º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ÙÖÖ ºº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ ÙÒ ×××ÒÒÐ ÐÐÐØÓÓÖÖ xn Ò ÓÒÒØØÓÒ n ××Ù ³ÙÒÒ ÐÓÓ
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ Ù××××ÒÒÒ¸ Ø ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ xn+1 Ò ÓÒÒØØÓÒ xnº ÇÒ ÒÓØØ ÐÐ ÖÖÒÒÒ
ÑÔÓÖØØÒØØ ÚÚÚ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÐÐ ÙÖÖ º¿ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ Ø xn+1 Ò
ÓÒÒØØÓÒ xnº
ÔÔÖÖÖØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ××ÑÑÐÐÒØ ÓÑÔÔÖÖÖÐÐ× Ò× Ð³³×ÔÔÔØ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ
× ×××ÒÒÙÜ ÓÓØØÒÙ׺ ÅÅÅ׸ ÐÐ ÖÖÖÐÐØØ ÕÙÙ × ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÖÖÖÓÙÚÖÖÒØ Ø × Ø
Ò ÖÖÒØØ ÔÓÙÖ ×³³Ò ÓÑÔÔÖÓÒ× ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ××Ù× ³ÙÒ Ù
××ÖÖ Ø ÙÜ ÓÓØØÒÙ× Ò× ÐÐ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖº
ÒÒÐÝ×ÓÒ× Ò×× ÐÐ ØØÖÖÖÖ¸ г³³³³ ³ÙÒ ÓÖÖÖÒÒØØÙÖ¸ ÒÓÑÖÖ× ÐÐÐØÓÓÖÖ×
ÓÓÓÓ×××ÒØ ÙÒÒ ÐÓÓ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ù××××ÒÒÒ ´ØÓÙØ ÙØÖÖ ÐÓÓ¸ ØØÐÐÐ
ÐÐ ÐÓÓ ÙÒÒÒÓÖÑѸ ÓÒÚÚÚÒÒÖÖÖØ ÐÐÑÑÒصº ÕÙÙ ÒÓÑÑÖÖ x n ØØÖÖ Ù ××ÖÖ
Ù nÑÑ ØØÖÖÖÖ ×Ø ÖÖÒÒÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒ ÓÙÔÐÐ (n, x n )º ÊÊÔÖÖ××ÒØÓÒ×
г³³³³ ³ÙÒ ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÒÓÑÖÖ x n Ò ÓÒÒØØÓÒ n¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
ººµ ÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÖÖÙÐÐÐÖÖº ÈÙÙ׸ ÔÖÓÓÓÓÓÒ× ÐÐ ÑÑÑÑ ØÙÙÙ
ÖÖÖÐÐ××× ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÊÊ××ÐÐÖ¸ Ò ÖÖÐÐÚÒØ ÐÐ× ÑÑܹ
ÑÑ ×ÙÙÙÙ××××× Ù ØØÖÖÖÖ ÐÐÐØÓÓÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (x n , x n+1 )
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ÖÓÓØØ ººµ ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ ÊÊ××ÐÐÖ¸ ÐÐ×
ÔÓÓÒØ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ×ØÖÖÖÙÙ× ×ÙÖ ÙÒÒ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ´´ÓÑÔÔÖÖÖ Ú ÐÐ ÙÖÖ
º¿µ¸ ÑÑÑ× Ð× ×ÓÒØ ÖÖÔÔÖØØ× Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ÐÐÐØÓÓÖÖº ÖÖ×ÙÐØØØ ÑÓÒ¹
ØÖÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓØØÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ×ØØ Ø
ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ØÓÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ ÓÙ ÐÐÐØÓÓÖÖº ÄÄ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÓÑÔÔÖÖÖ
××ÖÖ Ø Ó× ¹Ø¹¹ÐÐÐ ÐÓÖ× ÙÒ ××Ò× ËË ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖ ××ÑÑÐÐ ÖÖÔÓÒ¹
ÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÒÒÒÒØØÚÚ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÒÒÒÑÓÓÒ× ÔÖÓÓÓÒÒÒ× ××ÑÑÐÐÖÖØØ× ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ
ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ׺
ÄÄ Ò ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ××ÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÊÊ××ÐÐÖ ÖÖÚÐРг³ÚÓÐÙØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ×ØØ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ Ò ÜÜÜØØÑÑÒØ
ÐÐ ÒÓÑÖÖ Ð³³ØØÖÖØØÓÒ n¸ ÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ ×Ø ÔÔÖÖÖÖØØÑÑÒØ ØØÖÑÑÒÒº ÅÅÅ׸ ÒÓÙ× ÒÒ
×ÓÑÑÑ× ÔÔ× ÑÑÑØÖÖ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐÐ×¹¹¹
ÕÙ³³ÚÚÚ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ØÓÙØØ ÖÖÐÐØØÚÚ Ø ÓÑÑÑ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ÑÑÐÐÖÖ ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒ×ÑѸ ×Ø ØÖÖ× ××Ò×××ÐÐ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÒÓÙ× ÒÒ
