º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾¾½
ω
μ>μc
q
μ=μc
μ<μc
qc
ω
μ>μc
q
μ=μc
μ<μc
qc
Δq
ÙÖÖ ºº ü ÖÖÐÐØØÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ××ØÙÙØØÓÒ×
´μ ×××ÒÒ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´µ Ò ××ÓÙ× Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ´μ < μcµ¸
´´´µ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´μ = μcµ¸ ¸Ø ´´´´µ Ù¹¹¹××Ù× Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´μ > μcµº ü ÖÓÓØØ
ÐÐ ÑÑÑÑ ÖÖÐÐØØÓÒ ØÖÖ× ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ ´´´´´ ÙÒ ÞÓÓÑ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØص ÓÓ ÐÐ ÖÖ×ØØ ×××ÒØØØÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ØÖÖÖ ÙØÓÙÖ Ù ÑÑÑÑ
qcº ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÒÒÒ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Δq × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ׺
ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×³³³ÖÖØ Ò×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÖÖÒØ×
ÑÓÓÓ× q¸ × Ó Ø Ø
u 1 =
q
a q e
iqx+ωt .
´´ººµ
ÇÖ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´q = q c µ¸ ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÒÙÐ ´ω = 0µ¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÙØÖÖ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ´´ººº q = q c µ¸ ÐÐ ØØÙÜ × Ò×Øع
ÐÐØØ× ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ µ × ÑÓÓÓ× ×³³ÑÓÖØØ×××ÒØ Ò×× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ø ÐÐ
××ÙÐ ÑÓÓÓ ×ÙÖÚÚÚÚÒØ ×Ø ÐÐ ÑÓÓÓ ÖÖØØÕÙÙ q = q c º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÖÖÖÖ ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø Ù ØÝÔÔ
u 1 = Ce
iqcx
+ c.c.
´´ººµ
ÓÓ c.c. ×××ÒÒÒÒ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ø C ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ q c ´´ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ×Ø ÒÒÒØØÖÑÑÒÒÒ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖµº
ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÖØØ Ò ÐÐÐ ÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ Ö ÑÓÓÓ
ÓÙÖÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐÑÑÒØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒº
ººº¾ ÓÒÒÒØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
ÎÓÝÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÓÙ× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÙØ ××
ÚÚÐÓÔÔÔÖ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÌÙÖÖÒÒº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ´q = q c µ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× ω 1 (q c ) = 0 Ø ∂ω 1 (q c )/∂q = 0 ×ÓÒØ ××ØØ××××ØØ׺ ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÐÐÐÐÐ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÙÜ ÓÒØÖÖÖÒØØ× ×ÙÖ ÐÐ ØØÙÖ P ¸ ¸ Ò ØÖÖÒØ Ò Ù Ò×
¾¾½
ω
μ>μc
q
μ=μc
μ<μc
qc
ω
μ>μc
q
μ=μc
μ<μc
qc
Δq
ÙÖÖ ºº ü ÖÖÐÐØØÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ××ØÙÙØØÓÒ×
´μ ×××ÒÒ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ´´µ Ò ××ÓÙ× Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ´μ < μcµ¸
´´´µ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´μ = μcµ¸ ¸Ø ´´´´µ Ù¹¹¹××Ù× Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´μ > μcµº ü ÖÓÓØØ
ÐÐ ÑÑÑÑ ÖÖÐÐØØÓÒ ØÖÖ× ÔÖÖ× Ù ××ÙÙÐ ´´´´´ ÙÒ ÞÓÓÑ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ
г³Ò×ØØØØÐÐØص ÓÓ ÐÐ ÖÖ×ØØ ×××ÒØØØÐÐÐÑÑÒØ Ø Ò ØÖÖÖ ÙØÓÙÖ Ù ÑÑÑÑ
qcº ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÒÒÒ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Δq × ÑÓÓÓ× Ò×ØØØÐÐ׺
ÒÒÖÖÐÐØظ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×³³³ÖÖØ Ò×× ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ × ÖÖÒØ×
ÑÓÓÓ× q¸ × Ó Ø Ø
u 1 =
q
a q e
iqx+ωt .
´´ººµ
ÇÖ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ´q = q c µ¸ ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÒÙÐ ´ω = 0µ¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÙØÖÖ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ´´ººº q = q c µ¸ ÐÐ ØØÙÜ × Ò×Øع
ÐÐØØ× ×Ø ÒÒÒÒØØØ ´ω < 0µ µ × ÑÓÓÓ× ×³³ÑÓÖØØ×××ÒØ Ò×× Ò× ÐÐ ØØÑÔ× Ø ÐÐ
××ÙÐ ÑÓÓÓ ×ÙÖÚÚÚÚÒØ ×Ø ÐÐ ÑÓÓÓ ÖÖØØÕÙÙ q = q c º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÖÖÖÖ ÕÙÙ
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø Ù ØÝÔÔ
u 1 = Ce
iqcx
+ c.c.
´´ººµ
ÓÓ c.c. ×××ÒÒÒÒ ÓÑÔÐÐÜÜ ÓÒÒÙÙÙÙ Ø C ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ q c ´´ÑÔÐÐØÙÙÙ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ ×Ø ÒÒÒØØÖÑÑÒÒÒ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖµº
ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÖØØ Ò ÐÐÐ ÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ Ö ÑÓÓÓ
ÓÙÖÖÖÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ÔÔØØØÐÐÑÑÒØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ
ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒº
ººº¾ ÓÒÒÒØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ ÒÒÒ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
ÎÓÝÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÓÙ× ÐÐ×ÕÙÙÐÐÐ× ÙÒÒ Ò×ØØØØÐÐØØ ÔÔÙØ ××
ÚÚÐÓÔÔÔÖ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÌÙÖÖÒÒº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ò× ÐÐ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ´q = q c µ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× ω 1 (q c ) = 0 Ø ∂ω 1 (q c )/∂q = 0 ×ÓÒØ ××ØØ××××ØØ׺ ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÐÐÐÐÐ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÙÜ ÓÒØÖÖÖÒØØ× ×ÙÖ ÐÐ ØØÙÖ P ¸ ¸ Ò ØÖÖÒØ Ò Ù Ò×