¾¼¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
0
1/4
1/2
3/4
(x
f n )
x n
1/4
3/4
1
1
2
1/2
0
(x
f n )
1
x
1
2 −m
m
n
ÙÖÖ º¾¾ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ÙÜ ÓÓ׸ f
2 (xn)¸ Ø Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÓÑÔÓ××× m ÓÓ׸ f
m (xn) ´m ×××Þ ÖÖÒÒµº
ÙÐÐØØظ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ØÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ½¼ º
ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø Ò Ø ÖÖÐÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÒÒÒ ÔÔÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ x n+1 = 4ax n (1 − x n ) Ò ØÙÙÒØ Ù Ò × Ñ Ô Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖ¹
Ðк Ò Ø¸ Ù × ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ½½ a = 1
г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙÙØØÓÒ x n+1 = 4x n (1 − x n )º
ØÙÓÒ× ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ x Ò ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ y ÒÒÒ ÔÔÖ
x = sin
2
πy
2
=
1
2
[1 − cos(πy)]
´´º¿¿µ
Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ sin
2
(πy n /2) = 1 − cos
2
(πy n ) = sin
2
(πy n )º
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò ÙÙÖÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ πy n+1 /2 =
± πy n + pπ ÓÓ p ×Ø ÙÒ ÒØØØÖ ÒÒØÙÖÖк ÓÑÑÑ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ y n ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ
y n ∈ [0, 1]¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ y ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ 0 ≤ y n < 1/2¸ ¸ Ø
y n+1 = 2(1 − y n )¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ y n+1 = 2y n ´ÐÐ ×××ÒÒ ÚÒØ y n
×Ø ÔÓ××ØØØ Ø p = 0µ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ Ú Ð Ù Ö Ö Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ y ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ 1/2 ≤ y n ≤ 1¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× y n+1 = 2(1 − y n ) ´ÐÐ ×××ÒÒ ÚÚÒØ y n ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø p = 1µº
º½½º¿ ÂÓÙÙÖ ÐÐ ÖÓÙÐÐØØØ ÓÙ Ù Ó×
ÔÙÙ× ÐÐ ÖÖÒÒ ³ÙÒÒ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÖÖØØÓÒÒÒÐÐи ÒÓÙ× ÚÚÓÒ× ÓÑÑÑÒÒÒ
ÖÓÓÖÖ Ù ØÖÖÓÑÔÔÔ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ Ò×׸ ÐÐ× ÔØØ× Ù Ù Ø
ÐÐ ÖÓÙÐÐØØØ ÒÓÙ× ÙÖÖÖÖÒØ Ø Ò Ú ÓÐÓÒØØØÖ× ÔÖÓÔÓ××Ö ÚÒÒÖ ØØ×ØØÖ ÒÓ× ØØØÓÖÖÖ×
½¼ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ØØØÐÐ ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÖÖÐи Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º½¸ ÕÙ³ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ×× ÐÐ ÖÖÚ f Ð ³ Ò ØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØØ Ò ÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙº ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺
½½ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÙ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º½ ÕÙÙ ÐÐ ×× ÔÖÓÓÙÙØ × ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a ×Ø ØØÐ ÕÙÙ a > 0, 892...
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
0
1/4
1/2
3/4
(x
f n )
x n
1/4
3/4
1
1
2
1/2
0
(x
f n )
1
x
1
2 −m
m
n
ÙÖÖ º¾¾ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ÙÜ ÓÓ׸ f
2 (xn)¸ Ø Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÓÑÔÓ××× m ÓÓ׸ f
m (xn) ´m ×××Þ ÖÖÒÒµº
ÙÐÐØØظ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ØÙÙ ÔÓÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×¹
ØØÕÙÙ ½¼ º
ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø Ò Ø ÖÖÐÐÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÒÒÒ ÔÔÖ
г³ÕÙÙØØÓÒ x n+1 = 4ax n (1 − x n ) Ò ØÙÙÒØ Ù Ò × Ñ Ô Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖ¹
Ðк Ò Ø¸ Ù × ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ½½ a = 1
г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙÙØØÓÒ x n+1 = 4x n (1 − x n )º
ØÙÓÒ× ÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ x Ò ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ y ÒÒÒ ÔÔÖ
x = sin
2
πy
2
=
1
2
[1 − cos(πy)]
´´º¿¿µ
Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ sin
2
(πy n /2) = 1 − cos
2
(πy n ) = sin
2
(πy n )º
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò ÙÙÖÖ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ πy n+1 /2 =
± πy n + pπ ÓÓ p ×Ø ÙÒ ÒØØØÖ ÒÒØÙÖÖк ÓÑÑÑ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ y n ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ
y n ∈ [0, 1]¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ y ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ 0 ≤ y n < 1/2¸ ¸ Ø
y n+1 = 2(1 − y n )¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ y n+1 = 2y n ´ÐÐ ×××ÒÒ ÚÒØ y n
×Ø ÔÓ××ØØØ Ø p = 0µ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ Ú Ð Ù Ö Ö Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ y ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ 1/2 ≤ y n ≤ 1¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× y n+1 = 2(1 − y n ) ´ÐÐ ×××ÒÒ ÚÚÒØ y n ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø p = 1µº
º½½º¿ ÂÓÙÙÖ ÐÐ ÖÓÙÐÐØØØ ÓÙ Ù Ó×
ÔÙÙ× ÐÐ ÖÖÒÒ ³ÙÒÒ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ÖÖØØÓÒÒÒÐÐи ÒÓÙ× ÚÚÓÒ× ÓÑÑÑÒÒÒ
ÖÓÓÖÖ Ù ØÖÖÓÑÔÔÔ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ Ò×׸ ÐÐ× ÔØØ× Ù Ù Ø
ÐÐ ÖÓÙÐÐØØØ ÒÓÙ× ÙÖÖÖÖÒØ Ø Ò Ú ÓÐÓÒØØØÖ× ÔÖÓÔÓ××Ö ÚÒÒÖ ØØ×ØØÖ ÒÓ× ØØØÓÖÖÖ×
½¼ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ØØØÐÐ ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÖÖÐи Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º½¸ ÕÙ³ÙÒ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ×× ÐÐ ÖÖÚ f Ð ³ Ò ØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØØ Ò ÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙº ÁР׳³Ò×ÙÙØ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺
½½ ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÚÙ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º½ ÕÙÙ ÐÐ ×× ÔÖÓÓÙÙØ × ÕÙÙ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a ×Ø ØØÐ ÕÙÙ a > 0, 892...