º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ØØÑÔ× Ø ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÕÙÙ Ò ×Ø ××ÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÒÓÒ ÔÔ× ³ÙÒÒ ×¹
ÖÖØØ××ØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÐÐÐÒØ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ ×ÙÙÙÙ××××× ÔÖÖ×
× ØØÑÔ× ××ÖÖØ× Ò× ÓÒØØÜØظ Ð Ò³Ý ÓÒÒ ÔÔ× ÑÑØØØÖÖ ÓÒÒÙ××ÓÒº
ººº½ ÌÑÔ× ÓÒØØÒÙ Ø ØØÑÔ× ××ÖÖظ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÖÖØÓÙÖ
Ø ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ
Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
×ÓÒØ × ×××ÒÒÙÜ ØØÑÔÓÖÖÐ× ÖÖÖÐ׸ Ø t ×××ÒÒ ÐÐ ØØÑÔ× Ù×ÙÙи ÙÒ ØØÑÔ× ÓÒØØÒÙº
ij³ÒÒÒÒÒ n ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x n ¸ ××ÙÙ Ù ×××ÒÒÐ ØØÑÔÓÖÖÐ X(t)¸ ÙÒ
Ù ×××ÒÒи Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ x n г³ÒÒÒÒÒ
n ×× ÖÖÖÖÖÖ ÓÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ××ÖÖغ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f x n ÓÒÒÒ
ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØÖÖØØÚ Ø ÝÔÔ x n+1 = f (x n )º º Ò × ¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ f (x n )
ÓÙÖÒÒØ Ð³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÚÒÒÖ Ù ×××ÒÒРг³Ò×ØØÒØ n + 1º Ò
×ÙÙÙÙ×××ÚÚÑÑÒØ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ N ÓÓ× ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ¸ f (f (.....f (x 0 ))¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ×××ÒÒРг³Ò×ØØÒØ N º
ÓÖØ ØØØ ÓÒ×ØØØØØØÓÒ¸ ÐÐ ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒ× ÀÀÒÖÖ ÈÓÓÒÒÒÖÖ ´½½½½¹
½½½¾µ ÔÖÓÔÓ×× Ð³³ØÙÙÙ × ×××ÒÒÙÜ Ò ÖÖÐÐÚÒØ Ð × Ú ÐÐÙÖ×
Ù ×××ÒÒÐ Ò × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ× Ù ÐÐÐÙ ÐÐ ÖÖÖÐÐ××Ö Ò ÕÙÙ Ò×ØØÒØ ´´ººº
ÓÒØØÒÑÑÒصº ØØØ ÔÖÖ××ÒØØ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÚÒØØØØ× ´´µ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜØØ
Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ X(t) ×Ø ÖÖÖÙÙØØ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ Ø ××ÑÔÐÐ ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÙÖÖÖ Ò ÐÓÓÓÓ f (x) ´´ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ × ÑÑÜÜÑÑ Ù ×××ÒÒе ´´´µ г³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ××ÙÙ
г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ×Ø ÓÑÔÐÐØظ ÑÑÐÐÖÖ ÐÐ ÔÔ××××× Ù ØØÑÔ× ÚÚÖ× ÙÒ
ØØÑÔ× ××ÖÖغ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ××ÙÙ ÔÖÓÓÓÓÓ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ÖÖØÓÙÖ¸ ÓÙ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÖº
ºº ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÐÐ ×××ØØÓÒ
ÈÓÓÒÒÒÖÖ
ÆÓÙ× ÒØÖÓÓÙÙØ Ù ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× Ø ÐÐ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò× Ø ×ÔÔÔÔ Ð Ý ¹
ÒÒÑÑÕÙ٠гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× (X = I, Y = ˙
I)¸ Ó I ×Ø ÐÐ Ò× ÐÐ ÖÖÙÙØ ÚÒ Ö
ÈÓÐ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÔÐÐÒ ÙÒÒ ÓÙÖÖÖ
ÖÑÑѸ Ø ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÈÓÙÖ ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׸
ÐÐ× ×××ØØÓÒ× ÈÓÓÒÒÒÖÖ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò×
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÙÒ ×××ÑÑÒØ ÖÓÓØغ
ÄÓÖ×ÕÙ٠г³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×Ø ÑÑÒ××ÓÒ ¿¸ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ××ÓÓÓÓ ÙÜ ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× (X, Y, Z)¸ ÐÐ× ×××ØØÓÒ× ÈÓÓÒÒÒÖÖ
ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××× ÔÔÖ ÙÒÒ
×ÙÖÖÖÖÖº
ij³ØÙÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÖÖÚØ ÙÒ ÒØØÖÖØ ÔÔÖØع
ÙÐÐÐÖ¸ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ù Ø ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÐ
½½½
ØØÑÔ× Ø ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÕÙÙ Ò ×Ø ××ÙÙ ÖÖ×ÙÐØØ ÒÓÒ ÔÔ× ³ÙÒÒ ×¹
ÖÖØØ××ØØÓÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÑÑÑ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ÖÖÐÐÐÒØ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ ×ÙÙÙÙ××××× ÔÖÖ×
× ØØÑÔ× ××ÖÖØ× Ò× ÓÒØØÜØظ Ð Ò³Ý ÓÒÒ ÔÔ× ÑÑØØØÖÖ ÓÒÒÙ××ÓÒº
ººº½ ÌÑÔ× ÓÒØØÒÙ Ø ØØÑÔ× ××ÖÖظ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÖÖØÓÙÖ
Ø ×××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ
Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
×ÓÒØ × ×××ÒÒÙÜ ØØÑÔÓÖÖÐ× ÖÖÖÐ׸ Ø t ×××ÒÒ ÐÐ ØØÑÔ× Ù×ÙÙи ÙÒ ØØÑÔ× ÓÒØØÒÙº
ij³ÒÒÒÒÒ n ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ x n ¸ ××ÙÙ Ù ×××ÒÒÐ ØØÑÔÓÖÖÐ X(t)¸ ÙÒ
Ù ×××ÒÒи Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ x n г³ÒÒÒÒÒ
n ×× ÖÖÖÖÖÖ ÓÒÒ ÙÒ ØØÑÔ× ××ÖÖغ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f x n ÓÒÒÒ
ÐÐÐÙ ÙÒÒ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ØØÖÖØØÚ Ø ÝÔÔ x n+1 = f (x n )º º Ò × ¸ Ð Ú ÖÖÖÖÐÐ f (x n )
ÓÙÖÒÒØ Ð³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÚÒÒÖ Ù ×××ÒÒРг³Ò×ØØÒØ n + 1º Ò
×ÙÙÙÙ×××ÚÚÑÑÒØ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ N ÓÓ× ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ¸ f (f (.....f (x 0 ))¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ×××ÒÒРг³Ò×ØØÒØ N º
ÓÖØ ØØØ ÓÒ×ØØØØØØÓÒ¸ ÐÐ ××××ÒØØØÕÙÙ ÖÖÒÒÒÒ× ÀÀÒÖÖ ÈÓÓÒÒÒÖÖ ´½½½½¹
½½½¾µ ÔÖÓÔÓ×× Ð³³ØÙÙÙ × ×××ÒÒÙÜ Ò ÖÖÐÐÚÒØ Ð × Ú ÐÐÙÖ×
Ù ×××ÒÒÐ Ò × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ× Ù ÐÐÐÙ ÐÐ ÖÖÖÐÐ××Ö Ò ÕÙÙ Ò×ØØÒØ ´´ººº
ÓÒØØÒÑÑÒصº ØØØ ÔÖÖ××ÒØØ ÔÐÙ×××ÙÖ× ÚÒØØØØ× ´´µ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜØØ
Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ X(t) ×Ø ÖÖÖÙÙØØ Ù ÔÖÓÓØ ³ÙÒÒ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ Ø ××ÑÔÐÐ ÓÑÑÑ ÐÐ ÓÙÖÖÖ Ò ÐÓÓÓÓ f (x) ´´ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ × ÑÑÜÜÑÑ Ù ×××ÒÒе ´´´µ г³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ××ÙÙ
г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ×Ø ÓÑÔÐÐØظ ÑÑÐÐÖÖ ÐÐ ÔÔ××××× Ù ØØÑÔ× ÚÚÖ× ÙÒ
ØØÑÔ× ××ÖÖغ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ××ÙÙ ÔÖÓÓÓÓÓ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ÖÖØÓÙÖ¸ ÓÙ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÈÓÓÒÒÒÖÖ¸ ÓÙ ÒÒÓÖÖ ××ØØÓÒ ÈÓÓÒÒÖº
ºº ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÐÐ ×××ØØÓÒ
ÈÓÓÒÒÒÖÖ
ÆÓÙ× ÒØÖÓÓÙÙØ Ù ÐÐ ÒÓØØÓÒ ³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× Ø ÐÐ
ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ò× Ø ×ÔÔÔÔ Ð Ý ¹
ÒÒÑÑÕÙ٠гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× (X = I, Y = ˙
I)¸ Ó I ×Ø ÐÐ Ò× ÐÐ ÖÖÙÙØ ÚÒ Ö
ÈÓÐ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÔÐÐÒ ÙÒÒ ÓÙÖÖÖ
ÖÑÑѸ Ø ÝÝÐÐ ÐÐÑÑØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ººµº ÈÓÙÖ ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ׸
ÐÐ× ×××ØØÓÒ× ÈÓÓÒÒÒÖÖ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò×
г³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÙÒ ×××ÑÑÒØ ÖÓÓØغ
ÄÓÖ×ÕÙ٠г³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ×Ø ÑÑÒ××ÓÒ ¿¸ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ
´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ××ÓÓÓÓ ÙÜ ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× (X, Y, Z)¸ ÐÐ× ×××ØØÓÒ× ÈÓÓÒÒÒÖÖ
ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ð³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××× ÔÔÖ ÙÒÒ
×ÙÖÖÖÖÖº
ij³ØÙÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÖÖÚØ ÙÒ ÒØØÖÖØ ÔÔÖØع
ÙÐÐÐÖ¸ ÒÓØØÑÑÑÒØ Ù Ø ÐÐ ÖÖÖÙÙØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÐