¾½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÓ׸ ×ÓÒ× 1 000¸ Ø ÓÒ×ØÖÙÙ×ÓÒ× Ð³³³×ØÓÓÖÖÑÑÑ × ÚÚÒÒÑÑÒØ׸ Ò× ÐÐÕÙÙÐ
Ò ×××××× ÙÖÖ ÐÐ× ÒØØÖÚÚÐÐÐ× I j Ø Ò ÓÖÖÓÒÒÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ× ÕÙÙ ×
ÒØØÖÚÚÐÐÐ× I j ×ÓÒØ ÚÚ××ØØ׺ ËË N ×Ø ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ÒÓÙ× ÙÒÒ ÓÒÒÐÙ¹
××ÓÒ ØÖÖ× ÒØØÖÖ×××ÒØØ Ø ×ØÓÓÖÖÑÑÑ ×Ø ÙÒÒ ´ÕÙ³ÓÒ ÚÚ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÐÐ
×ÙÙØص ÖÓÓÙ×ØØ ´´Ò ××Ò× ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ N × ÕÙÙ N ×Ø ×××Þ
ÖÖÒÒ¸ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ÕÙÙÐÕÙÙ× Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙ³ÙÒÒ ÐÓÓ Ù××××ÒÒÒ Ò
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØغ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ Ø ÓÙÔÓÒ×
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1] Ò N ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ× Ùܸ ÒÓØØ× [(m − 1)N, m/N ] m =
1, 2, ...N ¸ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Oxº ºÓÑÑÑ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÙÙÙÒ ×
ÒØØÖÚÐÐÐ× ÒÒ ××ÖÖ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒ ÙØÖÖº ÈÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÓÓ× ÕÙ³ÙÒ ×Ø ÚÚ××ØØ ÔÔÖÓÓÓÓ 1/N ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ×
ÚÚÚÒØ ×××Þ ÖÖÒÒº ººÒ×׸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÔÓÙÖ ÕÙ³ÙÒ ×ÓÓØ ÚÚ××ØØ ×Ø
ÐÐ 1/N º ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÐÓÓ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ ÙÒÒÒÓÖÑѺ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ x
×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÓÒØØÒÙÙ¸ Ð ×Ø ÙØØÐÐ ÐÐ Ò××ØØ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ρ(x)
ØØÐÐÐ ÕÙÙ
b
a
ρ(x)dx ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ× ÓÓ Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [a, b] ×Ø ÚÚ××Øغ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× Ø ÔÐÙ× Ùظ ÒÓÑÑÖÖ ×Ø Ð Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÐÙÙ¹ÑÑÑѸ
³³×ع¹¹¹¹ÖÖ b − aº ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ρ ×Ø
ρ(x) = 1
´´º¿¿µ
ÐÐ Ò××ØØ ρ ×Ø ÐÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÐÐ Ò××ØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ÒÚÚÖÖÖÒØغ ØØØ Ò××ØØ
×Ø ÙÒÒÒÓÖÑѸ Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÙÜ ÙÜ
××ÖÖ¸ ØØÐ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖ × ´´´´ÕÙÙ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÒÒ 1/6µ ÓÙ ÐÐ
ÖÓÙÐÐØØغ
ÊÊÚÚÒÓÒ× ÒÓÙÚÚÚ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ Ø ÒÓØÓÒ× ρ(x) ÐÐ Ò××ØØ
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÓÒÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÓÓ× ÕÙ³ÙÒ ÒØØÖÚÐÐÐ dx ×Ø ÚÚ××ØØ ×Ø Ð
ρdxº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØ ÕÙ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ×Ø ÖÖÐÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ØØÒØØ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÒÓØÓÒ× y
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ Ø x ÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙº ÆÓÙ×
ÚÓÒ× ρ(x)dx = ρ(x(y))(dx/dy)dyº ijÙÒÒÒÓÖÑÑØØ ÐÐ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ Ò ØØÖÑÑ×
ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ y¸ ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ρ(x(y))(dx/dy) = 1¸ ×ÓÓØ
ρ(x(y)) = dy/dxº ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÔØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ
ÔÓÙÖ ÜÔÖÖÑÑÖ y Ò ÓÒÒØØÓÒ xº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× dy/dx = 2/(π sin(πy)º
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ sin(πy) = 2
x(1 − x)¸ Ò Ó Ù ×
ÔÓÙÚÓÒ× ØØØÐÐÖ ÐÐ ÐÓÓ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ ρ(x) г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ
ρ(x) =
1
π
x(1 − x)
.
