º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ÓÓ f
×××ÒÒ ÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØÙØ
Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
Ù ³ÙÒ ØØÑÔ× ÐÓÒÒ¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ÐÙÙ ÔÔÐÐÕÙÙÖ N ÓÓ×
f ¸ ¸ Ú N 1º ØÙÓÒ× × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÔÔÖ ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ׸ Ò
ÙÜ ÓÓ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
f [f (x)]
f [f (x
∗
)] + δxf
(x
∗
)f
[f (x
∗
)]
´´º½¿µ
= f (x
∗
) + δxf
(x
∗
)f
(x
∗
) ,
´´º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÜÔÐÓÓØØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ××ÓÓÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ´´ººº f (x
∗
) = x
∗
µº
ØÙÓÒ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ N ÓÓ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
f
(N )
= f (x
∗
) + δx[f
(x
∗
)]
N .
´´º½½µ
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØظ ÔÖÖØÓÒ× ÙÜ ÒÓØØØØÓÒ× ÐÐ ×ÝÑÓÐÐ(N )
Ò× ÐÐ ÑÑÑÖÖ f
(N )
×Ø ÙÒÒ ÒÓØØØØÓÒ ÖÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÓ
´f
(N )
×××ÒÒÒÒ ÕÙ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f ×Ø ÓÑÔÓ××× N ÓÓ× µº Ò×
ÐÐ ÑÑÑÖÖ ÖÓÓØظ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ [f
(x
∗
)]
N
×Ø Ù×ÙÙÐÐÐ Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ´´ÜÔÓ××ÒØ N µº ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δx ×Ø ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ
ÔÔ× ØØÑÔ× ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÚ f Ò x
∗
´´ººº f
(x
∗
)µ ´ÕÙÙ ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ð
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖµ |f
(x
∗
)| ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ÐÐ ÔÔÒØØ Ù ÔÓÓÒØ
³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ÓÙÖÖÖ f ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖº
ËË |f
(x
∗
)| < 1¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δx ×× ØÖÓÙÚ ÕÙÙ ÔÔ× ØØÑÔ× ÑÙÐØع
ÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙ٠гÙÒÒØظ ÓÒÒÙÙ××ÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк Ù ×× |f
(x
∗
)| > 1¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ ×³³ÑÔÐÐÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐк ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø
ÒÒÖÖÐ Ø ÒÒ ÔÔ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÜÔÐÐÐÐØØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº
ÔÔÐÐÕÙÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ × ÖÖ×ÙÐØØØ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) = 4ax(1−x)º ÁÐ ×ÙÙØ
ÐÐÙÐÐÖ ÐÐ ÔÔÒØØ Ò x
∗
ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ Ð³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ×× ×ØØØØÐÐØغ ÄÄ× ÔÔÒØØ×
× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
f
(0) = 4a, f
(1 − 1/4a) = 2(1 − 2a) .
´´º½½µ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ a > 1/4¸ ÐÐ ÖÖÚ f Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 0 ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØØ ´f
(0) > 1µ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 0 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐк ÜÜÑÑÒÓÒ×
ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÙØÖÖ ÔÓÓÒØ Üܺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ a < 1/2 ÒÓÙ× ÚÓÒ×
|2(1 − 2a)| = 2(1 − 2a)º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÓÓÒØ Üܸ 2(1 − 2a) > 1¸
ÒÒ ××ÖÖÖØ ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖ a < 1/4¸ ÕÙÙ ×Ø Ò ÓÒØÖÖÖÖÖØØÓÒ ÒÓØÖÖ
ÁÐ Ò ÓÙÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a < 1/2º È ÓÙÖ a > 1/2¸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× |2(1−2a)| = 2(2a−1) Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´´ººº 2(2a−1) > 1µ¸ ××
a > 3/4 Ð ×Ø ×ØØØÐÐ Ò× ÐÐ × ÈÓÙÖ ÖÖ×ÙÑÑÖ Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ
× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f ¸ ÒÓÙ×
x
∗
= 0 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ ;
x
∗
= 1 − 1/4a ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a <
3
4
;
×Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a >
3
4
.
