½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒÒÒØÖÖ Ú ÜÜÜØØØÙÙÙ Ø ÔÖÖÓÖÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ×××ÒÒÐ Ù ³ÙÒ
ÖØØØÒ ØØÑÔ׺ Ò×׸ ÐÐ ÑÑÒÕÙÙ ³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÓÒÒÒÖÖ
ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù Ó× ØØÖÑÑÒÒ×Øظ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÔÖÖÖÖÒÒÒÖ
Ú ÐÐ× ÓÙØØÐ× ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ Ò×
ÚÒØ ÐÓÖÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ Ð ÖÖÔÔÔÐÐÖ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ
ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÖÖÖÖ×× ÐÐ ÐÓÓ ³³ØØÖÖØØÓÒ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ f (x) = 4ax(1 − x)µ Ò³³×Ø ÔÔ×
×××ÒØØØÐÐÐ ××ÙÐÐ ×× ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ Ø ÖÖÚÐÐ × ÔÖÓÓÓ××Ù× ³ÙÒÒ
ÖØØØÒÒ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØغ
ºº ÉÙÙÐÕÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ× Ø ÓÙÖÖÖ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ
ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ ØØÖÖØØÚ x n+1 = 4ax n (1 − x n ) ×Ø ÓÑÑÙÒÒÑÑÒØ ÙØØÐÐ××× ÔÓÙÖ
ÖÖÖÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ׺ ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÐÐÚÖÖÖ ÐÐйÑÑÑÑ
Ø ÚÚÚÒØ Ø Ò Ú ×× ÐÓ׸ ÙÒÒ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÔÔÔ×× ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÕÙÙ×× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ×Ø
ÓÒ×ØØØØØ ÚÒØ ÖÖÐÐÒØØÖ × ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÐÐ ×ÙÖÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
×ÙÖÚÚÚÒÒÒÒØ ´ÑÑÒÕÙÙ ÒÓÙÖÖÖØÙÖÖ¸ ÓÑØ× Ù× ÐÐ ÔÖÓÑÑ××ÙÙØغººµ Ù×ÕÙ³³
ÕÙ٠г³³³³ØØØ ØØ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ØØØØØÒÒ ÙÒ ××ÙÙÐ ÐÐÑÑØØ ÑÑÜÜÑÑк ÄÄ ÑÑØØØÑÑØع
Ò ÈÈÈÖÖÖ ÎÖÖÙÐ×Ø ´½½¼¼¹½½½½µ Ò ½½¿¿ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ××ÑÔÐи
Ø ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒº ËË N (t) ×××ÒÒ Ð³³³³³ØØØ ØØ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØÒØ t¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ N ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
˙
N = ρN (1 − N/k) ,
´´ººµ
ÓÓ k ×Ø ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÐÐÑÑØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ´ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐ N µ µ
Ù××× ÔØØ ÓØØÕÙÙ¸ ¸ Ø ρ ÙÒ ÖØØØÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ×
ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐÑÑÒØ Ð ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ º¾º¾µº ÄÄ ÚÖ××ÓÒ ××ÖÖØØ××× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ
ÓÒÒÒ
N [(n + 1)Δ] − N [nΔ])
Δ
= ρN (nΔ) [1 − N (nΔ)/K] ,
´´ººµ
ÓÓ Δ ×Ø ÐÐ ÔÔ× ØØÑÔ× ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ø ÖÖÑÔÐÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ¹
ÖÖÒÒÒ ÒÒÒ ´ØØÖÑÑ Ò ÔÓ××ÒØ 4a = 1 + ρΔ¸ K = k(ρΔ + 1)/ρΔ¸
Ø x n = N (nΔ)/K¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ××ÖÚÚ
ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ Ù Ù ÙØ
x n+1 = 4ax n (1 − x n ) .
´´ººµ
ÁÁÁ Ð ÙØ ÔÔÒÒÒÒØ ÖÖÖÖ ÔÖÖ××ÒØ Ð³³×ÔÖÖØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ò³³×Ø ÔÔ× ÓØØÕÙÙ ÐÐÐ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ÐÐ
ÓÖÑÑ N (t) = k/ [1 + (k/N 0 − 1)e
−ρt
]¸ ¸ ÚÚÚ N 0 ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ t = 0¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ÚÖ××ÓÒ ××ÖÖØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ Ò¹
ÒÒÖÖ Ù Ó׺ ËË ÓÒ×ØØØ ÐÐÙ×ØÖÖ¸ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÐÐظ ÐÙÙ
ÐÐ ÚÐÐÐÐØØ ÐÐ ××ÖÖØØ××ØØÓÒ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÙÙ¸ ÒÓØÖÖ ÔÖÓÔÓ× ×Ø
×ÓÙÐÐÐÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ×Ø Ò ÓÒØØÒÙ Ù Ò × Ð
