½½¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò×׸ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ a c = 3/4 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×Ø ÙÒÒ ÔÔÖØØ
×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑѺ ÉÙÙ ×× ÔÔ××׹ع¹Ð Ù¹¹¹ÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ÈÓÙÖ ÐÐ ØØÖ¹
ÑÑÒÒÖ ÜÓÒ× ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ 3/4¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ 0, 78 Ø ÐÐÙÐÓÒ× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙÑÑÒØ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f г³³³³
³ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØØ ÔÖÖ× ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ×ÙÙ××ÒØ ³³ØØÖÖØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ Ó×¹
ÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÚÒØØ× ¼¸¸¸¾ Ø ¼¸¸¸¸
ÒÓØÓÒ× ÐÐ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ x 1 Ø x 2 Ø ÖÖÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ ØØØ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÙÖÖ
Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÄÄ ××ÖÖÔØØÓÒ Ð³³ÐØØÖÒÒÒÒÒ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× x 1 Ø x 2 ×× ÔÔÖ ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÙÙÚ
f (x
∗
1 ) = x
∗
2
f (x
∗
2 ) = x
∗
1 .
´´º½½µ
ظ ÔÓÙÖ ÖÖØÖÓÙÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÓÓÒظ Ð ÙØ ÔÔÐÐÕÙÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f
ÙÜ ÓÓ׸ ×ÓÓØ
f [f (x
∗
)] = x
∗ .
´´º½½µ
ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× x 1 Ø x 2 ×ÓÒØ Ø Ó Ò × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (f ) ´´Ø
ÒÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f µº Ò ØØÖÑÑ× ØØÑÔ× ÓÒØØÒÙ¸ ÖÖ×ÙÐØØØ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ
ÐÐ ×××ÒÒÐ ØØÑÔÓÖÖÐ X(t) ÖÖØÖÓÙÚÚ ÙÒ ÑÑÑÑ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒ ÐÐÔ×
ØØÑÔ× Ð ÙÜ ÔÔÖÖÓÓÓ׸ ×ÓÓØ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒ ØØÑÔ× t + 2T º Æ Ó Ù × ×ÓÑÑÑ×
ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓ 2T Ø ÓÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ
ÐÐ ω/2¸ ÕÙÙ ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ü г³ÔÔÖÓÓ
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ 3/4 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 1 − 1/4a
ÙÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÖÓÓØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
×ØØØÐÐ× ´ÖÖÖÖÑÑ ÓÒ Ø ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÙ ÙÒÒ ÙÖØØÓÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÓÑÔÓ××× f (f (x))¸ ÔÓ×ÓÒ× X = f (x)¸ × Ó Ø f (X) =
4aX(1−X)º ijÙØØÐÐ××ØØÓÒ ÐÐ ÖÖÖÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ
ÐÐ ÔÔÖØØØÐÐÐ ÓÑÑÑ
∂f (X)
∂x
=
∂f
∂X
∂X
∂x
= 16a
2
(1 − 2X)(1 − 2x) .
´´º¾¼µ
ØØØ ×³³ÒÒÙÐÐ Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× x = 1/2 Ø X = 1/2º ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ
ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ X Ò ÓÒÒØØÓÒ x¸ г³ÕÙÙØØÓÒ X = 1/2 ´´ººº x
2
− x +
1
8a = 0µ ÔÓ××××× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ×
x ± =
1 ±
1 − 1/(2a)
2
´´º¾½µ
x + > 1/2 ØØÒÒÒ× ÕÙÙ x − < 1/2º
ÄÄ ÔÓÓÒØ x = 1/2 Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÓÑÔÓ××× f (f (x))¸
ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× x ± ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº ÄÄ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× f
2
г³ÒØØÖ×××ØØÓÒ f
2
ÚÚÚ
ÐÐ ÖÓÓØØ y = xº ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ f
2
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½¾¸ ÔÓÙÖ a = 0, 8µ ÔÓ××××× ÕÙÙØÖÖ
ÔÓÓÒØ ÜÜ׸ ÓÒØ Ù Ò ØÖÖÚÚÚÐ ´´ººº x
∗
= 0 ≡ x
∗
0 µº ÄÄ ÔÔÒØØ f
2
гÓÖÖÖÖÒÒ ×Ø
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ Ð³ÙÒÒØØ ÑÓÒØÖÖÒØ Ø Ò Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ØÖÖÚÚÚÐ x = 0º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
Ò×׸ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ a c = 3/4 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×Ø ÙÒÒ ÔÔÖØØ
×ØØØØÐÐØØ Ù ×Ý×ØØÑѺ ÉÙÙ ×× ÔÔ××׹ع¹Ð Ù¹¹¹ÐРг³Ò×ØØØØÐÐØØ ÈÓÙÖ ÐÐ ØØÖ¹
ÑÑÒÒÖ ÜÓÒ× ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ 3/4¸ ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐÐ 0, 78 Ø ÐÐÙÐÓÒ× ÒÙÑÑÖÖÕÙÙÑÑÒØ ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f г³³³³
³ÙÒÒ ÐÐÙÐÐØØØ ÔÖÖ× ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ×ÙÙ××ÒØ ³³ØØÖÖØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ Ó×¹
ÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ ÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÚÒØØ× ¼¸¸¸¾ Ø ¼¸¸¸¸
ÒÓØÓÒ× ÐÐ× ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒØ x 1 Ø x 2 Ø ÖÖÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ ØØØ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÙÖÖ
Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ׺ ÄÄ ××ÖÖÔØØÓÒ Ð³³ÐØØÖÒÒÒÒÒ × ÙÜ
ÚÚÐÐÙÖ× x 1 Ø x 2 ×× ÔÔÖ ÐÐ× ÖÖÐÐØØÓÒ× ×ÙÙÚ
f (x
∗
1 ) = x
∗
2
f (x
∗
2 ) = x
∗
1 .
