¾½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÒÚÚÖÓÒ ¼ Ò× ÔÖÖ× ÐÐ ÔÙÙÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³ÖØØØÐÐ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ٠г³Ü¹
ÔÔÖÖÖÒÒÒ Ò ÐÐÐÓÖÖØÓÓÖÖ ÓÒÒÖÑÑ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖØØÓÒ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ×
½½¸ ¸ ¼ ¸ ½ ¾ µº
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙ ÙØÓ¹¹¹ØØÐÝØØÕÙÙ¸
ÑÓÓÓÐÐ ØÓØØÐÐÑÑÒØ Ù ØØØÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖÑÑÒØ Øغ ÄÄ
ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÑÑØ Ò Ù ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ´´µ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÖÖÖÖØØØ ××Ù
г³ÒØØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ× ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ Ø ´´´µ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
Ù××× × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ù ×××Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒº ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
ÖÖÚÚÒØ Ð ÐÐ × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ×³³³ÖÖØ Ò×× ÓÑÑÑ
∂ t u = f (u, v) + D u ∂ x 2 u
´´º½µ
∂ t v = g(v, u) + D v ∂ x 2 v
´´º¾µ
ÓÓ u(x, t) ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ v(x, t)µ¸ ÔÔÒÒÒÒØ Ø Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ³³×ÔÔÔÔ x Ø Ù
ØØÑÔ× t¸ ÒÓØØ ÐÐ ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ Ù ÖÖÖÖØØØ u ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ vµ¸ ∂ t u Ø ∂ t v
×××ÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× × ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ×
× Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÒÒÒ¸ f (u, v) ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ g(v, u)µ ×Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÖÖÚÒØ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ u ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ vµ ÐÐ
×ÙÙ×ØØÒÒÒ v ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ uµ ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÙÙÖÖ × ÖÖÚ׸ Ø ÒÒÒ D u Ø D v
×ÓÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ù××ÓÒ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ× ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× u Ø vº Ä
ÔÖÓÓÓ××Ù× ÔÖÖÖÖ× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ×× Ø¸ ÓÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÖÖÖÖ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÖÖÖÖØØÓÒ¸ Ò³³ÑÔÓÖØØ ÔÔ׺
ÄÄ ××Ò× ØØÒÒÖÖÖØ ÔÔÒ××Ö¸ ÔÖÖÓÖÖ¸ ÕÙ³³Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÖØØØÙ¹
ØØÓÒ ØØÖÓÓÓÒÒ ÐÓÓÓÐÐ × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ׸ ÐÐ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ Ù××× ÙÖÖ ØØÒÒÒÒÒÒ
ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö ÐÐ ØÓÙظ г³ÑÑÑÑ ÐÐ Ù××ÓÒ ³ÙÒÒ ÓÙØØØ ××ÖÓÔ Ò× ÙÒ
ÚÚÖÖÖ ³³³Ùº ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ØÓÙØØ Ð³³ØÖÖÒÒÒØØ Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ¸ ÐÐ Ù××ÓÒ ÑÙØÙÙÐÐÐ
× ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ÔÔÙØ Ù ÓÒØÖÖÖÖÖ Ò× ÖØØØÒÒ× ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÐÐ
×××ÖÖÖÖØØÓÒ Ø ÓÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒº
º¾º½ ÁÑÑÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒ
ÈÓÙÖ ÔÔÖÖÖÚÓÓÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÒÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
º ÌÙÖÖÒÒ¸ ÔÔÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ¸ Ø ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ
ÒÒÑÑ ÙÙØÙÙØØÓÒ Ù ×××Ò Ù ×Ý×ØØÑÑ º ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ¸ ×ÙÙØØ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÙÙØÙ¹
ØØÓÒ¸ г³³ØØÚÚØØÙÖ ×× ØÖÓÙÚÚ ØÖÖ Ò ÐÐÐÐÖ ÜÜÜ× Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
º¾µº ÈÙÙ×ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ u ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÔÖÓÓÙÙØØÓÒ¸ ÙÒ ÜÜÜ× Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ
ÔÖÓÓÙÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÐÙ× ÑÑÑ× Ð ÒÒ ÙØ ÔÔ× ÓÙÙÐÐÐÖ ÕÙ³³Ð ÔÖÓÓÙÙØ
××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ×ÓÒ ÒØØØÓÒÒ×ØØ v Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÜÜÜ× ³³³ØØÚØØÙÖ
ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÔÖÓÓÙÙØØÓÒ ÖÙ٠г³ÒÒÒÒÒØØÙÖº Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÐÐ×
ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ÚÓÒØ ØØÒÒÒÒÒÒ ×³³ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö Ò ×ÙÙÚÒØ Ð ÐÓÓ ×ØØÒ¹
ÖÖ ÐÐ Ù××ÓÒº ÇÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ØÓÙØØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒÐÐØØ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÕÙÙ
×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÓÓÒØ ×× Ð³³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ ÔÐÙ×
ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÓÒÒ ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ×× ÐÙÙ ÔÐÙ× ÚÚØØ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ØØÐÐÐ× ÙÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÒÒÚÚØØØÐÐ× Ò× ÐÐ ÑÓÒÒÒ ÖÖÖк
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÒÚÚÖÓÒ ¼ Ò× ÔÖÖ× ÐÐ ÔÙÙÐÐÐÐØØÓÒ Ð³³ÖØØØÐÐ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ٠г³Ü¹
ÔÔÖÖÖÒÒÒ Ò ÐÐÐÓÖÖØÓÓÖÖ ÓÒÒÖÑÑ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖØØÓÒ ³³ÐÐÒ ÌÙÖÖÒÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ×
½½¸ ¸ ¼ ¸ ½ ¾ µº
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÙÒÒ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙ ÙØÓ¹¹¹ØØÐÝØØÕÙÙ¸
ÑÓÓÓÐÐ ØÓØØÐÐÑÑÒØ Ù ØØØÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÔÖÓÔÖÖÑÑÒØ Øغ ÄÄ
ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÑÑØ Ò Ù ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ´´µ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÖÖÖÖØØØ ××Ù
г³ÒØØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ× ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ Ø ´´´µ ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
Ù××× × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× Ù ×××Ò ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒº ij³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
ÖÖÚÚÒØ Ð ÐÐ × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ×³³³ÖÖØ Ò×× ÓÑÑÑ
∂ t u = f (u, v) + D u ∂ x 2 u
´´º½µ
∂ t v = g(v, u) + D v ∂ x 2 v
´´º¾µ
ÓÓ u(x, t) ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ v(x, t)µ¸ ÔÔÒÒÒÒØ Ø Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ ³³×ÔÔÔÔ x Ø Ù
ØØÑÔ× t¸ ÒÓØØ ÐÐ ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ Ù ÖÖÖÖØØØ u ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ vµ¸ ∂ t u Ø ∂ t v
