º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ××ÖÖØص Ò ×ÙÙÚÚÒØ Ð Ð Ó
dx n ∼ dx 0 e
νn
´´º¾¾µ
ÓÓ dx n ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³³³ÖØ ÒØÖÖ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× Ù ÓÙØ ³ÙÒ ØØÑÔ×
n ´´ººº ÔÖÖ× n ØØÖÖØØÓÒ×µ Ø ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ÔÓ××ØØØ ×Ø ÔÔÔÐÐ ÜÔÓ××ÒØ
ÄÝÝÔÙÒÓÚ¸ Ù ÒÓÑ Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÙ××× ÐÐÐ××ÒÒÖ ÅÅÅÅÅÅÐÓÚÚÚ Ä Ý
´½½½½¹½½½½µº Ø ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÖÖÔÔÔÔØØ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×× Ø ÐÐ ××ÔÔÖÖ¹
ØØÓÒ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÒÒÒÑÑÒØ Ú ÓÓ××ÒÒ×
´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÓÑÑÑÒØ dx n ׳³³³ÖØØ dx 0 µº ÈÐÙ× Ð³³ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÔÙÒÓÚ ν
×Ø ÖÖÒÒ¸ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÐÐ ÑÑÑÓÓÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø
ÔÔÖÖÙÙº Ò ÖÖÖÐÐØظ Ð ÜÜ×ØØ ÙØØÒØ Ø ³ ³ Ü Ô Ó × Ò Ø× ÄÝÝÔÙÒÓÚ ÕÙÙ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØظ Ö ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÓÑÔÓ××Ö ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ ×
ÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× Ò× ×¸ ÒÓÙ×
ÚÐÙÓÒ× Ð³³³³ÖØ ÔÖÓÓÓØØ ÐÐ ÐÓÒÒ ³ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ÓÒÒÒÒº
º½½º¾ ÈÖÓÔÖÖÖØØ× × ÄÝÔÙÒÓÚ
ÌÓÙØ Ð ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× Ù Ó×
× ×Ý×ØØÑÑ× ×××ÔÔØØØ׸ ØØÐ ÙÒ ÖÖÙÙØ Ò ÐÐÐØÖÓÒÒÕÙÙ ´´´×××ÔÔØØÓÒ ³ÇÇѵ ÓÙ ØØÐ
ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×ÓÙÑÑ× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ¸ Øغ ÄÄ ÔÖÖ××ÒÒÒ ×××ÔÔØØÓÒ
ÔÓÙÖ Ø ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ Ð Ú ÓÐÙÑÑ ÒÒØØØÐ ÓÒÒÒ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
ÔÔÔ×× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÐÐ ÒÒ ×××ÒÒÒÒ ÔÔ× ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÓÓ× ØØ× Ù
ÚÓÐÙÑÑ ÓÓÚÚÒØ × Ó Ò ØÖÖÖØØÖº Ò ÒÒÖÖи гÙÒ × ØÖÓÓ× ØØ× ×× ÐÐØØ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×× ³ÙÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÚÓÐÙÑÑ ÒÒØØØÐ
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ ×××ÒØØØÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ Ù Ó׺
Ò×׸ ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÔÔÙÚÚÒØ Ø Ú ÖÖÖÖ ××ÐÓÒ ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ÐÐØØØØÓÒ ´´××ÓÓÓÓÓ
ÙÒ ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÔÙÒÓÚ ÔÓ××ØØص¸ Ø ×× ÓÒØÖÖÖØØÖ Ò× ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ׸
ÓÒ ÑÑÑÒØØÒÒÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÇÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÚÓÐÙÑÑ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ
×ÓÑÑÑ ØÓÙ× ÐÐ× ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÓÑÑÑ ÚÓÐÙÑÑ ÖÓÓØ Ù Ø
ÐÐ ×××ÔÔØØÓÒ¸ ØØØ ×ÓÑÑÑ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚº Ò×׸ Ù ÑÓÓÒ× ÙÒ × ÜÔÓ××ÒØ×
ÄÝ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÙÜÜÜÑÑ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÑÔÓÖØØÒØØ × ÜÔÓ××ÒØ×
ÄÝÝÔÙÒÓÚ ÕÙ٠гÙÒ × ÜÔÓ××ÒØ× ÓÓØ ØÖÖ ÒÙи ÔÓÙÖ ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÖ×ØØ ÐÓÓÓÐÐ××× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ×ÙÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ
´´Ò××ÑÑÐйÐÐÑÑØصº ÒÒÒ Ù ×××Ò ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÙ× ÚÓÓÖ Ù
ÑÓÓÒ× ÙÒ ÜÔÓ××ÒØ Ô Ó × Ø ¸ ÐÐ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÒÒÚÚÚÙ ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ØÓÙØØ ÙÒÒ ××××ÒØØØÕÙÙ ÕÙÙ ÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ Ó× ÒÓÒ
×××ÔÔØØظ Ø ÒÒÓÖÖ ÑÑÐØÓÒÒÒÒ¸ ÓÙ ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ØÝÔÔÕÙÙ ×Ø ÐÙÙ
г³ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐÐÐÖÖ ÓÓ Ð³³³³Ø ÐÐ ×××ÔÔØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÔ× ÔÖÖ× Ò
ÓÑÔØظ Ù ÖÖ ×× ÐÐ ÑÔÓÖØØÒÒÒº
ÅÅÅ× Ò³³ÜÜÐÙØ ÔÔ× Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÓÓÓÓ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÙÜ ÜÔÓ××ÒØ× ÔÓ××ØØØ׸ ÙÕÙÙÐ × ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ø Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ×ÙÔÔÖ¹¹¹¹Ó׺ ÍÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ×× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐ ÓÙ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÕÙÙØÖÖ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ
ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÔÖÖÖÖ×× ÙÒ × ÓÓØ ØÖÖ ÒÙÐ ´ÐÓÓÓÐÐ××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×ÙÖ
ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖµ Ø Ù ÑÓÓÒ× ÙÒ ÙØÖÖ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØØ ´´´ÑÑÒÙØØÓÒ Ù ÚÓÐÙÑÑ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ×
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ×××µº Ë˸ Ò× ÒÓÑÑÖÖÙ××× ××ØÙÙØØÓÒ׸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒ ÔÓ××¹
½½½
ÚÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ ××ÖÖØص Ò ×ÙÙÚÚÒØ Ð Ð Ó
dx n ∼ dx 0 e
νn
´´º¾¾µ
ÓÓ dx n ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³³³ÖØ ÒØÖÖ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× Ù ÓÙØ ³ÙÒ ØØÑÔ×
n ´´ººº ÔÖÖ× n ØØÖÖØØÓÒ×µ Ø ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ν ÔÓ××ØØØ ×Ø ÔÔÔÐÐ ÜÔÓ××ÒØ
ÄÝÝÔÙÒÓÚ¸ Ù ÒÓÑ Ù ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÙ××× ÐÐÐ××ÒÒÖ ÅÅÅÅÅÅÐÓÚÚÚ Ä Ý
´½½½½¹½½½½µº Ø ÜÔÖÖÑÑ ÐÐ ÖÖÔÔÔÔØØ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ×× Ø ÐÐ ××ÔÔÖÖ¹
ØØÓÒ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÒÒÒÑÑÒØ Ú ÓÓ××ÒÒ×
´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÓÑÑÑÒØ dx n ׳³³³ÖØØ dx 0 µº ÈÐÙ× Ð³³ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÔÙÒÓÚ ν
×Ø ÖÖÒÒ¸ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ÐÐ ÑÑÑÓÓÖÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×Ø
ÔÔÖÖÙÙº Ò ÖÖÖÐÐØظ Ð ÜÜ×ØØ ÙØØÒØ Ø ³ ³ Ü Ô Ó × Ò Ø× ÄÝÝÔÙÒÓÚ ÕÙÙ ÖÖ×
ÐÐÐÐÖØظ Ö ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ØÓÙÙÓÙÖ× ÓÑÔÓ××Ö ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò ÓÒÒØØÓÒ ×
ÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× Ò× ×¸ ÒÓÙ×
ÚÐÙÓÒ× Ð³³³³ÖØ ÔÖÓÓÓØØ ÐÐ ÐÓÒÒ ³ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ ÓÒÒÒÒº
º½½º¾ ÈÖÓÔÖÖÖØØ× × ÄÝÔÙÒÓÚ
ÌÓÙØ Ð ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÒÓÙ× ÒÓÙ× Ù Ó×
× ×Ý×ØØÑÑ× ×××ÔÔØØØ׸ ØØÐ ÙÒ ÖÖÙÙØ Ò ÐÐÐØÖÓÒÒÕÙÙ ´´´×××ÔÔØØÓÒ ³ÇÇѵ ÓÙ ØØÐ
ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑÑÒÒÕÙÙ ×ÓÙÑÑ× ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ¸ Øغ ÄÄ ÔÖÖ××ÒÒÒ ×××ÔÔØØÓÒ
ÔÓÙÖ Ø ÐÓÓÓÐÐÑÑÒØ Ð Ú ÓÐÙÑÑ ÒÒØØØÐ ÓÒÒÒ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
ÔÔÔ×× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÐÐ ÒÒ ×××ÒÒÒÒ ÔÔ× ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÓÓ× ØØ× Ù
ÚÓÐÙÑÑ ÓÓÚÚÒØ × Ó Ò ØÖÖÖØØÖº Ò ÒÒÖÖи гÙÒ × ØÖÓÓ× ØØ× ×× ÐÐØØ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ× ×× ³ÙÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÚÓÐÙÑÑ ÒÒØØØÐ
ÖÓÓØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ³³×Ø ÐÐ ÙÒ ÔÓÓÒØ ×××ÒØØØÐ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ Ù Ó׺
Ò×׸ ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÔÔÙÚÚÒØ Ø Ú ÖÖÖÖ ××ÐÓÒ ÐÐ ÖÖÖØØÓÒ ÐÐØØØØÓÒ ´´××ÓÓÓÓÓ
ÙÒ ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÔÙÒÓÚ ÔÓ××ØØص¸ Ø ×× ÓÒØÖÖÖØØÖ Ò× ÐÐ× ÙÜ ÙØÖÖ׸
ÓÒ ÑÑÑÒØØÒÒÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÇÒ ÔÔÙØ ÑÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ ÐÐ ÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÚÓÐÙÑÑ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ
×ÓÑÑÑ ØÓÙ× ÐÐ× ÜÔÓ××ÒØ Ø Ä Ý ÓÑÑÑ ÚÓÐÙÑÑ ÖÓÓØ Ù Ø
ÐÐ ×××ÔÔØØÓÒ¸ ØØØ ×ÓÑÑÑ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚº Ò×׸ Ù ÑÓÓÒ× ÙÒ × ÜÔÓ××ÒØ×
ÄÝ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØغ ÄÄ ÙÜÜÜÑÑ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÑÔÓÖØØÒØØ × ÜÔÓ××ÒØ×
ÄÝÝÔÙÒÓÚ ÕÙ٠гÙÒ × ÜÔÓ××ÒØ× ÓÓØ ØÖÖ ÒÙи ÔÓÙÖ ÜÔÖÖÑÑÖ ÐÐ Ø
ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÖÖ×ØØ ÐÓÓÓÐÐ××× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ×ÙÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ
´´Ò××ÑÑÐйÐÐÑÑØصº ÒÒÒ Ù ×××Ò ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÒÓÙ× ÚÓÓÖ Ù
ÑÓÓÒ× ÙÒ ÜÔÓ××ÒØ Ô Ó × Ø ¸ ÐÐ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÒÒÚÚÚÙ ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ØÓÙØØ ÙÒÒ ××××ÒØØØÕÙÙ ÕÙÙ ÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ Ó× ÒÓÒ
×××ÔÔØØظ Ø ÒÒÓÖÖ ÑÑÐØÓÒÒÒÒ¸ ÓÙ ÍÒ ÜÜÑÔÐÐ ØÝÔÔÕÙÙ ×Ø ÐÙÙ
г³ØÙÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ×ÓÐÐÐÖÖ ÓÓ Ð³³³³Ø ÐÐ ×××ÔÔØØÓÒ Ò³³×Ø ÔÔ× ÔÖÖ× Ò
ÓÑÔØظ Ù ÖÖ ×× ÐÐ ÑÔÓÖØØÒÒÒº
ÅÅÅ× Ò³³ÜÜÐÙØ ÔÔ× Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ÓÓÓÓ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÙÜ ÜÔÓ××ÒØ× ÔÓ××ØØØ׸ ÙÕÙÙÐ × ÐÐ
×Ý×ØØÑÑ ×Ø Ø Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ×ÙÔÔÖ¹¹¹¹Ó׺ ÍÒÒ ØØÐÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÒÒ ÔÔÙØ ×× ÖÖÒÒÓÒØÖÖÖ
ÕÙÙ Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐ ÓÙ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÕÙÙØÖÖ¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ¸ ÓÑÑÑ
ÒÓÙ× Ð³³ÚÓÒ× ÔÖÖÖÖ×× ÙÒ × ÓÓØ ØÖÖ ÒÙÐ ´ÐÓÓÓÐÐ××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×ÙÖ
ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖµ Ø Ù ÑÓÓÒ× ÙÒ ÙØÖÖ ÓÓØ ØÖÖ ÒÒÒÒØØØ ´´´ÑÑÒÙØØÓÒ Ù ÚÓÐÙÑÑ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ×
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ×××µº Ë˸ Ò× ÒÓÑÑÖÖÙ××× ××ØÙÙØØÓÒ׸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³ÙÒ ÔÓ××¹