¾¾¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³ÓÒÒÒ¸ ººº q c = 2π/λµ ÓÓØ ØÖÖ ÒÓÒ ÒÙÐ ´´ººº q c = 0µ µ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸
ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø××ÓÓÓÓ ÙÒ ÒÓÑÖÖ ³ÓÒÒÒ ÒÙи ω(q = 0)µ¸ ÓÓØ
ØÖÖ ÒÒÒÒØØØ ´´ººº ω(q = 0) < 0µ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ØØØ
Ò×ØØØØÐÐØØ ØØ ÖÖÒØØÖ Ò×× ×ÓÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ Ò q = 0¸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ÒÓÙ× ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ× ÕÙÙ ×Ø ÐÐ × ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÚÐÐÙÖ×
ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚ ´´ººº Sω 1 + ω 2 < 0µ Ø ÐÐÙÖ ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓ××ØØØ ´´ººº
P = ω 1 ω 2 > 0µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ØØÙÖ× S Ø P Ø ÔÓÙÖ
q = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×
f u + g u < 0 , f u g v − f v g u > 0 .
´´ººµ
¿º ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ г³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑѸ ÓÒØ Ð
×Ø ××ÙÙÙØØØ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÖÖÖÖÖØ Ò ÑÔÐÐй
ÒØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ù ÐÐÐ٠г³ÑÓÖØØÖº ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ÒÒÒÒØØØ ÔÓ××ØØظ ظ ÐÓÖ×ÕÙÙ ω
׳³ÒÒÙÐк ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× Ò×× ÐÓÖ×ÕÙ٠гÙÒÒ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔ××× ÔÔÖ ÞÞÖÓ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÒ
×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÐÐ ÑÓÓÒ× ÒÒÒÒØØÚ ´´´ÐÐÐ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ
ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ ×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ω 1 ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÙØÖÖ ω 2 ¸ Ð
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ò e
iqx+ω2t
׳³ÑÓÖØØØ ÔÐÙ× ÚÚØغ ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ØØÙÜ ³³Ò¹
×ØØØØÐÐØØ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò ÒÒÖÖÐ ÐÓÖ×ÕÙ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐи ÒÓØØ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ μ¸ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ μ c ¸ ÕÙÙ ÒÒØ ÙÒ ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ
q = q c º
º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØØØÐÐØظ ××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ¸ ×Ø ××ع
××××ØØ ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω 1 Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÚÚÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ×Ø ØØÒÒÒÒØ Ø Ò q = q c ´ÔÓÙÖ μ = μ c µº Ò ××ÒØ Ù×ØØ ÙÒ ÞÓÓÑ
ω 1 (q) ÙØÓÙÖ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Ð³³ÐÐÙÖÖ
ÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ººº
ººº½ ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÒÓÒ ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ Ù ØØÙÜ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ω 1 (q c ) ׳³ÒÒÙÐи ÑÑÑ× ×³³ÒÒÙÐÐ ÐÐÑÑÒØ ×× ÖÖÚ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù
ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× ×ÓÒØ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ××ØØ××××ØØ× ´´µ ω 1 (q c = 0) Ø
´´´µ (∂ω 1 (q)/∂q) qc = 0º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÑÔÓ××
ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ
ÖÓÒØØØÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÐÐÑÑØØÒØ ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐÐ ÒÒØ ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ¸ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÓÙ ÙÒ
ÚÓÐÙÑѸ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔØÖÖ ÓÒ×××ÖÖ Ö ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸
µº
ÌÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÐÐÒÒÒÖÖ×× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
× Ø Ø Ð Ó Ö Ñ a q e
iqx+ωt
¸ Ó a q ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ q Ò ØÓÙØØ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
³ÓÒÒÒ¸ ººº q c = 2π/λµ ÓÓØ ØÖÖ ÒÓÒ ÒÙÐ ´´ººº q c = 0µ µ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸
ÐÐ ØØÙÜ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø××ÓÓÓÓ ÙÒ ÒÓÑÖÖ ³ÓÒÒÒ ÒÙи ω(q = 0)µ¸ ÓÓØ
ØÖÖ ÒÒÒÒØØØ ´´ººº ω(q = 0) < 0µ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÐÐ ØØØ
Ò×ØØØØÐÐØØ ØØ ÖÖÒØØÖ Ò×× ×ÓÒ ÑÓÖØØ×××ÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ Ò q = 0¸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒÒ ÒÓÙ× ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ× ÕÙÙ ×Ø ÐÐ × ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÚÐÐÙÖ×
ÔÖÓÔÖÖ× ×Ø ÒÒÒÒØØÚ ´´ººº Sω 1 + ω 2 < 0µ Ø ÐÐÙÖ ÔÖÓÓÙÙØ ÔÓ××ØØØ ´´ººº
P = ω 1 ω 2 > 0µº ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ × ØØÙÖ× S Ø P Ø ÔÓÙÖ
q = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÓÒÒ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ×
f u + g u < 0 , f u g v − f v g u > 0 .
