º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
¾¼¼
ØØÖÑÑÒÒ×ØØ× ÐÐÙÖ ØØØÐÐ Ùº ÅÅÅ× ØØØ ÓÓ ÔÖÓÓÓÒÒÒ¸ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ØÖÓÔ ÖÖÔÔ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÒÒÛØÓÒÒÒÒÒÒ Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ÔÖÖÖÖÖØØØØÐÐØØ Ø ³ÙÒ ØØÖ¹
ÑÑÒÒ×ÑÑ ×ÓÐÙ׸ ×Ø ÖÖÒÐÐÐ ÔÔÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ù ×××Ò ÑÑÑÑ ØØØ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ
×Ý×ØØÑÑ× ÒÒÛØÓÒÒÒÒ× ÓØØÕÙÙ׸ ÑÑÑÑ ×× ÐÐÙÖ ÑÑ×× Ò
ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐк Ø Ð ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ø ÚÚÖÖ ÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ×
ÔÐÙØØØ ÕÙ٠г³ÜÜÜÔØØÓÒ¸ ÐÐ ÚÚ×ØØ ÑÑÑÓÖÖØØ × ×Ý×ØØÑÑ×
ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ׺
ÓÑÑÑ ÐÐ ØØ Ø Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ×× ÒÓÙ× ØØÓÒ× ÔÔÔÐÐ×
ØØÖÑÑÒÒÖ Ú ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ÒÒÒÒÒ Ð³³ØØØ ÒÒØØØÐ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÒÓÙ× ××ÙÖÖÓÒ×
ÔÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÙÐØØÖÖÖÙÖÖº ³³×Ø ÓÒÒ ÒÓØÖÖ ÒÒÒÔÔÔÔØØ ØØØØÒÒÖÖ ÖÖ
ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×× ÒÓØÖÖ ÐÐÐØØ ÐÐ
ÔÖÖÖÖÖØØØØÐÐØغ ÆÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ØØÖÖÖÙÙÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ù ÙÒ ÑÑÒÕÙÙ
³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒº ÅÅÅ× Ð ÒÒ ÙØ ÔÔ× ÖÓÓÖÖ ÕÙÙ ØØØ ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ÑÑÒÕÙÙÒØØ ×Ø
ÐÐ Ø ³ÙÒÒ ÒÓÖÖÒÒÒ ØØØÓÖÖÕÙÙ ØØÑÔÓÖÖÖÖÖ¸ ÓÙ ³ÙÒÒ ÒÒÒÔÔÔÔØØ ÜÔÔÖÖÑÑÒØØÐÐ
ÓÒØØÜØÙÙÐÐи ÕÙÙ ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× ÑÑÑÑ ×ÙÖÔÔ×××Ö ÙÒ ÓÙÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÔÖÓÓÖÖ×¹
××ÓÒ × ××××ÒÒÒ׺ ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÙÒÒ ÒÒÒÖØØØÙÙÙ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐк
Ò Ø¸ ÒÒÖ ÙÒ ØØØ ÒÒØØØÐ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐи
³³×Ø ×× ÓÒÒÒÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÒØØØÐÐ× ØØØ ÔÔÖØØØÙÐк
ÇÖ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ×ÓÒØ × ÒÓÑÖÖ× ÖÖÖÐ× ÕÙÙ ×ÓÒØ ÒÒ×
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÙÙØØ ÒÒÒÒÒ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи 1/3 = 0, 33333...¸
√
3 = 1, 732...
