½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÔÔÙØ ÓÒÒÙÙÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÖ× ³³ÙØÖÖ× ÖÖÖÖÑÑ× ÔÐÙ×
ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÚÒØ ³³ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÕÙÙ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó× ×ÙÙØ
ÙÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ Ø ×××ÒÒÖÖÓ ÓÙ ÖÓÙØظ ÚÚÖ× ÐÐ ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ
ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÓÐÓÓÓÕÙÙ¸ ÓÒÓÑÑÕÙÙºººµ¸ Ø ××Ò× ÑÑÑÑ ÓÒ¹
ÒÒÒØÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ØÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ ÚÓÐÙÙÒØ Ú Ö× ÙÒ
ØØØ ÓØØÕÙÙ ÒÒ ÔÔÙØ ÕÙÙ ØÖÓÓ× ×××ÒÒÖÖÓ× ×ØØÒÒØ× ´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó× ÔÔÖ ×××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ´´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒ ÑÓÓÓ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ Ø ´´´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ³³ÒØØÖÑÑØØØÒÒÒº
ºº ÌÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖ ×××××
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ × ØÖÓÓ× ×××ÒÒÖÖÓ׸ ÐÐ× ×××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ׸ ØØ ÔÖÓÔÓ××
Ò ½½½½¸ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ¹ÔÔÝ×××××Ò ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÅÅØØÐÐ
ÂÂÝ Ý ÒÒÒÒÒÙÑ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ Ø ÐÐ× ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ× ÖÖÒÒÒÒ× ÈÈÈÖÖÖ ÓÙй
ÐÐØ Ø ÖÐÐ× ÌÖÖ×××Ö ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾¼µº ËÓÓØ ÙÒ ×××ÒÒÐ X ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ
ÔÔÖÖÓÓÓ T ´´ººº X(t + T ) = X(t)µº ÈÓÙÖ ÙÒ ØØÐ ×××ÒÒи ØÓÙ× ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ ×ÓÒØ
Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÓÒÒ ÕÙ³ÙÒ ÓÙÔÐÐ ÙÒÒÕÙÙ ÑÑÜÜÑÑ [x n , x n+1 ] Ò×׸
ÐÐ ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ ×Ø ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ Ù ÔÐÐÒ [x n , x n+1 ]º ü
ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×××ÒÒÐ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐ X(t) = sin(t) ØÓÙ× ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ
Ù ×××ÒÒÐ ×ÓÒØ ÙÜ Ð³ÙÒÒØØ Ø Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÙÔÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ ×Ø ÓÒÒÒ
ÔÔÖ (x n , x n+1 ) = (1, 1)¸ ∀nº ÍÒ ×××ÒÒÐ X(t) ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒ
×××ÒÒÐ ØÝÔÔ X(t) = sin(t) + 1, 2 sin(2t)µ¸ ÔÓ××××× ÙÜ ØÝÔÔ× ÑÑÜÜÑѸ
ÒÓØØ× x max1 Ø x max2 º Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ]
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ×Ø ÙÜ ÔÓÓÒØ× ×ØØÒÒØ× ÓÓÖÖÓÒÒÒÒ× (x max1 , x max2 )
Ø (x max2 , x max1 ) ÙÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÓÒÒÒÒØ ÐÐÐÙ ÕÙÙØÖÖ ÔÓÓÒØ×
×ØØÒÒØ׸ Øغ ÍÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ø ÓØØÕÙÙ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÙÒÒ ××ع
ÙÙØØÓÒ ÓÓ ÙÙÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ³ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ ÓÒÒÒ ÒÒ ×× ÖÖÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ Ò×ØØÒØ×
ÙÐØØÖÖÖÙÖ׺ ÌÐ ×Ø ÐÐ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÓÙÖ
ÐÐÕÙÙÐ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÙÒ ØÖÖ× ÖÖÒÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÜÜÑÑ
ÚÚÐÐÙÖ× ØÓÙØØ× ×ØØÒÒØØ× ÖÖØÖÖÖÖ× Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ [x n , x n+1 ]¸ Ð ³ Ò × Ñ ÐÐ × ÓÙ¹
ÔÐÐ× (x n , x n+1 ) ØÖÖÖÖ ÙÒÒ Ò ÐÓÓ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ f (x) = 4ax(1 − x) ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ³ÙÒÒ
Ò ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ØÙÙÙÙÖ Ò ØØØÐ ÓÑÑÑÒØ Ð Ó× ÔÔÙØ ÒÒÒØÖÖ
ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º
º½¼ ÌÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ Ó× ÔÔÖ ÙÒ ×××ÒÒÖÖÓ
ÕÙÙ××¹ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ
ÆÓÙ× ØÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ºº¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ×××ÒÒÖÖÓ ØÖÖÒ××¹
ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÐÙÙ ÐÐ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ÄÄ ÙÜÜÜÑÑ ×××ÒÒÖÖÓ
×Ø ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ××¹ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØظ Ò ½½½½ ÔÔÖ ÙÒ ØÖÖÚÚÚÐ ÓÒÒÓÓÒØ Ø Ù