´´º¿¿µ
³³×Ø ÐÐ Ò××ØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ÒÚÚÖÖÖÒØØ Ù Ó× ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µº ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ×× ÔÖÓÔÖÖ Ò××ØØ
ÒÚÖÖÖÒØغ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÓÓ׸ ×ÓÒ× 1 000¸ Ø ÓÒ×ØÖÙÙ×ÓÒ× Ð³³³×ØÓÓÖÖÑÑÑ × ÚÚÒÒÑÑÒØ׸ Ò× ÐÐÕÙÙÐ
Ò ×××××× ÙÖÖ ÐÐ× ÒØØÖÚÚÐÐÐ× I j Ø Ò ÓÖÖÓÒÒÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ× ÕÙÙ ×
ÒØØÖÚÚÐÐÐ× I j ×ÓÒØ ÚÚ××ØØ׺ ËË N ×Ø ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ÒÓÙ× ÙÒÒ ÓÒÒÐÙ¹
××ÓÒ ØÖÖ× ÒØØÖÖ×××ÒØØ Ø ×ØÓÓÖÖÑÑÑ ×Ø ÙÒÒ ´ÕÙ³ÓÒ ÚÚ ÚÓÓÖ ÔÔÖ ÐÐ
×ÙÙØص ÖÓÓÙ×ØØ ´´Ò ××Ò× ÕÙ³³ÐÐÐ ×Ø ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ N × ÕÙÙ N ×Ø ×××Þ
ÖÖÒÒ¸ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ ÕÙÙÐÕÙÙ× Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙ³ÙÒÒ ÐÓÓ Ù××××ÒÒÒ Ò
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØغ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¿¾µ Ø ÓÙÔÓÒ×
г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1] Ò N ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ× Ùܸ ÒÓØØ× [(m − 1)N, m/N ] m =
1, 2, ...N ¸ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ Oxº ºÓÑÑÑ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÙÙÙÒ ×
ÒØØÖÚÐÐÐ× ÒÒ ××ÖÖ ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ÙÒ ÙØÖÖº ÈÖ ÓÒ××ÕÙÙÒظ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÓÓ× ÕÙ³ÙÒ ×Ø ÚÚ××ØØ ÔÔÖÓÓÓÓ 1/N ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ×
ÚÚÚÒØ ×××Þ ÖÖÒÒº ººÒ×׸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÔÓÙÖ ÕÙ³ÙÒ ×ÓÓØ ÚÚ××ØØ ×Ø
ÐÐ 1/N º ÁР׳³³³Ø ³ÙÒÒ ÐÓÓ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ ÙÒÒÒÓÖÑѺ ØØÒØ ÓÒÒÒ ÕÙÙ x
×Ø ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÓÒØØÒÙÙ¸ Ð ×Ø ÙØØÐÐ ÐÐ Ò××ØØ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ρ(x)
ØØÐÐÐ ÕÙÙ
b
a
ρ(x)dx ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ× ÓÓ Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [a, b] ×Ø ÚÚ××Øغ
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× Ø ÔÐÙ× Ùظ ÒÓÑÑÖÖ ×Ø Ð Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÐÙÙ¹ÑÑÑѸ
³³×ع¹¹¹¹ÖÖ b − aº ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ρ ×Ø
ρ(x) = 1
´´º¿¿µ
ÐÐ Ò××ØØ ρ ×Ø ÐÓÖ× ÕÙÙÐÐÐÐÐ Ò××ØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ÒÚÚÖÖÖÒØغ ØØØ Ò××ØØ
×Ø ÙÒÒÒÓÖÑѸ Ù ÑÑÑÑ ØØØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÙÜ ÙÜ
××ÖÖ¸ ØØÐ× ÕÙÙ ÐÐ ÐÐÒÒÒÖ × ´´´´ÕÙÙ ÐÐ ÑÑÑÑ ÒÒÒ 1/6µ ÓÙ ÐÐ
ÖÓÙÐÐØØغ
ÊÊÚÚÒÓÒ× ÒÓÙÚÚÚ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ Ø ÒÓØÓÒ× ρ(x) ÐÐ Ò××ØØ
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ ÓÒÒ¸ ÐÐ ÒÓÑÖÖ ÓÓ× ÕÙ³ÙÒ ÒØØÖÚÐÐÐ dx ×Ø ÚÚ××ØØ ×Ø Ð
ρdxº ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØ ÕÙ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ×Ø ÖÖÐÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ØØÒØØ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ ÒÓØÓÒ× y
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ Ø x ÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙº ÆÓÙ×
ÚÓÒ× ρ(x)dx = ρ(x(y))(dx/dy)dyº ijÙÒÒÒÓÖÑÑØØ ÐÐ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ Ò ØØÖÑÑ×
ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ y¸ ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ρ(x(y))(dx/dy) = 1¸ ×ÓÓØ
ρ(x(y)) = dy/dxº ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÔØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¿¿µ
ÔÓÙÖ ÜÔÖÖÑÑÖ y Ò ÓÒÒØØÓÒ xº ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× dy/dx = 2/(π sin(πy)º
ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ sin(πy) = 2
x(1 − x)¸ Ò Ó Ù ×
ÔÓÙÚÓÒ× ØØØÐÐÖ ÐÐ ÐÓÓ ×ØÖÖÖÙØØÓÒ ρ(x) г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ
ρ(x) =
1
π
x(1 − x)
.
´´º¿¿µ
³³×Ø ÐÐ Ò××ØØ ÒÒØÙÖÖÐÐÐ ÒÚÚÖÖÖÒØØ Ù Ó× ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÔÔÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µº ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ×× ÔÖÓÔÖÖ Ò××ØØ
ÒÚÖÖÖÒØغ