¾½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
´ÚÓÓÖ ¹¹ÔÖÖ×µº
º¿ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÌÙÖÖÒÒ
ij³ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÒÓØØ ´u 0 ¸v 0 µ ÓÓÓÓØ
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× f (u 0 , v 0 ) = 0 Ø g(u 0 , v 0 ) = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¾µº
ÇÒ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÜÜ×Øظ Ø ÒÓÙ× ÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÔÐÙ×××ÙÖ× ÜÜÑÔÐÐ× ÓÒÒÖÖØ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÖÑÑÒغ Ò ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×Ý×ØØÑѸ ÖÖÖÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ u = u 0 + u 1 (x, t) Ø v =
v 0 +v 1 (x, t) Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µº
Ò ØÙÙÒØ Ù Ò Ò Ò Ú ÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ø Ì × ÓÒÒØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× f Ø
g ÙØÓÙÖ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ´u 0 ¸v 0 µ гÓÖÖÖÖ ÙÒ ´´Ò u 1 Ø v 1 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÙÔÐÐ (u 1 , v 1 )º ÐÓÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÐÐ ÓÖÑÑ ´u 1 ¸v 1 ) = (A, B)e
iqx+ωt
¸ ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø ω ÒÓØØ
ÐÐ ØØÙÜ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒµ г³Ò×ØØØØÐÐØظ
ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ Re(ω) < 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ Re(ω) > 0µ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ωA = (f u − D u q
2
)A + f v B
ωB = g u A + (g v − D v q
2
)B
´´º¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ××
f u = [∂f /∂u] (u0,v0) , f v = [∂f /∂v] (u0,v0) ,
,
g u = [∂g/∂u] (u0,v0) , g v = [∂g/∂v] (u0,v0)
´´ººµ
ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù× ´´º¿µ ØØÒØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ
ØÖÖÚÚÚÐÐ ×× Ø ××ÙÐÐÑÑÒØ ×× ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ ×Ø ÒÙк ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q Ù ØØÙÜ ´ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÓÙ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒµ ω г³Ò×ØØØØÐÐØØ
ω
2
− Sω + P = 0
´´ººµ
ÚÚÚ
S = f u + g v − (D u + D v )q
2 , P = f u g v − f v g u − (D u g v + D v f u )q
2
+ D u D v q
4
´´ººµ
ÐÐ ØØÙÖ S ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ω 1 Ø ω 2
г³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ´S ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×ØØØØÐÐØص
Ø ÐÐ ØØÙÖ P ×Ø Ð Ù ÔÖÓÓÙÙØ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ P = ω 1 ω 2 º
ÌÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØÓÒ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÖÖÒØ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ e iqx+ωt
ÒÒ ×× ÔÔ׸ Ø ÔÔÖ Ð ×Ø ÐÐÐÐØØÑÑ ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ ÕÙ³ÙÒ ××ÙÐ ÑÓº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
´ÚÓÓÖ ¹¹ÔÖÖ×µº
º¿ ÒÒÐÝ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÌÙÖÖÒÒ
ij³ØØØ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÌÙÖÖÒÒ ÒÓØØ ´u 0 ¸v 0 µ ÓÓÓÓØ
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÚÚÒØØ× f (u 0 , v 0 ) = 0 Ø g(u 0 , v 0 ) = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¾µº
ÇÒ ×ÙÔÔÓ×× ÕÙÙ ØØØ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ÜÜ×Øظ Ø ÒÓÙ× ÚÖÖÓÒ× ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ
ÔÐÙ×××ÙÖ× ÜÜÑÔÐÐ× ÓÒÒÖÖØ× ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÖÑÑÒغ Ò ³³ØÙÙÙÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ
×Ý×ØØÑѸ ÖÖÖÖÖÓÒ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ u = u 0 + u 1 (x, t) Ø v =
v 0 +v 1 (x, t) Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾µº
Ò ØÙÙÒØ Ù Ò Ò Ò Ú ÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ø Ì × ÓÒÒØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× f Ø
g ÙØÓÙÖ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ´u 0 ¸v 0 µ гÓÖÖÖÖ ÙÒ ´´Ò u 1 Ø v 1 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÙÔÐÐ (u 1 , v 1 )º ÐÓÖ× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÐÐ ÓÖÑÑ ´u 1 ¸v 1 ) = (A, B)e
iqx+ωt
¸ ÓÓ q ×Ø ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ Ø ω ÒÓØØ
ÐÐ ØØÙÜ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒ ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒµ г³Ò×ØØØØÐÐØظ
ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ Re(ω) < 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ Re(ω) > 0µ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
ωA = (f u − D u q
2
)A + f v B
ωB = g u A + (g v − D v q
2
)B
´´º¿µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÔÓ××
f u = [∂f /∂u] (u0,v0) , f v = [∂f /∂v] (u0,v0) ,
,
g u = [∂g/∂u] (u0,v0) , g v = [∂g/∂v] (u0,v0)
´´ººµ
ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ¹¹¹××Ù× ´´º¿µ ØØÒØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ø ÓÑÓÓÓÒÒ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×Ø ÒÓÒ
ØÖÖÚÚÚÐÐ ×× Ø ××ÙÐÐÑÑÒØ ×× ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ ×Ø ÒÙк ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ÐÐ ÚØØÙÖ ³ÓÒÒÒ q Ù ØØÙÜ ´ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
ÓÙ ³³ØØØÒÙÙØØÓÒµ ω г³Ò×ØØØØÐÐØØ
ω
2
− Sω + P = 0
´´ººµ
ÚÚÚ
S = f u + g v − (D u + D v )q
2 , P = f u g v − f v g u − (D u g v + D v f u )q
2
+ D u D v q
4
´´ººµ
ÐÐ ØØÙÖ S ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ω 1 Ø ω 2
г³ÕÙÙØØÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ´S ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×ØØØØÐÐØص
Ø ÐÐ ØØÙÖ P ×Ø Ð Ù ÔÖÓÓÙÙØ × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ P = ω 1 ω 2 º
ÌÒØ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐÑÑØÓÒ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ× ÖÖÒØ× ÑÓÓÓ× ÓÙÖÖÖÖ e iqx+ωt
ÒÒ ×× ÔÔ׸ Ø ÔÔÖ Ð ×Ø ÐÐÐÐØØÑÑ ÒÒ ÓÒ××××ÖÖÖ ÕÙ³ÙÒ ××ÙÐ ÑÓº