´´ººµ
¿º ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ г³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ Ò×ØØØÐÐ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑѸ ÓÒØ Ð
×Ø ××ÙÙÙØØØ ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÖÖÖÖÖØ Ò ÑÔÐÐй
ÒØ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ù ÐÐÐ٠г³ÑÓÖØØÖº ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×× ÔÖÓÓÙÙØ ÐÓÖ×ÕÙÙ
ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω ÒÒÒÒØØØ ÔÓ××ØØظ ظ ÐÓÖ×ÕÙÙ ω
׳³ÒÒÙÐк ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× Ò×× ÐÓÖ×ÕÙ٠гÙÒÒ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÔ××× ÔÔÖ ÞÞÖÓ ÕÙÙ ÐÐ ÔÐÙ× ÒÒÒ
×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ÐÐ ÑÓÓÒ× ÒÒÒÒØØÚ ´´´ÐÐÐ ÓÒØ Ð Ú ÐÐÙÖ
ÐÐÐÐÖÖÕÙÙ ×Ø ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ω 1 ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÙØÖÖ ω 2 ¸ Ð
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ò e
iqx+ω2t
׳³ÑÓÖØØØ ÔÐÙ× ÚÚØغ ij³ÒÒÙÐÐØØÓÒ Ù ØØÙÜ ³³Ò¹
×ØØØØÐÐØØ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò ÒÒÖÖÐ ÐÓÖ×ÕÙ³ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐи ÒÓØØ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ μ¸ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ μ c ¸ ÕÙÙ ÒÒØ ÙÒ ××ÙÙÐ ÖÖØØÕÙÙ
q = q c º
º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØØØÐÐØظ ××ÓÓÓÓÓ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÌÙÖÖÒÒ¸ ×Ø ××ع
××××ØØ ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ØØÙÜ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ ω 1 Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÚÚÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ×Ø ØØÒÒÒÒØ Ø Ò q = q c ´ÔÓÙÖ μ = μ c µº Ò ××ÒØ Ù×ØØ ÙÒ ÞÓÓÑ
ω 1 (q) ÙØÓÙÖ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ Ð³³ÐÐÙÖÖ
ÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ººº
ººº½ ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ ÒÓÒ ××ÙÐÐÑÑÒØ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ Ù ØØÙÜ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ω 1 (q c ) ׳³ÒÒÙÐи ÑÑÑ× ×³³ÒÒÙÐÐ ÐÐÑÑÒØ ×× ÖÖÚ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù
ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ Ù ÔÓÓÒØ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ×
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× ×ÓÒØ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ××ØØ××××ØØ× ´´µ ω 1 (q c = 0) Ø
´´´µ (∂ω 1 (q)/∂q) qc = 0º ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ÚØØÙÖ
³ÓÒÒÒ ÖÖØØÕÙÙ q c Ò ÓÒÒØØÓÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÑÔÓ××
ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÒØÖÖ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÒÒ
ÖÓÒØØØÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÐÐÑÑØØÒØ ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐÐ ÒÒØ ÙÒÒ ÐÐÐÒÒ¸ ÙÒÒ ×ÙÖÖÖÖÖ ÓÙ ÙÒ
ÚÓÐÙÑѸ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÔØÖÖ ÓÒ×××ÖÖ Ö ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸
µº
ÌÓÙØØ ÓÒÒØØÓÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÐÐÒÒÒÖÖ×× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
× Ø Ø Ð Ó Ö Ñ a q e
iqx+ωt
¸ Ó a q ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÑÓÓÓ q Ò ØÓÙØØ