ËË ÒÓÙ× ÚÓÙÐÐÓÒ× ×××ÒÒÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÔÓ××××ÐÐ× ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи Ð
ÙØ ÔÓÙÚÓÓÖ ×ÔÔÔÔÔÔÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ×ÙÙØØ× ÒÒÒÒÒ× ÕÙÙ ÜÜ×ØØÒØ ×Ø
ÓÖ× ÔÓÖØØØ ÙÑÑÑÒÒº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ØØØ ØØÖÖÖÙÙÖ
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÖÖÖ××× ×Ø ××Ò× Ö
г³ØØØ ÒÒÐ ×Ø Ò××Ò×××ÐÐ × ÒÒÒÖØØØÙÙÙ× ÐÐ× ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÓØØÕÙÙ¸ г³ÒÒÒÖØØØÙÙ٠׳³ÑÔÐÐÐÐ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐÑÑÒغ ÄÄ ÒÓØØÓÒ
××ÖÖ¸ ÓÙ ³³ÒÒÒÖØØØÙÙÙ¸ ×Ø Ò×× Ò× ÐÐ ÑÑÒÕÙÙ ³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ
г³ØØØ ÒÒØØØк
× ÐÓÖ׸ Ð ÒÒØÙÖÖÐ ×× ÑÑÒÒÒÖ ×³³Ð ×Ø ÕÙÙÒÒ ÑÑÑÑ ÔÓ××××ÐÐ
³³ØØØÐÐÖ ÙÒÒ ××ÖÖÔØØÓÒ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù Ó׸ ÓÑÑÑ ÓÒ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÐÐ ÖÖ ÔÓÙÖ
ÙÒ Ù º
º½½ºº ÅÅ×ÙÖÖ ÒÚÖÖÖÒØØ
ÈÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ÔÖÖÑÑÑÖ ÖÖÔÓÒ×× ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ØÙÙÙÓÒ× ÙÒ
×Ý×ØØÑÑ ××ÑÔÐÐ ÒÒ ÓÑÑÑ ×ÙÙØ ×ÓÓØ Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0; 1] ×ÙÙÙÙÚÚ×ÓÒ× Ø ÒØØÖ¹
ÚÚÐÐÐ Ò ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ× Ùܸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÙÒÒ ÒØØØÒÒ
[0; 01[, [0, 01; 0, 02[.....[0, 99; 1] Ø ÒÓØÓÒ× × ÒØØÖÚÐÐÐ× I 1 , I 2 , ...I 100 º Ì Ö Ó Ò ×
Ò×ÙÙØØ Ù ××ÖÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ x 0 Ò× [0; 1] Ð ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ
гÙÒ × ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ׺ ÒÓÑÑÖÖ ×Ø ÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ³ÙÒÒ
ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ Ó٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ´ÓÙ ØÓÙØ ÙØÖÖ ØÝÔÔ ³³ÔÔÐÐÐй
ØØÓÒ ÓÒÒÙÙ ÔÓÙÖ ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÐÐ Ø ØÙÓÒ× Ò×ÙÙØØ N ØØÖÖØØÓÒ׸
N ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ×ÓÒ× N = 1 000º ÄÄ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÐ x N ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ù Ò Ò Ò ØØÖ¹
ÚÚÐÐÐ I j ´1 < j < 100µº ÊÊÊÓÑÑÑÒÒÓÒ× ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ
¾¼¼
ØØÖÑÑÒÒ×ØØ× ÐÐÙÖ ØØØÐÐ Ùº ÅÅÅ× ØØØ ÓÓ ÔÖÓÓÓÒÒÒ¸ ÕÙÙ ÖÖÐÐÐ ØÖÓÔ ÖÖÔÔ¹
ÑÑÒØ ÐÐ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÒÒÛØÓÒÒÒÒÒÒ Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ÔÖÖÖÖÖØØØØÐÐØØ Ø ³ÙÒ ØØÖ¹
ÑÑÒÒ×ÑÑ ×ÓÐÙ׸ ×Ø ÖÖÒÐÐÐ ÔÔÖ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ù ×××Ò ÑÑÑÑ ØØØ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ
×Ý×ØØÑÑ× ÒÒÛØÓÒÒÒÒ× ÓØØÕÙÙ׸ ÑÑÑÑ ×× ÐÐÙÖ ÑÑ×× Ò
ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÖÖÐÐØØÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐк Ø Ð ×Ø ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ø ÚÚÖÖ ÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ×
ÔÐÙØØØ ÕÙ٠г³ÜÜÜÔØØÓÒ¸ ÐÐ ÚÚ×ØØ ÑÑÑÓÖÖØØ × ×Ý×ØØÑÑ×
ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ׺
ÓÑÑÑ ÐÐ ØØ Ø Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ×× ÒÓÙ× ØØÓÒ× ÔÔÔÐÐ×
ØØÖÑÑÒÒÖ Ú ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ÒÒÒÒÒ Ð³³ØØØ ÒÒØØØÐ Ù ×Ý×ØØÑѸ ÒÓÙ× ××ÙÖÖÓÒ×
ÔÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÙÐØØÖÖÖÙÖÖº ³³×Ø ÓÒÒ ÒÓØÖÖ ÒÒÒÔÔÔÔØØ ØØØØÒÒÖÖ ÖÖ
ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×× ÒÓØÖÖ ÐÐÐØØ ÐÐ
ÔÖÖÖÖÖØØØØÐÐØغ ÆÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÓÒÒ ØØÖÖÖÙÙÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ù ÙÒ ÑÑÒÕÙÙ
³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒº ÅÅÅ× Ð ÒÒ ÙØ ÔÔ× ÖÓÓÖÖ ÕÙÙ ØØØ ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ÑÑÒÕÙÙÒØØ ×Ø
ÐÐ Ø ³ÙÒÒ ÒÓÖÖÒÒÒ ØØØÓÖÖÕÙÙ ØØÑÔÓÖÖÖÖÖ¸ ÓÙ ³ÙÒÒ ÒÒÒÔÔÔÔØØ ÜÔÔÖÖÑÑÒØØÐÐ
ÓÒØØÜØÙÙÐÐи ÕÙÙ ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× ÑÑÑÑ ×ÙÖÔÔ×××Ö ÙÒ ÓÙÖ ÖÖÖÖ ÐÐ ÔÖÓÓÖÖ×¹
××ÓÒ × ××××ÒÒÒ׺ ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÙÒÒ ÒÒÒÖØØØÙÙÙ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐк
Ò Ø¸ ÒÒÖ ÙÒ ØØØ ÒÒØØØÐ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÙÒÒ ÔÔÖØØØÙÐи
³³×Ø ×× ÓÒÒÒÖ¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ÒÒØØØÐÐ× ØØØ ÔÔÖØØØÙÐк
ÇÖ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ×ÓÒØ × ÒÓÑÖÖ× ÖÖÖÐ× ÕÙÙ ×ÓÒØ ÒÒ×
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÙÙØØ ÒÒÒÒÒ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи 1/3 = 0, 33333...¸
√
3 = 1, 732...