×ØØØØ×ØØÕÙÙ¹ÔÖÓÓÓÓÓÐÐ×ØØ ³³×Ø ÐÐ × ÐÐ ÖÓÙÐÐØØغ
½½½
ÙÖÖ ºº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ ÙÒ ×××ÒÒÐ ÐÐÐØÓÓÖÖ xn Ò ÓÒÒØØÓÒ n ××Ù ³ÙÒÒ ÐÓÓ
ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØØ Ù××××ÒÒÒ¸ Ø ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ xn+1 Ò ÓÒÒØØÓÒ xnº ÇÒ ÒÓØØ ÐÐ ÖÖÒÒÒ
ÑÔÓÖØØÒØØ ÚÚÚ ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÐÐ ÙÖÖ º¿ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ Ø xn+1 Ò
ÓÒÒØØÓÒ xnº
ÔÔÖÖÖØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ××ÑÑÐÐÒØ ÓÑÔÔÖÖÖÐÐ× Ò× Ð³³×ÔÔÔØ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ
× ×××ÒÒÙÜ ÓÓØØÒÙ׺ ÅÅÅ׸ ÐÐ ÖÖÖÐÐØØ ÕÙÙ × ÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÖÖÖÓÙÚÖÖÒØ Ø × Ø
Ò ÖÖÒØØ ÔÓÙÖ ×³³Ò ÓÑÔÔÖÓÒ× ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ××Ù× ³ÙÒ Ù
××ÖÖ Ø ÙÜ ÓÓØØÒÙ× Ò× ÐÐ × Ù ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖº
ÒÒÐÝ×ÓÒ× Ò×× ÐÐ ØØÖÖÖÖ¸ г³³³³ ³ÙÒ ÓÖÖÖÒÒØØÙÖ¸ ÒÓÑÖÖ× ÐÐÐØÓÓÖÖ×
ÓÓÓÓ×××ÒØ ÙÒÒ ÐÓÓ ÔÖÓÓÓÓÓÐÐØظ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ Ù××××ÒÒÒ ´ØÓÙØ ÙØÖÖ ÐÓÓ¸ ØØÐÐÐ
ÐÐ ÐÓÓ ÙÒÒÒÓÖÑѸ ÓÒÚÚÚÒÒÖÖÖØ ÐÐÑÑÒصº ÕÙÙ ÒÓÑÑÖÖ x n ØØÖÖ Ù ××ÖÖ
Ù nÑÑ ØØÖÖÖÖ ×Ø ÖÖÒÒÒ ×ÓÙ× ÓÖÑÑ ³ÙÒ ÓÙÔÐÐ (n, x n )º ÊÊÔÖÖ××ÒØÓÒ×
г³³³³ ³ÙÒ ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÒÓÑÖÖ x n Ò ÓÒÒØØÓÒ n¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
ººµ ÐÐ ÓÓØØÒÙÙ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÖÖÙÐÐÐÖÖº ÈÙÙ׸ ÔÖÓÓÓÓÓÒ× ÐÐ ÑÑÑÑ ØÙÙÙ
ÖÖÖÐÐ××× ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÊÊ××ÐÐÖ¸ Ò ÖÖÐÐÚÒØ ÐÐ× ÑÑܹ
ÑÑ ×ÙÙÙÙ××××× Ù ØØÖÖÖÖ ÐÐÐØÓÓÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (x n , x n+1 )
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ÖÓÓØØ ººµ ÐÐ ÖÖÒÒÒ Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ ÊÊ××ÐÐÖ¸ ÐÐ×
ÔÓÓÒØ× ÒÒ ×ÓÒØ ÔÔ× ×ØÖÖÖÙÙ× ×ÙÖ ÙÒÒ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ´´ÓÑÔÔÖÖÖ Ú ÐÐ ÙÖÖ
º¿µ¸ ÑÑÑ× Ð× ×ÓÒØ ÖÖÔÔÖØØ× Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ÐÐÐØÓÓÖÖº ÖÖ×ÙÐØØØ ÑÓÒ¹
ØÖÖ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÓÒÒÒÑÑÒØØÐÐ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓØØÕÙÙ ØØÖÑÑÒÒ×ØØ Ø
ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×ØÓÓÓÓ×ØØÕÙÙ¸ ÓÙ ÐÐÐØÓÓÖÖº ÄÄ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÓÑÔÔÖÖÖ
××ÖÖ Ø Ó× ¹Ø¹¹ÐÐÐ ÐÓÖ× ÙÒ ××Ò× ËË ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÕÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖ ××ÑÑÐÐ ÖÖÔÓÒ¹
ÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÒÒÒÒØØÚÚ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÒÒÒÒÑÓÓÒ× ÔÖÓÓÓÒÒÒ× ××ÑÑÐÐÖÖØØ× ÒØÖÖ ÐÐ× ÙÜ
ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ׺
ÄÄ Ò ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ××ÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÊÊ××ÐÐÖ ÖÖÚÐРг³ÚÓÐÙØØÓÒ ØØÖÑÑÒÒ×ØØ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ Ò ÜÜÜØØÑÑÒØ
ÐÐ ÒÓÑÖÖ Ð³³ØØÖÖØØÓÒ n¸ ÐÐ ×ÙÙÚÚÒØ ×Ø ÔÔÖÖÖÖØØÑÑÒØ ØØÖÑÑÒÒº ÅÅÅ׸ ÒÓÙ× ÒÒ
×ÓÑÑÑ× ÔÔ× ÑÑÑØÖÖ× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒÒÒØÖÖ ÐÐÐ×¹¹¹
ÕÙ³³ÚÚÚ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ØÓÙØØ ÖÖÐÐØØÚÚ Ø ÓÑÑÑ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
ÑÑÐÐÖÖ ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒ×ÑѸ ×Ø ØÖÖ× ××Ò×××ÐÐ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׸ ÒÓÙ× ÒÒ
×ØØØØ×ØØÕÙÙ¹ÔÖÓÓÓÓÓÐÐ×ØØ ³³×Ø ÐÐ × ÐÐ ÖÓÙÐÐØØغ