´´º½½µ
½½½
ÓÓ f
×××ÒÒ ÐРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº ÆÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØÙØ
Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
Ù ³ÙÒ ØØÑÔ× ÐÓÒÒ¸ ÕÙÙ ÖÖÚÚÚÒØ ÐÙÙ ÔÔÐÐÕÙÙÖ N ÓÓ×
f ¸ ¸ Ú N 1º ØÙÓÒ× × ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ÔÔÖ ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ׸ Ò
ÙÜ ÓÓ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
f [f (x)]
f [f (x
∗
)] + δxf
(x
∗
)f
[f (x
∗
)]
´´º½¿µ
= f (x
∗
) + δxf
(x
∗
)f
(x
∗
) ,
´´º½½µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÜÔÐÓÓØØ ÐÐ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ××ÓÓÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ´´ººº f (x
∗
) = x
∗
µº
ØÙÓÒ× Ð³ÓÔÔÖÖØØÓÒ N ÓÓ× ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
f
(N )
= f (x
∗
) + δx[f
(x
∗
)]
N .
´´º½½µ
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØظ ÔÖÖØÓÒ× ÙÜ ÒÓØØØØÓÒ× ÐÐ ×ÝÑÓÐÐ(N )
Ò× ÐÐ ÑÑÑÖÖ f
(N )
×Ø ÙÒÒ ÒÓØØØØÓÒ ÖÖÖÖÖ ÐÐ ÐÓÓ
´f
(N )
×××ÒÒÒÒ ÕÙ٠г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f ×Ø ÓÑÔÓ××× N ÓÓ× µº Ò×
ÐÐ ÑÑÑÖÖ ÖÓÓØظ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ [f
(x
∗
)]
N
×Ø Ù×ÙÙÐÐÐ Ø ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÔÙÙ×××ÒÒÒ ´´ÜÔÓ××ÒØ N µº ÊÊÑÑÖÕÙÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δx ×Ø ÑÙÐØØÔÐÐÐÐ
ÔÔ× ØØÑÔ× ÔÔÖ ÐÐ ÖÖÚ f Ò x
∗
´´ººº f
(x
∗
)µ ´ÕÙÙ ÔÔÔÖØØØÒØ Ø Ð
ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖµ |f
(x
∗
)| ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ÐÐ ÔÔÒØØ Ù ÔÓÓÒØ
³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ÓÙÖÖÖ f ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖº
ËË |f
(x
∗
)| < 1¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δx ×× ØÖÓÙÚ ÕÙÙ ÔÔ× ØØÑÔ× ÑÙÐØع
ÔÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙ٠гÙÒÒØظ ÓÒÒÙÙ××ÒØ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÐÐ
ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк Ù ×× |f
(x
∗
)| > 1¸ ÐÐ ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ ×³³ÑÔÐÐÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐк ÖÖ×ÙÐØØØ ×Ø
ÒÒÖÖÐ Ø ÒÒ ÔÔ× ÐÐ ÓÖÑÑ ÜÔÐÐÐÐØØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº
ÔÔÐÐÕÙÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ × ÖÖ×ÙÐØØØ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) = 4ax(1−x)º ÁÐ ×ÙÙØ
ÐÐÙÐÐÖ ÐÐ ÔÔÒØØ Ò x
∗
ÔÓÙÖ ÙÙÖÖ Ð³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ×× ×ØØØØÐÐØغ ÄÄ× ÔÔÒØØ×
× ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½¼µ ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
f
(0) = 4a, f
(1 − 1/4a) = 2(1 − 2a) .
´´º½½µ
ÓÒÒÒ ÕÙÙ a > 1/4¸ ÐÐ ÖÖÚ f Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 0 ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
гÙÒÒØØ ´f
(0) > 1µ¸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ Ø Ü x
∗
= 0 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐк ÜÜÑÑÒÓÒ×
ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ð³³ÙØÖÖ ÔÓÓÒØ Üܺ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ a < 1/2 ÒÓÙ× ÚÓÒ×
|2(1 − 2a)| = 2(1 − 2a)º ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ ³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ù ÔÓÓÒØ Üܸ 2(1 − 2a) > 1¸
ÒÒ ××ÖÖÖØ ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ÔÓÙÖ a < 1/4¸ ÕÙÙ ×Ø Ò ÓÒØÖÖÖÖÖØØÓÒ ÒÓØÖÖ
ÁÐ Ò ÓÙÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a < 1/2º È ÓÙÖ a > 1/2¸
ÒÓÙ× ÚÓÒ× |2(1−2a)| = 2(2a−1) Ð Ô Ó Ò Ø ÜÜ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´´ººº 2(2a−1) > 1µ¸ ××
a > 3/4 Ð ×Ø ×ØØØÐÐ Ò× ÐÐ × ÈÓÙÖ ÖÖ×ÙÑÑÖ Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ
× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f ¸ ÒÓÙ×
x
∗
= 0 ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× Ò×ØØØÐÐ ;
x
∗
= 1 − 1/4a ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a <
3
4
;
×Ø Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ a >
3
4
.
´´º½½µ