ËË ÒÓÙ× ÚÓÙÐÐÓÒ× ×××ÒÒÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÔÓ××××ÐÐ× ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐи Ð
ÙØ ÔÓÙÚÓÓÖ ×ÔÔÔÔÔÔÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ×ÙÙØØ× ÒÒÒÒÒ× ÕÙÙ ÜÜ×ØØÒØ ×Ø
ÓÖ× ÔÓÖØØØ ÙÑÑÑÒÒº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ØØØ ØØÖÖÖÙÙÖ
ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× × ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÖÖÖ××× ×Ø ××Ò× Ö
г³ØØØ ÒÒÐ ×Ø Ò××Ò×××ÐÐ × ÒÒÒÖØØØÙÙÙ× ÐÐ× ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÓØØÕÙÙ¸ г³ÒÒÒÖØØØÙÙ٠׳³ÑÔÐÐÐÐ ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐÑÑÒغ ÄÄ ÒÓØØÓÒ
××ÖÖ¸ ÓÙ ³³ÒÒÒÖØØØÙÙÙ¸ ×Ø Ò×× Ò× ÐÐ ÑÑÒÕÙÙ ³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ
г³ØØØ ÒÒØØØк
× ÐÓÖ׸ Ð ÒÒØÙÖÖÐ ×× ÑÑÒÒÒÖ ×³³Ð ×Ø ÕÙÙÒÒ ÑÑÑÑ ÔÓ××××ÐÐ
³³ØØØÐÐÖ ÙÒÒ ××ÖÖÔØØÓÒ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù Ó׸ ÓÑÑÑ ÓÒ ÔÓÙÖÖÖÖØ ÐÐ ÖÖ ÔÓÙÖ
ÙÒ Ù º
º½½ºº ÅÅ×ÙÖÖ ÒÚÖÖÖÒØØ
ÈÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒ ÔÖÖÑÑÑÖ ÖÖÔÓÒ×× ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ØÙÙÙÓÒ× ÙÒ
×Ý×ØØÑÑ ××ÑÔÐÐ ÒÒ ÓÑÑÑ ×ÙÙØ ×ÓÓØ Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0; 1] ×ÙÙÙÙÚÚ×ÓÒ× Ø ÒØØÖ¹
ÚÚÐÐÐ Ò ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ× Ùܸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÙÒÒ ÒØØØÒÒ
[0; 01[, [0, 01; 0, 02[.....[0, 99; 1] Ø ÒÓØÓÒ× × ÒØØÖÚÐÐÐ× I 1 , I 2 , ...I 100 º Ì Ö Ó Ò ×
Ò×ÙÙØØ Ù ××ÖÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖÖÐ x 0 Ò× [0; 1] Ð ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ
гÙÒ × ×ÓÙ×¹¹ÒØØÖÚÚÐÐÐ׺ ÒÓÑÑÖÖ ×Ø ÔÖÖ× ÔÓÙÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ³ÙÒÒ
ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ Ó٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ´ÓÙ ØÓÙØ ÙØÖÖ ØÝÔÔ ³³ÔÔÐÐÐй
ØØÓÒ ÓÒÒÙÙ ÔÓÙÖ ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÐÐ Ø ØÙÓÒ× Ò×ÙÙØØ N ØØÖÖØØÓÒ׸
N ×××Þ ÖÖÒÒ¸ ×ÓÒ× N = 1 000º ÄÄ ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒÐ x N ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ù Ò Ò Ò ØØÖ¹
ÚÚÐÐÐ I j ´1 < j < 100µº ÊÊÊÓÑÑÑÒÒÓÒ× ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