓÔÓ×× Ò ½½½½ ÔÓÙÖ
ÖÖÖØØÖÖ××Ö ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ³ÙÒÒ ÜÔÔÖÖÑÑÒØØØØÓÒ ÑÑÒÒÒ Ò ½½½¼ Ø ÑÓÒØÖÖÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÌÙÖÖÒÒ¸ ÙÒÒ ÕÙÙÖÖÒØØØÒÒ ³³ÒÒÒÒ× ÓÒÒ¸
ÔÖÖ× ÐÐ× ØÖÖÚÚÙÜ ÖÖÖÐÐ××× ÔÔÖ ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒº ÓÒÒÒ ×ÙÖ × ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÓÙÔÐÐ×
ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ¸ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ÔÖÓÔÓ×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØ ÔÓÙÖ ÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×
u t = a − u − 4
uv
1 + u 2 + D u ∇
2 u ,
v t = b(u −
uv
1 + u 2 ) + D v ∇
2 u ,
´´º¿½µ
ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× Ò×׸ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿½µ¸ г³Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ Ú ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ×
ÖÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÚ
f (u, v) = a − u − 4
uv
1 + u 2 ,
g(u, v) = b(u −
uv
1 + u 2 ) ,
´´º¿¾µ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³ÙÒÒ ÔÔÖظ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
Ø ÓÑÓÓÓÒÒ (u 0 , v 0 ) Ù ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ¸ ÓÓØØÒÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ×
ÖÖÖÖØØÓÒ Ò × ÔÓÓÒØ× ×³³ÒÒÙÐÐÒØ ´ º º f (u 0 , v 0 ) = 0 Ø g(u 0 , v 0 ) = 0µ¸ ×ÓÓØ
u 0 =
a
5
, v 0 = 1 +
a
2
25
´´º¿¿µ
½¾ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ º¾¾ ÓÓÓÓØ f (u, v) = g(u, v) = 0¸ ÕÙÙ
ÓÒÒÙÙØ u 0 = a + b Ø v 0 = b/(a + b) 2 º ÄÄ× f Ø g Ò ÔÓÓÒØ × Ó Ò Ø ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
fu = γ(b − a)/(b + a) Ø gu = −2γb/(b + a)º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ºº ÑÔÓ×× fu + gv =
b − a − (a + b) 3 < 0¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×Ø ××ØØ××××ØØ Ò ÚÖØÙ Ù Ø
ÕÙÙ fugv − fvgu = γ 2 (a + b) 2 > 0º Ä Ó Ò Ø Ó Ò ÌÙÖÖÒÒ º½½ ½ÑÔÓ×× d(b − a) − (a +
b) 3 > 0º Ò ÐÐ ÑÑÑÑÖÖ ÙÙ ÚÚÚ ÐÙ٠г³ÒÒÒÒÐÐØØ ÔÖÖ××ÒØØØ ¹¹¹××Ù×
´−b + a + (a + b) 3 > 0µ ÓÒ ÓÓØØØÒØ (d − 1)(b − a) > 0º º Ó Ñ Ô Ø Ø Ò Ù ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ b − a > 0
´ÔÖÓÚÚÒÒÒØ Ø fu > 0 ÖÖ×ÙÐØØÒØ Ø Ù Ù Ø Õ Ù u ×Ø ÚÓÓÖ º½½µ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ d > 1
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ÓÓØ Ù××Ö ÔÐÙ× ÚÚØØ ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØغ ÍÒÒ
ØØÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÑÑÑ× ÔÔ× ×ÙÙ××ÒØغ ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÕÙÙÙÖØ Ò ÓÙØÖÖ ´ÚÓÓÖ º½½µ
[d(b − a) − (a + b) 3 ] 2 > 4d(a + b) 4 ´ÓÓØØÒÙ º½½ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÑÒÒÔÙÐÐØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ×
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÖÖÖÖÖÖظ ÔÖÖ× ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÖÖÖÖ × ÙÜ ÑÑÑÖÖ×
ÔÔÖØ Ø ³³ÙØÖÖ Ù ×××ÒÒ ÒÒÒÒи αξ 2 − 2ξβ 2 − β 3 > 0¸ Ó α = b − a; β = a + b; ξ =
√
dº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÖÖÐÐØØÓÒ× ØØØÐÐÐ× ¹¹¹××Ù׸ ÓÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÐÐÙÖ d
ÒÒÒÒ××××ÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ d ≡ Dv = 3 + 2
√ 2 6º
¾¾¾
Ò ØØÖÑÑÒÒÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ÑÑÒÒÑÑÐÐ Ù Ù××ÓÒ ½¾ D v г³ÒÒÒÒÒ¹
ØØÙÖ v¸ ×ÓÓØ D v = d > 3 + 2
√
2 6º Ò×׸ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ËËËÒÒÒÒÒÒ Ð
×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÕÙ٠г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× Ù ÑÓÓÒ× ÓÓ× ÔÐÙ× ÕÙ٠г³³ØØÚØØÙÖ ÔÓÙÖ
ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒº
ººº¾ ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ØØ ÔÖÓÔÓ×× Ò ½½½½ ÔÓÙÖ
ÖÖÖØØÖÖ××Ö ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ³ÙÒÒ ÜÔÔÖÖÑÑÒØØØØÓÒ ÑÑÒÒÒ Ò ½½½¼ Ø ÑÓÒØÖÖÒØ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÓ× × ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÌÙÖÖÒÒ¸ ÙÒÒ ÕÙÙÖÖÒØØØÒÒ ³³ÒÒÒÒ× ÓÒÒ¸
ÔÖÖ× ÐÐ× ØÖÖÚÚÙÜ ÖÖÖÐÐ××× ÔÔÖ ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒº ÓÒÒÒ ×ÙÖ × ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÓÙÔÐÐ×
ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ¸ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÄÄÒÒÝÝй¹Ô×ØØØÒ ÔÖÓÔÓ×× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØ ÔÓÙÖ ÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ×
u t = a − u − 4
uv
1 + u 2 + D u ∇
2 u ,
v t = b(u −
uv
1 + u 2 ) + D v ∇
2 u ,
´´º¿½µ
ÓÓ a Ø b ×ÓÒØ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк
ÆÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× Ò×׸ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿½µ¸ г³Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÐÐ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ Ú ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ×
ÖÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÚ
f (u, v) = a − u − 4
uv
1 + u 2 ,
g(u, v) = b(u −
uv
1 + u 2 ) ,
´´º¿¾µ
ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³ÙÒÒ ÔÔÖظ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
Ø ÓÑÓÓÓÒÒ (u 0 , v 0 ) Ù ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ¸ ÓÓØØÒÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ×
ÖÖÖÖØØÓÒ Ò × ÔÓÓÒØ× ×³³ÒÒÙÐÐÒØ ´ º º f (u 0 , v 0 ) = 0 Ø g(u 0 , v 0 ) = 0µ¸ ×ÓÓØ
u 0 =
a
5
, v 0 = 1 +
a
2
25
´´º¿¿µ
½¾ ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ º¾¾ ÓÓÓÓØ f (u, v) = g(u, v) = 0¸ ÕÙÙ
ÓÒÒÙÙØ u 0 = a + b Ø v 0 = b/(a + b) 2 º ÄÄ× f Ø g Ò ÔÓÓÒØ × Ó Ò Ø ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
fu = γ(b − a)/(b + a) Ø gu = −2γb/(b + a)º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ºº ÑÔÓ×× fu + gv =
b − a − (a + b) 3 < 0¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×Ø ××ØØ××××ØØ Ò ÚÖØÙ Ù Ø
ÕÙÙ fugv − fvgu = γ 2 (a + b) 2 > 0º Ä Ó Ò Ø Ó Ò ÌÙÖÖÒÒ º½½ ½ÑÔÓ×× d(b − a) − (a +
b) 3 > 0º Ò ÐÐ ÑÑÑÑÖÖ ÙÙ ÚÚÚ ÐÙ٠г³ÒÒÒÒÐÐØØ ÔÖÖ××ÒØØØ ¹¹¹××Ù×
´−b + a + (a + b) 3 > 0µ ÓÒ ÓÓØØØÒØ (d − 1)(b − a) > 0º º Ó Ñ Ô Ø Ø Ò Ù ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ b − a > 0
´ÔÖÓÚÚÒÒÒØ Ø fu > 0 ÖÖ×ÙÐØØÒØ Ø Ù Ù Ø Õ Ù u ×Ø ÚÓÓÖ º½½µ¸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ d > 1
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ÓÓØ Ù××Ö ÔÐÙ× ÚÚØØ ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØغ ÍÒÒ
ØØÐÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÑÑÑ× ÔÔ× ×ÙÙ××ÒØغ ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÖÖÕÙÙÙÖØ Ò ÓÙØÖÖ ´ÚÓÓÖ º½½µ
[d(b − a) − (a + b) 3 ] 2 > 4d(a + b) 4 ´ÓÓØØÒÙ º½½ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÑÒÒÔÙÐÐØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ×
ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÖÖÖÖÖÖظ ÔÖÖ× ÔÖÖ× ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÖÖÖÖ × ÙÜ ÑÑÑÖÖ×
ÔÔÖØ Ø ³³ÙØÖÖ Ù ×××ÒÒ ÒÒÒÒи αξ 2 − 2ξβ 2 − β 3 > 0¸ Ó α = b − a; β = a + b; ξ =
√
dº
ÓÑÔØØ ØØÒÙ × ÖÖÐÐØØÓÒ× ØØØÐÐÐ× ¹¹¹××Ù׸ ÓÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÐÐÙÖ d
ÒÒÒÒ××××ÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ d ≡ Dv = 3 + 2
√ 2 6º