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ ÔÔÙØ ÓÒÒÙÙÖÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÖ× ³³ÙØÖÖ× ÖÖÖÖÑÑ× ÔÐÙ×
ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ÚÒØ ³³ØØØØÒÒÖÖ ÐÐ ÕÙÙ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó× ×ÙÙØ
ÙÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ Ø ×××ÒÒÖÖÓ ÓÙ ÖÓÙØظ ÚÚÖ× ÐÐ ÉÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ
ÒÒØÙÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÔÔÝ××ÕÙÙ¸ ÓÐÓÓÓÕÙÙ¸ ÓÒÓÑÑÕÙÙºººµ¸ Ø ××Ò× ÑÑÑÑ ÓÒ¹
ÒÒÒØÖÖ ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÕÙÙ ÖÖÖÖ×××ÒØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ ØÓÙØ ×Ý×ØØÑÑ ÚÓÐÙÙÒØ Ú Ö× ÙÒ
ØØØ ÓØØÕÙÙ ÒÒ ÔÔÙØ ÕÙÙ ØÖÓÓ× ×××ÒÒÖÖÓ× ×ØØÒÒØ× ´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó× ÔÔÖ ×××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ× ´´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒ ÑÓÓÓ ÕÙÙ×× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ¸ Ø ´´´´µ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ
ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖØØÖ ³ÙÒ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ³³ÒØØÖÑÑØØØÒÒÒº
ºº ÌÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÔÖ ×××××
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ
ÄÄ ÔÖÖÑÑÑÖ × ØÖÓÓ× ×××ÒÒÖÖÓ׸ ÐÐ× ×××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ׸ ØØ ÔÖÓÔÓ××
Ò ½½½½¸ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ¹ÔÔÝ×××××Ò ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÅÅØØÐÐ
ÂÂÝ Ý ÒÒÒÒÒÙÑ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ Ø ÐÐ× ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ× ÖÖÒÒÒÒ× ÈÈÈÖÖÖ ÓÙй
ÐÐØ Ø ÖÐÐ× ÌÖÖ×××Ö ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ¾¼µº ËÓÓØ ÙÒ ×××ÒÒÐ X ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ
ÔÔÖÖÓÓÓ T ´´ººº X(t + T ) = X(t)µº ÈÓÙÖ ÙÒ ØØÐ ×××ÒÒи ØÓÙ× ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ ×ÓÒØ
Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÓÒÒ ÕÙ³ÙÒ ÓÙÔÐÐ ÙÒÒÕÙÙ ÑÑÜÜÑÑ [x n , x n+1 ] Ò×׸
ÐÐ ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ ×Ø ××ÓÓÓÓÓ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÙÒÒÕÙÙ Ù ÔÐÐÒ [x n , x n+1 ]º ü
ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÔÖÖÒÓÒ× ÙÒ ×××ÒÒÐ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐ X(t) = sin(t) ØÓÙ× ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ
Ù ×××ÒÒÐ ×ÓÒØ ÙÜ Ð³ÙÒÒØØ Ø Ð³³Ò××ÑÑÐÐ × ÓÙÔÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ ×Ø ÓÒÒÒ
ÔÔÖ (x n , x n+1 ) = (1, 1)¸ ∀nº ÍÒ ×××ÒÒÐ X(t) ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÙÒ
×××ÒÒÐ ØÝÔÔ X(t) = sin(t) + 1, 2 sin(2t)µ¸ ÔÓ××××× ÙÜ ØÝÔÔ× ÑÑÜÜÑѸ
ÒÓØØ× x max1 Ø x max2 º Ò× ×¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ]
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ×Ø ÙÜ ÔÓÓÒØ× ×ØØÒÒØ× ÓÓÖÖÓÒÒÒÒ× (x max1 , x max2 )
Ø (x max2 , x max1 ) ÙÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ÓÒÒÒÒØ ÐÐÐÙ ÕÙÙØÖÖ ÔÓÓÒØ×
×ØØÒÒØ׸ Øغ ÍÒ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ Ø ÓØØÕÙÙ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ¸ ÙÒÒ ××ع
ÙÙØØÓÒ ÓÓ ÙÙÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ³ÙÒ ÑÑÜÜÑÙÑ ÓÒÒÒ ÒÒ ×× ÖÖÔÖÓÓÙÙØ ÙÜ Ò×ØØÒØ×
ÙÐØØÖÖÖÙÖ׺ ÌÐ ×Ø ÐÐ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÓÙÖ
ÐÐÕÙÙÐ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÙÒ ØÖÖ× ÖÖÒÒ ÒÓÑÖÖ ÑÑÜÜÑÑ
ÚÚÐÐÙÖ× ØÓÙØØ× ×ØØÒÒØØ× ÖÖØÖÖÖÖ× Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ [x n , x n+1 ]¸ Ð ³ Ò × Ñ ÐÐ × ÓÙ¹
ÔÐÐ× (x n , x n+1 ) ØÖÖÖÖ ÙÒÒ Ò ÐÓÓ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ f (x) = 4ax(1 − x) ÓÒ×ØØØÙÙ ÙÒÒ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ³ÙÒÒ
Ò ÆÓÙ× ÐÐÓÒ× ØÙÙÙÙÖ Ò ØØØÐ ÓÑÑÑÒØ Ð Ó× ÔÔÙØ ÒÒÒØÖÖ
ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½¾º
º½¼ ÌÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ Ó× ÔÔÖ ÙÒ ×××ÒÒÖÖÓ
ÕÙÙ××¹ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ
ÆÓÙ× ØÙÙÙÙ Ò× ÐÐ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ºº¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ×××ÒÒÖÖÓ ØÖÖÒ××¹
ØØÓÒ ÚÚÖ× ÐÐ ÐÙÙ ÐÐ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙº ÄÄ ÙÜÜÜÑÑ ×××ÒÒÖÖÓ
×Ø ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÕÙÙ××¹ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØظ Ò ½½½½ ÔÔÖ ÙÒ ØÖÖÚÚÚÐ ÓÒÒÓÓÒØ Ø Ù