º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ÙÖÖ ºº ü ÙÒ ØÓÖÖ Ðº ü ÖÓÓØظ ÙÒ ØÓÖÖ ÖÖÖÐ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ××ÑÙÐÐØØÓÒ
ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖ×ØØÐÐÐÒÒ ´
ÑÑÖÖÖÖÒ ÈÈÝ××××Ð ËÓ¹
Øݵº
××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒ× ³ÓÖÖÖÖÒÒ ÚÚÚ ÊÙÙÐÐÐ ´½½¿¿¹µ Ø Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ
ÓÐÐÐÒÒÒÒ× ÐÓÖÖ× ÌÒ× ´½½¿¿¹µ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ÈÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 1 º Ò ÚÚÖÖÖÒØ
ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÙÖØ ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ω 2 º È ÓÙÖ
ÙÒÒ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ω 2 /ω 1 ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ω 2 = ω 1 /2µ µ Ô Ó Ù Ö Ù Ò ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ω 2 /ω 1 ×Ø
ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
√
5µº
ËË ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÙÜ ÖÖÕÙÙÒÒÒ× ×Ø ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´´ÜÜÑÔÐÐ ω 2 /ω 1 = 3/4µ¸ Ù
³ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ´ÙÒ ØØÑÔ× Ð ÓÓ× ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÔÔÖÖÓÓÓ ÓÑÑÙÒÒ¸
×ÓÓØ ½¾µ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×× ÖÖÖÖÖÑÑ ×ÙÖ ÐÐÐ ÑÑÑѺ ÈÖ
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ÓÙÚÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÑÑÒÒÒÖÖ Ò×׺
ËË Ò ÖÖÚÚÒÒÒÒ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ×Ø ÖÖÖØØÓÒÒÒи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÑÑÑ× ××
ÖÖÖÖÖÑÑÖ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ Ø¸ ÔÔÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÓÙÚÖÖ ÑÑÒÒÒÖÖ
Ò×× Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ÐÐ ØÝÔÔ ³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
× ÔÔÔ××× ÔÓÙÖ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×Ø ÙÒ ØÓÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÉÙÙй
ØØØØÚÑÑÒظ ØÓÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÜ ØÝÔÔ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÙÒ
ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ØÙÙ ÙØÓÙÖ Ù ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÖÖÐÐ ´ÑÓÙÚÑÑÒØ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 1 µ¸
Ø ÙÒ ÙØÖÖ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 2 ÙØÓÙÖ Ù ÔÐÙ× ÖÖÒÒ ÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ij³Ø¹
ØÖÖÖØØÙÖ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×Ø Ò ÒÒÖÖÐ
ÙÒ ØÓÖÖ ×××ØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ØÓÖÖ ÔÖÖ××ÒØØ ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ ºº ÑÓÒ¹
ØÖÖ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖØØÖ ÖÖ×ÙÐØØØ×
ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖ×ØØÐÐÐÒÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ×
¿¿¸ ¸ ¼ µº
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ Ò×× ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ¸ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ
´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ººº½µ ÖÖØ ÙÒÒ ÓÒØØÒÙÙ ´ÓÙ ÕÙÙ×× ÓÒØØÒÙÙµ¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ Ò ÓÓ×××××ÒØ Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙØØ ÐÐ ×××ØØÓÒ
ÈÓÓÒÒÒÖÖº Ò ÚÚÖÖÖÒØ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ØÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ×
½½½
ÙÖÖ ºº ü ÙÒ ØÓÖÖ Ðº ü ÖÓÓØظ ÙÒ ØÓÖÖ ÖÖÖÐ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ××ÑÙÐÐØØÓÒ
ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖ×ØØÐÐÐÒÒ ´
ÑÑÖÖÖÖÒ ÈÈÝ××××Ð ËÓ¹
Øݵº
××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒ× ³ÓÖÖÖÖÒÒ ÚÚÚ ÊÙÙÐÐÐ ´½½¿¿¹µ Ø Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ
ÓÐÐÐÒÒÒÒ× ÐÓÖÖ× ÌÒ× ´½½¿¿¹µ ´ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
ÈÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 1 º Ò ÚÚÖÖÖÒØ
ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÙÖØ ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÖÖÕÙÙÒÒÒ ω 2 º È ÓÙÖ
ÙÒÒ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ω 2 /ω 1 ×Ø ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´ÔÔÖ
ÜÜÑÔÐи ω 2 = ω 1 /2µ µ Ô Ó Ù Ö Ù Ò ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ω 2 /ω 1 ×Ø
ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ
√
5µº
ËË ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÙÜ ÖÖÕÙÙÒÒÒ× ×Ø ÖÖØØÓÒÒÒÐ ´´ÜÜÑÔÐÐ ω 2 /ω 1 = 3/4µ¸ Ù
³ÙÒ ÖØØØÒ ØØÑÔ× ´ÙÒ ØØÑÔ× Ð ÓÓ× ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÔÔÖÖÓÓÓ ÓÑÑÙÒÒ¸
×ÓÓØ ½¾µ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×× ÖÖÖÖÖÑÑ ×ÙÖ ÐÐÐ ÑÑÑѺ ÈÖ
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ÓÙÚÖÖÖ ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÑÑÒÒÒÖÖ Ò×׺
ËË Ò ÖÖÚÚÒÒÒÒ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ×Ø ÖÖÖØØÓÒÒÒи ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÒÒ ÔÔÙØ ÑÑÑ× ××
ÖÖÖÖÖÑÑÖ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ Ø¸ ÔÔÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÓÙÚÖÖ ÑÑÒÒÒÖÖ
Ò×× Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ÐÐ ØÝÔÔ ³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ
× ÔÔÔ××× ÔÓÙÖ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×Ø ÙÒ ØÓÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÉÙÙй
ØØØØÚÑÑÒظ ØÓÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÙÜ ØÝÔÔ× ÑÓÙÚÑÑÒØ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÙÒ
ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ØÙÙ ÙØÓÙÖ Ù ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÖÖÐÐ ´ÑÓÙÚÑÑÒØ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 1 µ¸
Ø ÙÒ ÙØÖÖ ÔÙÐ××ØØÓÒ ω 2 ÙØÓÙÖ Ù ÔÐÙ× ÖÖÒÒ ÖÖÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ij³Ø¹
ØÖÖÖØØÙÖ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×Ø Ò ÒÒÖÖÐ
ÙÒ ØÓÖÖ ×××ØØÓÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ØÓÖÖ ÔÖÖ××ÒØØ ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ ºº ÑÓÒ¹
ØÖÖ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ÓÓØØÒÙ ÔÔÖØØÖ ÖÖ×ÙÐØØØ×
ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ× ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÖÖ×ØØÐÐÐÒÒ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ×
¿¿¸ ¸ ¼ µº
ØØÒØ ÓÒÒÒ ÐÐ ÖÖÖØØÖÖ Ò×× ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ¸ ÐÐ ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ
´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ººº½µ ÖÖØ ÙÒÒ ÓÒØØÒÙÙ ´ÓÙ ÕÙÙ×× ÓÒØØÒÙÙµ¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÑÑÑ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑÑ Ò ÓÓ×××××ÒØ Ø ÑÑÒÒÒÖÖ ÕÙÙØØ ÐÐ ×××ØØÓÒ
ÈÓÓÒÒÒÖÖº Ò ÚÚÖÖÖÒØ ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÐÐ ØÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ×