½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
º½¾ ØÙÙÙ ØØØÐÐÐÐ Ù Ó× ÔÔÖ ×××××
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ÄÄ Ó× ÔÔÖ ×××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ×× ÔÖÖØØ ÔÐÙ× ÙÒÒ ØÙÙÙ
ØØØÐÐÐÐ Ò ÓÑÔÔÖÖÖ×ÓÒ × ÙÜ ÙØÖÖ× ×××ÒÒÖÖÓ× ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó×
´ÕÙÙ××¹ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ Ø ÒØØÖÑÑØØØÒÒÒµº ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÒÒ ÔÖÖ××ÒØØÖ Ò× ØØØ ÔÔÖ¹
ØØØ ÐÐ× ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ× ÔÖÓÔÖÖÖØØ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙ٠ظ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÔÖÖ¹
××Ö ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ³³ÑÑÖÖÖÒÒÒ ØÝÔÔ Ó׺
º½¾º½ ÈÓÓÒØ ÜÜ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ x n+1 = f (x n ) =
4ax n (1 − x n )
ÌÓÙØ ÔÓÓÒØ x
∗
n г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x n ) ÕÙÙ ÚÖÖÖÖ Ð³³³³ÐÐØØ ×ÙÙÚÒØØ f (x
∗
n ) =
x
∗
n ¸ Ú x
∗
n+1 ≡ f (x
∗
n )¸ ×Ø ÔÔÔÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒº ÈÓÙÖ ÐÐÐÐÐÖ
г³³ÖÖØÙÖÖ Ø ØØÒØ ÕÙ³³ÙÙÙÒÒ ÓÒÒÙ××ÓÒ Ò³³×Ø ÔÓ××××Ðи ÓÑÑØØÓÒ× Ð³³ÒÒÒÒÒ n Ò×
ÐÐ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ×ÙÙÚÒØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×³³³ÖÖØ ÐÓÖ×
f (x
∗
) = x
∗ .
´´ººµ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÙÒÒ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ××ÑÔÐÐ ØÓÙØ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÔÔÖ¹
ØØØÒØ Ø Ð ³ Ò ØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ÓÙÖÖÖ f (x) ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ××××ØÖÖÖÖ y = xº Ä ×
ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) = 4ax(1 − x) ×ÓÒØ ÓÒÒ ÒÒ× ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
4ax
∗
(1 − x
∗
) = x
∗
¸ ¸ Ó Ò Ø ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ÓÒØ ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ
x
∗
= 0, t x
∗
= 1 −
1
4a
×i a >
1
4
.
´´º½¼µ
ÄÄ ÓÒÒÒØØÓÒ a > 1/4 ××ÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×Ø Ò ÔÓ××ØØØ ´x
∗ > 0µº Ò
ÖÖØØØÐÐ×××ÒØ ÐÐ ÒÓØØØØÓÒ ÒÒÒÒÒÒ¸ ÒÓØÓÒ× ÕÙ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÕÙÙÚÙØ x n+1 = x n
´ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ n Ù ×××ÒÒÐ X(t) ×Ø Ð Ù ÑÑÜÜÑÙÑ n + 1 Ù ×××ÒÒи
ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ nµº ÙØÖÖÑÑÒØ Ø Ø ¸ Ù Ò Ô Ó Ò Ø ÜÜ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f
ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò ØØÖÑÑ× ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÓÒØØÒÙÙ t ×××ÒÓÒ× ÔÔÖ T ÐÐ
ÔÔÖÖÓÓÓ ××ÓÓÓÓÓº
º½¾º¾ ËØØØØÐÐØØ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ×
ÍÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f ¸ Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò×
ÙÒ ØØÑÔ× ÓÒØØÒÙ¸ ÔÔÙØ ØÖÖ ×ØØØÐÐ ÓÙ Ò×ØØØÐк ÈÓÙÖ ×³³××ÙÖÖÖ ×ÓÒ ØØØ
×ØØØØÐÐØظ ×ÙÔÔÖÔÓ×ÓÒ× x
∗
ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ δx ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ x
∗
×Ø
×ØØØÐÐ ×× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ δx ÖÖÖÖÖ××× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ØØÑÔ׸ Ò×ØØØÐÐ ××ÒÓÒº
ÈÓ×ÓÒ×
x = x
∗
+ δx
´´º½½µ
Ø ÖÖÔÓÖØÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ò× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x)º ÈÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ
δx ×Ø ÔÔØØØظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÖÓÓÓÓÓÖ ÙÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì ÝÐÓÖ
f (x
∗
+ δx) f (x
∗
) + δxf
(x
∗
) ,
´´º½¾µ