´´º½½µ
ظ ÔÓÙÖ ÖÖØÖÓÙÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÓÓÒظ Ð ÙØ ÔÔÐÐÕÙÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f
ÙÜ ÓÓ׸ ×ÓÓØ
f [f (x
∗
)] = x
∗ .
´´º½½µ
ÄÄ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× x 1 Ø x 2 ×ÓÒØ Ø Ó Ò × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (f ) ´´Ø
ÒÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f µº Ò ØØÖÑÑ× ØØÑÔ× ÓÒØØÒÙ¸ ÖÖ×ÙÐØØØ ×××ÒÒÒÒ ÕÙÙ
ÐÐ ×××ÒÒÐ ØØÑÔÓÖÖÐ X(t) ÖÖØÖÓÙÚÚ ÙÒ ÑÑÑÑ ÑÑÜÜÑÙÑ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒ ÐÐÔ×
ØØÑÔ× Ð ÙÜ ÔÔÖÖÓÓÓ׸ ×ÓÓØ Ù ØØÖÑÑ ³ÙÒ ØØÑÔ× t + 2T º Æ Ó Ù × ×ÓÑÑÑ×
ÓÒÒ Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓ 2T Ø ÓÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ
ÐÐ ω/2¸ ÕÙÙ ÙÒÒ ÔÙÐ××ØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ü г³ÔÔÖÓÓ
ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ 3/4 Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 1 − 1/4a
ÙÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÔÔÖÖ ×× ×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÖÓÓØ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
×ØØØÐÐ× ´ÖÖÖÖÑÑ ÓÒ Ø ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×ÙÙÙ ÙÒÒ ÙÖØØÓÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº
ÈÓÙÖ ØÙÙÙÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÓÑÔÓ××× f (f (x))¸ ÔÓ×ÓÒ× X = f (x)¸ × Ó Ø f (X) =
4aX(1−X)º ijÙØØÐÐ××ØØÓÒ ÐÐ ÖÖÖÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ³³³ÖÖÖÖ
ÐÐ ÔÔÖØØØÐÐÐ ÓÑÑÑ
∂f (X)
∂x
=
∂f
∂X
∂X
∂x
= 16a
2
(1 − 2X)(1 − 2x) .
´´º¾¼µ
ØØØ ×³³ÒÒÙÐÐ Ò ÙÜ ÔÓÓÒØ× x = 1/2 Ø X = 1/2º ÍØØÐÐ×ÓÒ× ÐÐ
ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ X Ò ÓÒÒØØÓÒ x¸ г³ÕÙÙØØÓÒ X = 1/2 ´´ººº x
2
− x +
1
8a = 0µ ÔÓ××××× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ×
x ± =
1 ±
1 − 1/(2a)
2
´´º¾½µ
x + > 1/2 ØØÒÒÒ× ÕÙÙ x − < 1/2º
ÄÄ ÔÓÓÒØ x = 1/2 Ù ÑÑÒÒÑÙÑ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÓÑÔÓ××× f (f (x))¸
ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× x ± ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº ÄÄ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× f
2
г³ÒØØÖ×××ØØÓÒ f
2
ÚÚÚ
ÐÐ ÖÓÓØØ y = xº ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ f
2
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½¾¸ ÔÓÙÖ a = 0, 8µ ÔÓ××××× ÕÙÙØÖÖ
ÔÓÓÒØ ÜÜ׸ ÓÒØ Ù Ò ØÖÖÚÚÚÐ ´´ººº x
∗
= 0 ≡ x
∗
0 µº ÄÄ ÔÔÒØØ f
2
гÓÖÖÖÖÒÒ ×Ø
×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ Ð³ÙÒÒØØ ÑÓÒØÖÖÒØ Ø Ò Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ØÖÖÚÚÚÐ x = 0º