×××ÒÒÒØ Ò×× ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× × ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ×
× Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÒÒÒ¸ f (u, v) ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ g(v, u)µ ×Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÖÖÚÒØ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ÑÑÕÙÙ ÐÐ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ u ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÑÑÒØ vµ ÐÐ
×ÙÙ×ØØÒÒÒ v ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ uµ ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÙÙÖÖ × ÖÖÚ׸ Ø ÒÒÒ D u Ø D v
×ÓÒØ ÐÐ× ÓÓÓÓÓÓÒØ× Ù××ÓÒ ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ× ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× u Ø vº Ä
ÔÖÓÓÓ××Ù× ÔÖÖÖÖ× ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ ÖÖÖÖØØÓÒ ×× Ø¸ ÓÙ ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÖÖÖÖ×× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÖÖÖÖØØÓÒ¸ Ò³³ÑÔÓÖØØ ÔÔ׺
ÄÄ ××Ò× ØØÒÒÖÖÖØ ÔÔÒ××Ö¸ ÔÖÖÓÖÖ¸ ÕÙ³³Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÖØØØÙ¹
ØØÓÒ ØØÖÓÓÓÒÒ ÐÓÓÓÐÐ × ×ÙÙ×ØØÒÒÒ׸ ÐÐ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ Ù××× ÙÖÖ ØØÒÒÒÒÒÒ
ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö ÐÐ ØÓÙظ г³ÑÑÑÑ ÐÐ Ù××ÓÒ ³ÙÒÒ ÓÙØØØ ××ÖÓÔ Ò× ÙÒ
ÚÚÖÖÖ ³³³Ùº ÇÖ¸ Ø ³³×Ø ØÓÙØØ Ð³³ØÖÖÒÒÒØØ Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ¸ ÐÐ Ù××ÓÒ ÑÙØÙÙÐÐÐ
× ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ÔÔÙØ Ù ÓÒØÖÖÖÖÖ Ò× ÖØØØÒÒ× ÓÒÒÒØØÓÒ׸ ÐÐ
×××ÖÖÖÖØØÓÒ Ø ÓÒÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒº
º¾º½ ÁÑÑÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ ÌÙÖÖÒÒ
ÈÓÙÖ ÔÔÖÖÖÚÓÓÖ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³Ò×ØØØØÐÐØØ ÒÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
º ÌÙÖÖÒÒ¸ ÔÔÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ¸ Ø ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ
ÒÒÑÑ ÙÙØÙÙØØÓÒ Ù ×××Ò Ù ×Ý×ØØÑÑ º ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ¸ ×ÙÙØØ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÙÙØÙ¹
ØØÓÒ¸ г³³ØØÚÚØØÙÖ ×× ØÖÓÙÚÚ ØÖÖ Ò ÐÐÐÐÖ ÜÜÜ× Ò ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÒÒÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
º¾µº ÈÙÙ×ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ u ××ÙÖÖ ×× ÔÖÓÔÖÖ ÔÖÓÓÙÙØØÓÒ¸ ÙÒ ÜÜÜ× Ð³³³ØØÚÚØØÙÖ
ÔÖÓÓÙÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÐÙ× ÑÑÑ× Ð ÒÒ ÙØ ÔÔ× ÓÙÙÐÐÐÖ ÕÙ³³Ð ÔÖÓÓÙÙØ
××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ ×ÓÒ ÒØØØÓÒÒ×ØØ v Ò×׸ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÜÜÜ× ³³³ØØÚØØÙÖ
ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÔÖÓÓÙÙØØÓÒ ÖÙ٠г³ÒÒÒÒÒØØÙÖº Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ¸ ÐÐ×
ÙÜ ×ÙÙ×ØØÒÒÒ× ÚÓÒØ ØØÒÒÒÒÒÒ ×³³ÓÑÓÓÓÒÒÒ××Ö Ò ×ÙÙÚÒØ Ð ÐÓÓ ×ØØÒ¹
ÖÖ ÐÐ Ù××ÓÒº ÇÖ¸ ³³×Ø ÐÐ ØÓÙØØ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒÐÐØØ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÌÙÖÖÒÒ ÕÙÙ
×ÓÙÐÐÐÒÒ ÔÓÓÒØ ×× Ð³³ÒÒÒÒÒØØÙÖ Ù×× ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÖÖÔÔÔÔÑÑÒظ ÔÐÙ×
ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÓÒÒ ÕÙ٠г³³ØØÚÚØØÙÖ¸ г³ÒÒÒÒÒØØÙÖ ×× ÐÙÙ ÔÐÙ× ÚÚØØ Ò× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ØØÐÐÐ× ÙÙÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÒÒÚÚØØØÐÐ× Ò× ÐÐ ÑÓÒÒÒ ÖÖÖк