º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ÄÄ ×ØØØØÐÐØØ × ØÖÓÓ× ÙØÖÖ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´ÒÓØØ× x
∗
1 ¸ x
∗
2 Ø x
∗
3 ¸ Ú x 0 < x
∗
1 <
x
∗
2 < x
∗
3 µ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÔÔÒØØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ y = f
2
Ú y = xº ÄÄ ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÑÑÒÒ ÓÑÔÐÐØØÑÑÒØ ÑÑÑ× Ð ÔÖÖ××ÒØØ
г³ÒÒÓÒÚÚÒÒÒÒØ ÓÒÒÙÙÖÖ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ×ØØØØØÙ××׺ Ù××׸ ÐÐÑÑØÓÒ×¹ÒÓÙ×
Ù ÐÐÙÐ × ÔÔÒØØ× Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØغ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÓ×ÓÒ× a = 0, 8º
ÄÄ ÐÐÙÐ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× x
∗
1 Ø x
∗
3 ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׸ ÐÓÖ× ÕÙÙ x
∗
0 Ø x
∗
2
×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺ ÆÓÙ× ÓÒÒ ÙÒÒ ÐØØÖÒÒÒÒÒ ÒØÖÖ ÔÓÓÒØ× ×ØØØÐÐ× Ø Ò×ØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³Ò ÐÐ× ØØÖÖØØÓÒ× ×ÙÖ ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØظ ÒÓÙ× Ò³ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÕÙÙ
ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ׸ x
∗
1 Ø x
∗
3 º
º½¾º¿ ÈÓÓÒØ ÐÐ ×××××
Ò ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a Ù¹¹¹ÐÐ
ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 4 = 0, 86237¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× x
∗
1 Ø x
∗
3 ÔÔÖÖÖÒØ ÐÐÙÖ
×ØØØØÐÐØØ Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÒØØ f
2
ÜÜÜÜܸ Ò ÚÚÐÐÙÖ
×ÓÐÙÙ¸ гÙÒÒØغ Ò ÐÐ× ØØÖÖØØÓÒ× ÔÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 4 ´a > a 4 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÐÐ ×ÙÙÙÙ×××ÓÒ ÕÙÙØÖÖ
ÒÓÑÖÖ× ÔÔÔÐÓÒ×¹ÐÐ× ˜
x
∗
1 ¸ ˜
x
∗
2 ¸ ˜
x
∗
3 Ø ˜
x
∗
4 ¸ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ ˜
x ØØÒØ Ø Ò ØÖÓÓÙÙØØ
ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÙÒÒ ÓÒÒÙ××ÓÒ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× f
2
º º × Ô Ó Ò Ø× ÓÓÓÓ×××ÒØ Ø Ð
ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
f (˜ x
∗
1 ) = ˜
x
∗
2 , f(˜ x
∗
2 ) = ˜
x
∗
3 , f(˜ x
∗
3 ) = ˜
x
∗
4 , f(˜ x
∗
4 ) = ˜
x
∗
1 .
´´º¾¾µ
ظ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ˜
x
∗
i ×ÓÒØ Ð × Ô Ó Ò Ø× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f
4
f
4
(˜ x
∗
i ) = ˜
x
∗
i i = 1, 2, 3, 4 ,
´´º¾¿µ
ÓÓ f
4
×Ø ÙÒÒ ÖÖÚÚÚØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÕÙÙØÖÖ ÓÓ× ÐÐйÑÑÑÑ
f (f (f (f (x))))º ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º½¾µ Ø Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ØØØ ÓÒÒØØÓÒ Ú ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖ
´´³³ÕÙÙØØÓÒ y = xµ Ñ Ó Ò ØÖÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÓÒØ x = 0µ ÕÙÙØÖÖ
× ÔÓÓÒØ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ´ÐÐ ÔÔÒØØ Ù ÔÓÓÒØ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØص¸ Ø ÐÐ× ÕÙÙØÖÖ× ÙØÖÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ´ÑÑÑÑ ×׸ ÐÓÖ× Ð³³ØØÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÒÒ
ÚÓÝÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ×ØØØÐÐ×µº
ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÙÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ 0, 88602 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a¸ ÒÓØØØ
a 8 ¸ ÓÓ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ
ÓÙÙÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ô Ö Ó º º × ÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÙÒ
ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×× ÖÖÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ× ××ÙÙÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a Ò Ó Ù ×
×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ ÙÒÒ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÐÐ ÚÚ××ÓÒ
ÔÔÖ ÙÜ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ØØØÐÐ º½µº
ÌÖÓÓ× ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ÓÙÐÐÒØ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ØØØ ÒÒÐÝ×× ÖÖ¹
ÔÓÖØØ× Ò× ÐÐ ØØØÐÐ º½ ´´µ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ×× ×ØØØØÐÐØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒ
ÔÔÖÖÓÓÓ ´´´µ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³³³ÙÑÙÐÐØØÓÒ × ××ÙÙÐ×
ÐÐ ××××× ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÖÖØØÕÙÙ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× a i Ø a i+1 Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ´ Ò × a 32 − a 16 a 16 − a 8 a 4 − a 2 µº
ÈÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ× ØØÒÒÒÒØ Ú Ö× Ð³³ÒÒÒÒ ´ a = a ∞ µ¸ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ
½½½
ÄÄ ×ØØØØÐÐØØ × ØÖÓÓ× ÙØÖÖ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´ÒÓØØ× x
∗
1 ¸ x
∗
2 Ø x
∗
3 ¸ Ú x 0 < x
∗
1 <
x
∗
2 < x
∗
3 µ ÖÖÕÙÙÙÖØ ÐÐ ÐÐÙÐ ÐÐ ÔÔÒØØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ y = f
2
Ú y = xº ÄÄ ÐÐÙÐ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ÔÔÙØ ØÖÖ ÑÑÒÒ ÓÑÔÐÐØØÑÑÒØ ÑÑÑ× Ð ÔÖÖ××ÒØØ
г³ÒÒÓÒÚÚÒÒÒÒØ ÓÒÒÙÙÖÖ × ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ×ØØØØØÙ××׺ Ù××׸ ÐÐÑÑØÓÒ×¹ÒÓÙ×
Ù ÐÐÙÐ × ÔÔÒØØ× Ð³³³³³ ³ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØغ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÓ×ÓÒ× a = 0, 8º
ÄÄ ÐÐÙÐ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× x
∗
1 Ø x
∗
3 ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ׸ ÐÓÖ× ÕÙÙ x
∗
0 Ø x
∗
2
×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ׺ ÆÓÙ× ÓÒÒ ÙÒÒ ÐØØÖÒÒÒÒÒ ÒØÖÖ ÔÓÓÒØ× ×ØØØÐÐ× Ø Ò×ØØØÐÐ׺
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³³Ò ÐÐ× ØØÖÖØØÓÒ× ×ÙÖ ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØظ ÒÓÙ× Ò³ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÕÙÙ
ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ØØØÐÐ׸ x
∗
1 Ø x
∗
3 º
º½¾º¿ ÈÓÓÒØ ÐÐ ×××××
Ò ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a Ù¹¹¹ÐÐ
ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 4 = 0, 86237¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× x
∗
1 Ø x
∗
3 ÔÔÖÖÖÒØ ÐÐÙÖ
×ØØØØÐÐØØ Ò Ø¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÖÖÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÒØØ f
2
ÜÜÜÜܸ Ò ÚÚÐÐÙÖ
×ÓÐÙÙ¸ гÙÒÒØغ Ò ÐÐ× ØØÖÖØØÓÒ× ÔÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 4 ´a > a 4 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÐÐ ×ÙÙÙÙ×××ÓÒ ÕÙÙØÖÖ
ÒÓÑÖÖ× ÔÔÔÐÓÒ×¹ÐÐ× ˜
x
∗
1 ¸ ˜
x
∗
2 ¸ ˜
x
∗
3 Ø ˜
x
∗
4 ¸ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ ˜
x ØØÒØ Ø Ò ØÖÓÓÙÙØØ
ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ÙÒÒ ÓÒÒÙ××ÓÒ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× f
2
º º × Ô Ó Ò Ø× ÓÓÓÓ×××ÒØ Ø Ð
ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
f (˜ x
∗
1 ) = ˜
x
∗
2 , f(˜ x
∗
2 ) = ˜
x
∗
3 , f(˜ x
∗
3 ) = ˜
x
∗
4 , f(˜ x
∗
4 ) = ˜
x
∗
1 .
´´º¾¾µ
ظ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ˜
x
∗
i ×ÓÒØ Ð × Ô Ó Ò Ø× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f
4
f
4
(˜ x
∗
i ) = ˜
x
∗
i i = 1, 2, 3, 4 ,
´´º¾¿µ
ÓÓ f
4
×Ø ÙÒÒ ÖÖÚÚÚØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÕÙÙØÖÖ ÓÓ× ÐÐйÑÑÑÑ
f (f (f (f (x))))º ÆÓÙ× ×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖ¹ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º½¾µ Ø Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ØØØ ÓÒÒØØÓÒ Ú ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖ
´´³³ÕÙÙØØÓÒ y = xµ Ñ Ó Ò ØÖÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÓÒØ x = 0µ ÕÙÙØÖÖ
× ÔÓÓÒØ× ×ÓÒØ Ò×ØØØÐÐ× ´ÐÐ ÔÔÒØØ Ù ÔÓÓÒØ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØص¸ Ø ÐÐ× ÕÙÙØÖÖ× ÙØÖÖ× ×ÓÒØ ×ØØØÐÐ× ´ÑÑÑÑ ×׸ ÐÓÖ× Ð³³ØØÖÖØØÓÒ¸ ÒÓÙ× ÒÒ
ÚÓÝÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ×ØØØÐÐ×µº
ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÙÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ 0, 88602 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a¸ ÒÓØØØ
a 8 ¸ ÓÓ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ
ÓÙÙÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ô Ö Ó º º × ÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ÙÒ
ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×× ÖÖÔÖÓÓÙÙØ ÔÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ× ××ÙÙÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a Ò Ó Ù ×
×ÓÑÑÑ× ÓÒÒ ÙÒÒ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ÐÐ ÚÚ××ÓÒ
ÔÔÖ ÙÜ ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ ´ÚÓÓÖ ØØØÐÐ º½µº
ÌÖÓÓ× ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ÓÙÐÐÒØ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ØØØ ÒÒÐÝ×× ÖÖ¹
ÔÓÖØØ× Ò× ÐÐ ØØØÐÐ º½ ´´µ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ×× ×ØØØØÐÐØØ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒ
ÔÔÖÖÓÓÓ ´´´µ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³³³ÙÑÙÐÐØØÓÒ × ××ÙÙÐ×
ÐÐ ××××× ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÖÖØØÕÙÙ× ×ÙÙÙÙ×××Ú× a i Ø a i+1 Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ØÖÖ× ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ ´ Ò × a 32 − a 16 a 16 − a 8 a 4 − a 2 µº
ÈÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ× ØØÒÒÒÒØ Ú Ö× Ð³³ÒÒÒÒ ´ a = a ∞ µ¸ ÐÐ ×ØØÒÒÒ ÒØÖÖ