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒÒÒØÖÖ Ú ÜÜÜØØØÙÙÙ Ø ÔÖÖÓÖÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù ×××ÒÒÐ Ù ³ÙÒ
ÖØØØÒ ØØÑÔ׺ Ò×׸ ÐÐ ÑÑÒÕÙÙ ³³ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÓÒÒÒÖÖ
ÙÒ ÖÖÖØØÖÖ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù Ó× ØØÖÑÑÒÒ×Øظ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÔÖÖÖÖÒÒÒÖ
Ú ÐÐ× ÓÙØØÐ× ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ Ò×
ÚÒØ ÐÓÖÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ Ð ÖÖÔÔÔÐÐÖ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ
ÐÐ ÓÖÑÑ ÔÖÖÖÖ×× ÐÐ ÐÓÓ ³³ØØÖÖØØÓÒ ´ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ f (x) = 4ax(1 − x)µ Ò³³×Ø ÔÔ×
×××ÒØØØÐÐÐ ××ÙÐÐ ×× ÓÖÑÑ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ Ø ÖÖÚÐÐ × ÔÖÓÓÓ××Ù× ³ÙÒÒ
ÖØØØÒÒ ÙÒÒÚÚÖ××ÐÐØغ
ºº ÉÙÙÐÕÙÙ× ×ÙÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ× Ø ÓÙÖÖÖ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ
ÄÄ ÓÒÒØØÓÒ ØØÖÖØØÚ x n+1 = 4ax n (1 − x n ) ×Ø ÓÑÑÙÒÒÑÑÒØ ÙØØÐÐ××× ÔÓÙÖ
ÖÖÖÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ׺ ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ÐÐÚÖÖÖ ÐÐйÑÑÑÑ
Ø ÚÚÚÒØ Ø Ò Ú ×× ÐÓ׸ ÙÒÒ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÔÔÔ×× ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÕÙÙ×× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ×Ø
ÓÒ×ØØØØØ ÚÒØ ÖÖÐÐÒØØÖ × ÕÙÙ ÐÐ× ÔÖÓÓÐÐÑÑ× ÐÐ ×ÙÖÔÓÔÙÐÐØØÓÒ
×ÙÖÚÚÚÒÒÒÒØ ´ÑÑÒÕÙÙ ÒÓÙÖÖÖØÙÖÖ¸ ÓÑØ× Ù× ÐÐ ÔÖÓÑÑ××ÙÙØغººµ Ù×ÕÙ³³
ÕÙ٠г³³³³ØØØ ØØ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ØØØØØÒÒ ÙÒ ××ÙÙÐ ÐÐÑÑØØ ÑÑÜÜÑÑк ÄÄ ÑÑØØØÑÑØع
Ò ÈÈÈÖÖÖ ÎÖÖÙÐ×Ø ´½½¼¼¹½½½½µ Ò ½½¿¿ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ××ÑÔÐи
Ø ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒº ËË N (t) ×××ÒÒ Ð³³³³³ØØØ ØØ ÐÐ
ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ Ð³³Ò×ØØÒØ t¸ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ N ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
˙
N = ρN (1 − N/k) ,
´´ººµ
ÓÓ k ×Ø ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÐÐÑÑØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÓÔÙÐÐØØÓÒ ´ÚÚÐÐÙÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐ N µ µ
Ù××× ÔØØ ÓØØÕÙÙ¸ ¸ Ø ρ ÙÒ ÖØØØÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖº ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÒÓÙ×
ÖÖÔÔÔÐÐÐ ÐÐÑÑÒØ Ð ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓÓÓ¹ÔÖÖÖÖØØÙÖ ÄÓØعÎÓÐØØÖÖ ´ÚÓÓÖ ÔÔÖÖ¹
ÖÖÔÔÔ º¾º¾µº ÄÄ ÚÖ××ÓÒ ××ÖÖØØ××× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ
ÓÒÒÒ
N [(n + 1)Δ] − N [nΔ])
Δ
= ρN (nΔ) [1 − N (nΔ)/K] ,
´´ººµ
ÓÓ Δ ×Ø ÐÐ ÔÔ× ØØÑÔ× ÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐÐ Ø ÖÖÑÔÐÐÐÐÐ ÔÔÖ ÙÒÒ ¹
ÖÖÒÒÒ ÒÒÒ ´ØØÖÑÑ Ò ÔÓ××ÒØ 4a = 1 + ρΔ¸ K = k(ρΔ + 1)/ρΔ¸
Ø x n = N (nΔ)/K¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ××ÖÚÚ
ÒØÖÓÓÙÙÖÖ ÐÐ ÒÓØØÓÒ Ù Ù ÙØ
x n+1 = 4ax n (1 − x n ) .
´´ººµ
ÁÁÁ Ð ÙØ ÔÔÒÒÒÒØ ÖÖÖÖ ÔÖÖ××ÒØ Ð³³×ÔÖÖØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÓÒ¹
ØØÒÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ Ò³³×Ø ÔÔ× ÓØØÕÙÙ ÐÐÐ ÔÓ××××× ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐ ÐÐ
ÓÖÑÑ N (t) = k/ [1 + (k/N 0 − 1)e
−ρt
]¸ ¸ ÚÚÚ N 0 ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ t = 0¸ ØØÒÒÒ×
ÕÙÙ ÐÐ ÚÖ××ÓÒ ××ÖÖØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ¸ ÐÐ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ Ò¹
ÒÒÖÖ Ù Ó׺ ËË ÓÒ×ØØØ ÐÐÙ×ØÖÖ¸ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐÐÐظ ÐÙÙ
ÐÐ ÚÐÐÐÐØØ ÐÐ ××ÖÖØØ××ØØÓÒ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÓÒØØÒÙÙ¸ ÒÓØÖÖ ÔÖÓÔÓ× ×Ø
×ÓÙÐÐÐÒÒÖ ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ×Ø Ò ÓÒØØÒÙ Ù Ò × Ð