¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ P = 0 Ø ∂P/∂q| q=qc = 0º Ò ÙØØй
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ØØÙÖ P ÓÒÒÒÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ׸ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÑÒÒÔÙÐÐØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØØ×
(D v f u + D u g v )
2
− 4D u D v (f u g v − f v g u ) = 0
´´º½¼µ
Ø
q
2
c =
D v f u + D u g v
2D u D v
.
´´º½½µ
ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ Ù××ÓÒ D u Ø D v ×ÓÒØ ÔÓ××ØØØ× ´´ººº D u > 0
Ø D v > 0µ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ Ù××ÓÒ
D v f u + D u g v > 0 .
´´º½¾µ
ÄÄ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ f Ø g ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººµ Ø ÐÐ×
Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º½¾µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ×
ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ× ØÓÙØØ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÑÑÕÙÙº
× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÔÔÙÚÒØ ×× ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ò ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒº Ò Ø¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ u ×××ÒÒ Ð³³³ØØÚ¹
ØØÙÖ¸ ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ u Ù ØØÖÑÑ ÐÐÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ u ÚÚÚ
ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ v ÓÓØ ØÖÖ ÔÓ××ØØÚÚ ´´ººº f u µ µ Ö ØØÖÑÑ ÓÓØ ÓÒØÖÖÖÙÙÖ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ uº ÈÖ ÜÜÑÔÐи Ò ÓÓ×××××ÒØ f ∼ u
2
Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖ¹
ÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÖÖÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ u ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
´∂ u /∂t ∼ +u
2
µº ÓÒØÖÖÖÖÓ¸ г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ v ×Ø ØØÐ ÕÙÙ g v < 0¸ Ö ØØÖÑÑ ÓÓØ
ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ uº
ÁÐ ×Ø ×× ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½¾µ ÒÒ
ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ××ØØ××××ØØ× ÕÙÙ ××
f u > 0, f v < 0, g u > 0, g v < 0
ÓÙ
´´º½¿µ
f u > 0, f v > 0, g u < 0, g v < 0 .
´´º½½µ
ÆÓØÓÒ× Ò ÕÙÙ f u > 0 Ú Ô Ö Ö Ú g v < 0º
Ò ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÒÒÒÒÐÐØØ × ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ÙÙ× Ð³³ÒÒÐÝ×× × ØØÖ¹
ÑÑ× ÖÖÖÖØØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ÙÙ× Ð³³ÒÒÐÝ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ¸ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ
ÌÙÖÖÒÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
D v
D u
> r > 1, r ≡ −
g v
f u
> 1 .
´´º½½µ
ØØØ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÕÙ٠г³³ØØÚØØÙÖ¸ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ r ÓÓ×
ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ Ú r > 1¸ г³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒ
ÓÖÖÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ P = 0 Ø ∂P/∂q| q=qc = 0º Ò ÙØØй
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ù ØØÙÖ P ÓÒÒÒÒ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ºº¸ ÒÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ׸ ÔÖÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ÑÑÒÒÔÙÐÐØØÓÒ× ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ× ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ×
×ÙÙÚÒØØ×
(D v f u + D u g v )
2
− 4D u D v (f u g v − f v g u ) = 0
´´º½¼µ
Ø
q
2
c =
D v f u + D u g v
2D u D v
.
´´º½½µ
ÓÑÑÑ ÐÐ× ÙÜ Ù××ÓÒ D u Ø D v ×ÓÒØ ÔÓ××ØØØ× ´´ººº D u > 0
Ø D v > 0µ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ¹¹¹××Ù× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ Ù××ÓÒ
D v f u + D u g v > 0 .
´´º½¾µ
ÄÄ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÔÓÖØØÒØ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒØØÓÒ× ÖÖÖÖØØÓÒ f Ø g ´´ÕÙÙØØÓÒ× ººµ Ø ÐÐ×
Ù××ÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ× º½¾µ ÖÖÔÖÖ××ÒØØÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒÖÖÐÐ×
ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ× ØÓÙØØ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÑÑÕÙÙº
× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÔÔÙÚÒØ ×× ××ÑÔÐÐÐÐÖ Ò ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ
ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒº Ò Ø¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ u ×××ÒÒ Ð³³³ØØÚ¹
ØØÙÖ¸ ÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ u Ù ØØÖÑÑ ÐÐÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ u ÚÚÚ
ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ v ÓÓØ ØÖÖ ÔÓ××ØØÚÚ ´´ººº f u µ µ Ö ØØÖÑÑ ÓÓØ ÓÒØÖÖÖÙÙÖ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ uº ÈÖ ÜÜÑÔÐи Ò ÓÓ×××××ÒØ f ∼ u
2
Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖ¹
ÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µ¸ ÖÖÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ u ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
´∂ u /∂t ∼ +u
2
µº ÓÒØÖÖÖÖÓ¸ г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ v ×Ø ØØÐ ÕÙÙ g v < 0¸ Ö ØØÖÑÑ ÓÓØ
ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ uº
ÁÐ ×Ø ×× ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÕÙÙØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ× ´´ÕÙÙØØÓÒ× ºº Ø º½¾µ ÒÒ
ÔÔÙÚÒØ ØÖÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ××ØØ××××ØØ× ÕÙÙ ××
f u > 0, f v < 0, g u > 0, g v < 0
ÓÙ
´´º½¿µ
f u > 0, f v > 0, g u < 0, g v < 0 .
´´º½½µ
ÆÓØÓÒ× Ò ÕÙÙ f u > 0 Ú Ô Ö Ö Ú g v < 0º
Ò ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÒÒÒÒÐÐØØ × ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ÙÙ× Ð³³ÒÒÐÝ×× × ØØÖ¹
ÑÑ× ÖÖÖÖØØØ× ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ÙÙ× Ð³³ÒÒÐÝ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¾µ¸ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ ³ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ
ÌÙÖÖÒÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
D v
D u
> r > 1, r ≡ −
g v
f u
> 1 .
´´º½½µ
ØØØ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ÐÓÖ×ÕÙÙ
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÕÙ٠г³³ØØÚØØÙÖ¸ ÔÐÙ× ÔÖÖÖÖ××ÑÑÒØ r ÓÓ×
ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ Ú r > 1¸ г³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒ
ÓÖÖÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