º ÆÆÆ×××ÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ×ÔÔØØØÐ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐ
¾½½
ÙÖÖ º¾ Ò ÐÐÐÒÒ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÖÓÓ×××ÒÒÒ¸ Ø ÔÖÓÓÙÙØ
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ´ÐÐÐÒÒ ÖÖ×××µº ËË ÖÒÒÒÖ Ù×× ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ ×ÓÒ ÔÔÔ ÓÒÒÒÒØÖÖ¹
ØØÓÒ ×³³ØØÐÐ ÔÐÙ× ÚÚØظ ÔÔÖÑÑØØØÒØ Ò×× Ð³³³ØØÚØØÙÖ ÓÒØØÒÙÙÖ ÖÓÓØÖÖ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒغ
³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ×× Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒº ÍÒ ÙØÖÖ ÔÔÔ ÔÔÙØ ÒÒÒØÖÖ¸ Ò³³ÑÔÓÖØØ
ÓÓ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÑÑÑ× ÑÑÒÒÒÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØØÐÐÐ Ò× ÐÐ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ¸ Ù××
× ÙÙØÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ØØÒÒÒÒØ Ø Ð ÚÓÖÖ××Öº ÇÖ¸ ÐÐ ×××ÓÒÒ ÔÔÔ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ´´Ò ÖÖÒÒ×
ØØÖÖØ× ××ÔÔÖÖ× ÔÔÖ × ÔÓÓÒØ×µ × ÖÓÓØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙ³³Ð ×× ØÖÓÙÚÚ
Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÔÓÖØØØ Ð³³ÜÜÜ× v ÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ¸ ØÝÔÔÕÙÙÑÑÒØ Ù¹¹¹ÐÐ
гÓÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù××ÓÒ v¸ lvº ÑÑÑѸ ÐÐ× ÑÓÐÐÐÙÐÐ× u Ò ÔÖÓÚÚÒÒÒÒÒ
Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ ÖÖÖÖÖ×××ÒØ ÔÖÖ× ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ luº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ØÝÔÔÕÙÙ
ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
lulvº ÄÄ× ÙÒÒÐÐØØÖÖÐÐ× ××××ÑÑØØ××ÒØ
ÐÐ Ù××ÓÒº
ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ Ø ÓÒÒ ÐРг³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ
ÐÐРг³³ØØÚÚØØÙÖ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ Ò ÔÔÖÑѹ
ØØØÒØ Ò×× Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ÖÓÓØÖÖ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ ××Ò× ØÖÖ ÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ
v´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µº ÍÒ ÔÔÔ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò×׸ ÔÔÔ ÕÙÙ ÒÒØ ÔÔÖ
××ØÙÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ٠׳³ØØØÐÐØ ÙÒ ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒØÖÖ ÐÐ Ù××ÓÒ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ Ø ×ÓÒ
ÙØÓ¹¹ÖÓÓ×××ÒÒÒº
ÁÐ ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÔÔÔ× ÓÒÒÒÒØØ× ÐÐ× ÙÒ× × ÙØÖÖ×
×× Ú ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ Ù ×××Ò ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒº ÁÐ Ý ³³³ÐÐÐÙÖ׸ Ò
ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÔÐÙ× ÚÓÓÖ ÙÒ ÙØÖÖ ÔÔÔ ×× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖ¹
ÑÑÑÖ ÔÔÔ Ò Ø¸ г³ÒÒÓÑÓÓÓÒÒÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ ÚÓÖÖ×× ÐÐ ÒÒÒ×¹
××ÒÒÒ ³³ÙØÖÖ× ÔÔÔ× ÔÖÓÜÜÑÑØغ ÆÓØÓÒ× ÔÔÒÒÒÒØ Õ Ù ÕÙÙ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ Ñ¹
ÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÚÚÚ ÐÐÐ Ù×× Ù×ÕÙ³³ ×ÔÔÖÖÖØÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÐÐÐ
ÖÖÒÒÓÒØÖÖ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐÐ
ÒÓØÓÒ× τ u Ø τ v ÐÐ× ÙÖÖÖ× ÚÚÚ × ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ø l u ∼
√
D u τ u Ø
l v ∼
√
D v τ v ÐÐÙÖ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ× Ù××ÓÒ º È ÓÙÖ ÚÓÓÖ ÙÒÒ ÒÒÒ ÚÓÓÖ ÒÒÒØÖÖ
ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÔÔ Ò× ÐÐ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒظ Ð ÙØ Ò ØÖÖ ÐÓÓÓÒÒ ³ÙÒÒ
×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ l u Ù ÑÓÓÒ× ÐÐ× ÑÓÐÐÐÙÐÐ× u¸ Ò ÜÜÜ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù
ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ¸ ÒÒÒÒ×××ØØÒØ ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ l u ÔÓÙÖ ÖÖÖÖÖÖº Ò ÑÑÑÑ ØØÑÔ×
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ¸ ÕÙÙ Ù×× ÔÐÙ× ÚÚØظ ×× ØÖÓÙÚÚ ØÖÖ ×××Þ ÓÒÒÒÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ
г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ Ò ÓÖ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ Ð ÒÒ ÙØ ÓÒÒ ÔÔ× ØÖÖ ØÖÓÔ ÔÖÖ× Ù
ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ×ÔÔØØØÐÐ ÓÓØ ÓÒÒ ÖÖ ÙÒ ÓÑÔÖÓ¹
ÑÑ× ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÐÓÒÒÙÙÙÖ× l u Ø l v ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÓÓÒÒ
×Ø Ò Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÓÝÝÒÒÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ × ÙÜ ÐÓÒÒÙÙÙÖ׸ λ ∼
√
l u l v
ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù××ÓÒ ×Ø ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÑÓÝÒÒÒ ÔÔÖÖÓÙÖÙÙ ÔÔÖ ÙÒÒ
ÑÓÐÐÐÙÐÐ ×ÔÔÖÖÖØÖÖ ×ÙÙØØ ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙº
¾½½
ÙÖÖ º¾ Ò ÐÐÐÒÒ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÖÓÓ×××ÒÒÒ¸ Ø ÔÖÓÓÙÙØ
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ´ÐÐÐÒÒ ÖÖ×××µº ËË ÖÒÒÒÖ Ù×× ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ ×ÓÒ ÔÔÔ ÓÒÒÒÒØÖÖ¹
ØØÓÒ ×³³ØØÐÐ ÔÐÙ× ÚÚØظ ÔÔÖÑÑØØØÒØ Ò×× Ð³³³ØØÚØØÙÖ ÓÒØØÒÙÙÖ ÖÓÓØÖÖ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒغ
³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ ×× Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒº ÍÒ ÙØÖÖ ÔÔÔ ÔÔÙØ ÒÒÒØÖÖ¸ Ò³³ÑÔÓÖØØ
ÓÓ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÑÑÑ× ÑÑÒÒÒÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØØÐÐÐ Ò× ÐÐ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ¸ Ù××
× ÙÙØÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ØØÒÒÒÒØ Ø Ð ÚÓÖÖ××Öº ÇÖ¸ ÐÐ ×××ÓÒÒ ÔÔÔ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ´´Ò ÖÖÒÒ×
ØØÖÖØ× ××ÔÔÖÖ× ÔÔÖ × ÔÓÓÒØ×µ × ÖÓÓØÖÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙ³³Ð ×× ØÖÓÙÚÚ
Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÔÓÖØØØ Ð³³ÜÜÜ× v ÖÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ¸ ØÝÔÔÕÙÙÑÑÒØ Ù¹¹¹ÐÐ
гÓÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù××ÓÒ v¸ lvº ÑÑÑѸ ÐÐ× ÑÓÐÐÐÙÐÐ× u Ò ÔÖÓÚÚÒÒÒÒÒ
Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ ÖÖÖÖÖ×××ÒØ ÔÖÖ× ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ luº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ØÝÔÔÕÙÙ
ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÌÙÖÖÒÒ ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ
√
lulvº ÄÄ× ÙÒÒÐÐØØÖÖÐÐ× ××××ÑÑØØ××ÒØ
ÐÐ Ù××ÓÒº
ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ Ø ÓÒÒ ÐРг³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ØØÒØ ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ
ÐÐРг³³ØØÚÚØØÙÖ¸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ Ò ÔÔÖÑѹ
ØØØÒØ Ò×× Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ ÖÓÓØÖÖ ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ ××Ò× ØÖÖ ÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ
v´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾µº ÍÒ ÔÔÔ ×× ÔÖÓÓÙÙØ Ò×׸ ÔÔÔ ÕÙÙ ÒÒØ ÔÔÖ
××ØÙÖÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ٠׳³ØØØÐÐØ ÙÒ ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒØÖÖ ÐÐ Ù××ÓÒ Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ Ø ×ÓÒ
ÙØÓ¹¹ÖÓÓ×××ÒÒÒº
ÁÐ ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÔÔÔ× ÓÒÒÒÒØØ× ÐÐ× ÙÒ× × ÙØÖÖ×
×× Ú ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ Ù ×××Ò ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒº ÁÐ Ý ³³³ÐÐÐÙÖ׸ Ò
ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÔÐÙ× ÚÓÓÖ ÙÒ ÙØÖÖ ÔÔÔ ×× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖ¹
ÑÑÑÖ ÔÔÔ Ò Ø¸ г³ÒÒÓÑÓÓÓÒÒÒØØ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ ÚÓÖÖ×× ÐÐ ÒÒÒ×¹
××ÒÒÒ ³³ÙØÖÖ× ÔÔÔ× ÔÖÓÜÜÑÑØغ ÆÓØÓÒ× ÔÔÒÒÒÒØ Õ Ù ÕÙÙ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ Ñ¹
ÕÙÙ ÔÓ××××× ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ÚÚÚ ÐÐÐ Ù×× Ù×ÕÙ³³ ×ÔÔÖÖÖØÖÖ ÐÓÖ×ÕÙ³³ÐÐÐ
ÖÖÒÒÓÒØÖÖ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÐÐÐ
ÒÓØÓÒ× τ u Ø τ v ÐÐ× ÙÖÖÖ× ÚÚÚ × ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ø l u ∼
√
D u τ u Ø
l v ∼
√
D v τ v ÐÐÙÖ× ÐÓÒÒÙÙÙÖ× Ù××ÓÒ º È ÓÙÖ ÚÓÓÖ ÙÒÒ ÒÒÒ ÚÓÓÖ ÒÒÒØÖÖ
ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÔÔÔ Ò× ÐÐ ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒظ Ð ÙØ Ò ØÖÖ ÐÓÓÓÒÒ ³ÙÒÒ
×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ l u Ù ÑÓÓÒ× ÐÐ× ÑÓÐÐÐÙÐÐ× u¸ Ò ÜÜÜ× Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù
ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ¸ ÒÒÒÒ×××ØØÒØ ÙÒÒ ×ØØÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ l u ÔÓÙÖ ÖÖÖÖÖÖº Ò ÑÑÑÑ ØØÑÔ×
г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ¸ ÕÙÙ Ù×× ÔÐÙ× ÚÚØظ ×× ØÖÓÙÚÚ ØÖÖ ×××Þ ÓÒÒÒÒØ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ
г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ Ò ÓÖ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔ Ð ÒÒ ÙØ ÓÒÒ ÔÔ× ØÖÖ ØÖÓÔ ÔÖÖ× Ù
ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÔÔº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ×ÔÔØØØÐÐ ÓÓØ ÓÒÒ ÖÖ ÙÒ ÓÑÔÖÓ¹
ÑÑ× ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÐÓÒÒÙÙÙÖ× l u Ø l v ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ³ÓÒÒÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÓÓÒÒ
×Ø Ò Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÓÝÝÒÒÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ × ÙÜ ÐÓÒÒÙÙÙÖ׸ λ ∼
√
l u l v
ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù××ÓÒ ×Ø ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÑÓÝÒÒÒ ÔÔÖÖÓÙÖÙÙ ÔÔÖ ÙÒÒ
ÑÓÐÐÐÙÐÐ ×ÔÔÖÖÖØÖÖ ×ÙÙØØ ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙº